[481.] FEDERICI RISNE- RI IN VITELLONIS OPTICAM PRAEFATIO AD ILLVSTRISSIMAM REGINAM CA- tharinam Mediceam, matrem regis Gallia Caroli noni.

[482.] Primus numerus paginam, ſecundus lineam indicat.

[483.] VERITATIS AMA-TORI FRATRI GVILIELMO DE MORBETA, VITELLO FILIVS THVRINGORVM ET Polonorum, æternæ lucis irrefracto mentis radio fælicem intuitum, & intellectum perſpicuum ſubſcriptorum.

[484.] [Sequentia deſunt in uetuſto exemplari.] TOTIVS OPERIS IN DECEM Libros diuiſio, & quid in ſingulis tractetur.

[485.] VITELLONIS FI-LII THVRINGORVM ET PO-LONORVM OPTICAE LIBER PRIMVS. DEFINITIONES.

[486.] PETITIONES.

[487.] THEOREMATA 1. Omnes lineæ æquidiſt antes in eadem ſuperficie plana neceſſariò conſiſtunt. E' 35 definit. 1 element.

[488.] 2. Lineam à puncto unius linearum æquidiſtantium in eadem ſuperficie protr actam, cum alter a indefinitæ quantitatis concurre re eſt neceſſe. Lemma Procli ad 29 p relement.

[489.] 3. Datis tribus lineis, cuilibet tertiæ ſecundum proportionẽ alia-rum duarum proportionalem inuenire. E' 12 p 6 element.

[490.] 4. Cum duabus lineis inæqualibus notæ proportionis, æqualiũ linearum facta fuerit ad ditio: maioris adminorẽ minuitur proportio. Ex 8 p 5 element.

[491.] 5. Cum fuerit proportio primi ad ſecundum, tanquam tertij ad quartũ: erit è contrario pro-portio ſecundi ad primum, ſicut quarti ad tertium. E' 13 def. & conſectario 4 p 5 element.

[492.] 6. Cum fuerit quatuor quantitatum proportio primæ ad ſecundã maior, quãtertiæ ad quartam: erit è contr ario minor proportio ſecun-dæ ad primam, quàm quartæ ad tertiam. 26 p 5 element. in Campano.

[493.] 7. Si quatuor quantitatum proportion alium prima fuerit maior quãſecunda, & tertia ma-ior quã quarta: erit euerſim eadem proportio primæ ad augmentum ſui ſuper ſecundam, quæ ter tiæ ad augmentum ſui ſuper quartam. E' 16 definit. & conſectario 19 p 5.

[494.] 8. Si quatuor quantit atum prima fuerit maior ſecunda, & tertia maior quarta: erit maior proportio primæ ad quartam, quàm ſecundæ ad tertiam. Conſectarium ex 8 p 5 element.

[495.] 9. Cum quatuor quantitatum prima fuerit maior quàm tertia, & ſecunda minor quàm quarta: maior erit proportio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ ad quartam. Conſectarium ex 8 p 5 element.

[496.] 10. Siquatuor quantitatum fuerit maior propor-tio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ ad quartam: erit permutatim maior proportio primæ ad tertiam, quàm ſecundæ ad quartam. E' 12 definit. 16 p 5. 27 p 5 elem. in Campano.

[497.] 11. Cum quatuor quantitatum maior fuerit propor tio primæ ad ſecundam quàm tertiæ ad quartam: erit coniunctim maior proportio primæ & ſecundæ ad ſecũdam, quàm tertiæ & quartæ ad quartã. E' 14 definit. 18 p 5 element. 28 p 5 ele. in Campano.

[498.] 12. Si quatuor quantitatum proportio primæ & ſecundæ ad ſecundam ſit maior, quàm ter-tiæ & quartæ ad quartam: erit diſiunctim maior proportio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ ad quartam. E' 15 definit. 17 p 5 element. 29 p 5 elem. in Campano.

[499.] 13. Quarumlibet trium quantitatum quocun ordine diſpoſitarum, quarum mediæ ad utram extremarum nota ſit proportio: erit proportio primæ adtertiam compoſit a ex propor-tione primæ ad ſecũdam, & ſecundæ ad tertiam. Ex quo patet, quòd proportio extremorum ad inuicem componitur ſemper ex proportione mediorum ad inuicem & adipſa extrema. E' ſcho-

[500.] 14. Si linea recta ſuper duas rect{as} ceciderit, fecerit́ angulos coalternos inæquales, aut duos intrinſecos minores duobus rectis, uel extrinſecum inæqualem intrinſeco: illas duas lineas ad minorum angulorum partem concurrere eſt neceſſe, ad aliam uerò partem impoßibile: & ſi lineæ concurrunt, neceſſe est dictos angulos aliquo propoſitorum modorum ſe habere. E' 27.28 p 1 element. Lemma Procli ad 16 p 1 elem.

[501.] 15. Cumlineis, ſe inter duas line{as} æquidiſtantes, à quarum terminis producuntur, ſecantibus, ex utra parte ſectionis partes eiuſdẽ lineæ inter ſe fuerint æqua les: neceſſe eſt lineas, inter quas fit ſectio, æquales eſſe.

[502.] 16. Si per terminos duarum linearum æquidiſtantium & inæqualium, rectæproducantur, illas ad partem minoris lineæ concurrere est neceſſe.

[503.] 17. Lineæ rectæ continentes angulos æquales cum linea recta, cui ad unum punctum inci-dunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper eandem lineam adunum punctum alium productis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſi-muliunctis.

[504.] 18. Lineæ rectæ continentes angulos æ- quales cumlinea conuexa, cui ad unum pun- ctum incidunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper ean- dem lineam adunum punctum alium produ- ctis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſimuliunctis.

[505.] 19. Vna linea recta in duabus ſuperficiebus planis exiſtente, neceſſe est, ut illæ duæ ſuperſi-cies ſecundum illam lineam ſe ſecent. E' 3 p 11 element.

[506.] 20. Ab uno puncto in aere dato, ſuper unamquam ſubſtratã planam uel conuexam ſuperficiem, una tantũ perpendicularis du-ci potest. E' 11 & 13 p 11 elem.

[507.] 21. Omnium linearum ab eodem puncto adeandem ſuperficiem planamuel conuexam pro-ductarum, minima eſt perpendicularis. Albazen 5 n 5.

[508.] 22. Ducta linea à ſupremo termino lineæ ſu-per ſuperficiem erectæ, ad lineam perpendicularẽ cuicun lineæ à puncto incidẽtiæ lineæ erectæ in ſubiecta ſuperficie protractæ: neceſſe eſt protractã lineam ſuperiacenti perpendicularem eſſe. Lem-ma ad 37 theorema opticorum Euclidis: item 42 theor. 6 libri μαθκματικυεμ συναγωγυεμ Pappi.

[509.] 23. Duabus planis ſuperficiebus æquidiſtantibus, una linea rect a incidente, quæ ad alteram earũ erit perpendicularis, erit quo ad reliquã perpendicularis. Conuerſa 14 p 11 elem.

[510.] 24. Si duæ ſuperficies uni ſuperficiei æquidiſtantes fuerint, eædem inter ſe erunt æquidiſtan tes: ſuperficies quoque concurrens cum una æquidiſtantium ſuperficierum & cum reliqua con-curret. E' 30 p 1 & 9 p 11 elementorum.