527225LIBER SEXTVS.
3. Oppoſito uiſui ſpeculo ſphærico conuexo, it a ut uiſus non ſit in ſuperficie illius ſpeculi aut
ſuperficie ei continua: erit communis ſectio baſis pyramidis uiſionis & ſuperficiei ſpeculi circu-
lus minor magno circulo ſphæram ſpeculi per æqualia ſecante. Alhazen 24 n 4.
ſuperficie ei continua: erit communis ſectio baſis pyramidis uiſionis & ſuperficiei ſpeculi circu-
lus minor magno circulo ſphæram ſpeculi per æqualia ſecante. Alhazen 24 n 4.
Opponatur uiſui ſpeculum ſphęricum taliter ut uiſus non ſit in ſuperficie illius ſpeculi aut in ſu-
perficie ei continua: dico quòd pars ſpeculi à uiſu comprehenſa erit pars ſphæræ circulo incluſa,
quem efficit motu ſuo radius contingens ſuperficiem ſphęræ. Quia enim, ut patet per 16 th. 2 huius,
longior radius ad ſphæræ ſuperficiem pertingens, quaſi linea ſpeculum contingẽs eſt: ſi ille radius
imaginetur per gyrum moueri attingendo ſphæram, donec redeat ad pũctum primum, à quo ſum-
pſit motus principium: palàm per præmiſſam quia punctus contingentiæ in ſphæræ ſuperficie cir-
culum deſcribet. Hic uerò circulus minor erit circulo magno illius ſphæræ. Quoniam ſi intelligan-
tur ſuperficies ſecantes ſe ſuper diametrum ſphæræ tranſeuntes polos prædicti circuli & ſphæram
per æqualia ſecantes: patet quòd omnes illi circuli contingentes lineas habent illas, quę ſunt lineæ
longitudinis pyramidis uiſionis: ergo per 58 th. 1 huius quilibet arcuum interiacentium ipſi ſuper-
ficiei ſphæræ, & his ſuperficiebus planis ſecantibus ſphęram, erit minor ſemicirculo circuli magni.
Verbi gratia, ſit per 69 th. 1 huius circulus, qui eſt communis ſectio ſuperficiei ſphæræ & ſuperficiei
planæ tranſeuntis per uiſum a extra ſphæram exiſtentẽ, & per cen-
trum ſphæræ, quod ſit b, circulus c s d: cuius centrum ſit b: ſitq́; po-
604[Figure 604]a s d b c lus circuli intellecti, ſecundum quem baſis pyramidis uiſionis ſecat
ſuperficiem ſpeculi pũctus s: producaturq́; b s ſemidiameter ad ui-
ſum a: & ſit linea b s a: & à puncto a centro uiſus ducatur linea con-
tingens circulum, quæ ſit a c: & à puncto contingétiæ, qui eſt c, du-
catur ad centrum b linea c b. Dico quòd arcus c s eſt minor quàm
quarta circuli magni. Angulus enim b c a eſt rectus per 18 p 3: angu-
lus ergo c b a eſt acutus: quia non poſſunt eſſe duo recti in eodem
trigono a b c per 32 p 1: hunc autem angulum in centro exiſtentem
reſpicit arcus c s: palàm ergo per 33 p 6 quoniã ipſe minor eſt quàm
quarta circuli. Et quia idem accidit in omnibus pũctis imaginato-
rum circulorum, manifeſtum quoniá quilibet arcuum illorum cir-
culorũ eſt minor quàm quarta circuli magni. Ergo circulus termi-
nans uiſum eſt minor circulo magno ſphæræ propoſitæ. Et hoc eſt
quod proponebatur. Tenet autẽ hæc demõſtratio in uno uiſu tan-
tùm, uel in ambobus uiſibus, dum modò diameter ſpeculi ſphærici
ſit maior quàm diſtantia oculorum: quoniã iſtis exiſtẽtibus æqua-
libus circulus maior ſphæræ erit circulus propoſitæ ſectionis, &
medietas ſphæræ uidebitur. Si uerò diſtantia oculorum ſit maior
diametro ſpeculi, plus medietate ſphæræ uidebitur: & erit communis ſectio circulus minor, ut hæe
ſunt demonſtrata in 4 huius.
perficie ei continua: dico quòd pars ſpeculi à uiſu comprehenſa erit pars ſphæræ circulo incluſa,
quem efficit motu ſuo radius contingens ſuperficiem ſphęræ. Quia enim, ut patet per 16 th. 2 huius,
longior radius ad ſphæræ ſuperficiem pertingens, quaſi linea ſpeculum contingẽs eſt: ſi ille radius
imaginetur per gyrum moueri attingendo ſphæram, donec redeat ad pũctum primum, à quo ſum-
pſit motus principium: palàm per præmiſſam quia punctus contingentiæ in ſphæræ ſuperficie cir-
culum deſcribet. Hic uerò circulus minor erit circulo magno illius ſphæræ. Quoniam ſi intelligan-
tur ſuperficies ſecantes ſe ſuper diametrum ſphæræ tranſeuntes polos prædicti circuli & ſphæram
per æqualia ſecantes: patet quòd omnes illi circuli contingentes lineas habent illas, quę ſunt lineæ
longitudinis pyramidis uiſionis: ergo per 58 th. 1 huius quilibet arcuum interiacentium ipſi ſuper-
ficiei ſphæræ, & his ſuperficiebus planis ſecantibus ſphęram, erit minor ſemicirculo circuli magni.
Verbi gratia, ſit per 69 th. 1 huius circulus, qui eſt communis ſectio ſuperficiei ſphæræ & ſuperficiei
planæ tranſeuntis per uiſum a extra ſphæram exiſtentẽ, & per cen-
trum ſphæræ, quod ſit b, circulus c s d: cuius centrum ſit b: ſitq́; po-
604[Figure 604]a s d b c lus circuli intellecti, ſecundum quem baſis pyramidis uiſionis ſecat
ſuperficiem ſpeculi pũctus s: producaturq́; b s ſemidiameter ad ui-
ſum a: & ſit linea b s a: & à puncto a centro uiſus ducatur linea con-
tingens circulum, quæ ſit a c: & à puncto contingétiæ, qui eſt c, du-
catur ad centrum b linea c b. Dico quòd arcus c s eſt minor quàm
quarta circuli magni. Angulus enim b c a eſt rectus per 18 p 3: angu-
lus ergo c b a eſt acutus: quia non poſſunt eſſe duo recti in eodem
trigono a b c per 32 p 1: hunc autem angulum in centro exiſtentem
reſpicit arcus c s: palàm ergo per 33 p 6 quoniã ipſe minor eſt quàm
quarta circuli. Et quia idem accidit in omnibus pũctis imaginato-
rum circulorum, manifeſtum quoniá quilibet arcuum illorum cir-
culorũ eſt minor quàm quarta circuli magni. Ergo circulus termi-
nans uiſum eſt minor circulo magno ſphæræ propoſitæ. Et hoc eſt
quod proponebatur. Tenet autẽ hæc demõſtratio in uno uiſu tan-
tùm, uel in ambobus uiſibus, dum modò diameter ſpeculi ſphærici
ſit maior quàm diſtantia oculorum: quoniã iſtis exiſtẽtibus æqua-
libus circulus maior ſphæræ erit circulus propoſitæ ſectionis, &
medietas ſphæræ uidebitur. Si uerò diſtantia oculorum ſit maior
diametro ſpeculi, plus medietate ſphæræ uidebitur: & erit communis ſectio circulus minor, ut hæe
ſunt demonſtrata in 4 huius.
4. In ſpeculis ſphæricis conuexis ſecundũ acceſſum uiſuum
ad ſpecula, circulorum uiſum terminantium quantitas mi-
nuitur, ad receſſum uerò augetur.
605[Figure 605]f g h c b e d k aad ſpecula, circulorum uiſum terminantium quantitas mi-
nuitur, ad receſſum uerò augetur.
Eſto enim ſpeculum ſphæricum conuexum, cuius centrum
b: & ſit centrum uiſus a: ſitq́; circulus terminás uiſum in ſuper-
ficie ſpeculi, quic g h e. Dico quòd ſecũdum acceſſum & receſ-
ſum uiſuum à ſpeculis, illorum circulorum quantitas mutatur:
diminuitur enim ſecundum acceſſum, & augetur ſecũdum re-
ceſſum. Sit enim cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpe-
culi circulus c d e f: cuius arcus c d e ſit erectus ſuper circulum
c g h e, uiſam partem ſpeculi continentem: ſitq́ ipſius arcus c d
e medius pũctus d: & ducátur lineę a c, a d b, c b, a e: eritq́; per 18
p 3 angulus a c b rectus: accedat ergo uiſus ſecundũ lineá a b ad
punctum k. Si ergo uiſus terminatur ad eundem circulum c g h
e, ut prius: ducatur linea k c. Et quoniam per 16 th. 2 huius lon-
gior radius à uiſu ad ſphærá pertingens quaſi linea contingens
eſt: patet per 18 p 3 quoniam angulus k c b eſt rectus: ſed & an-
gulus a c b fuit rectus: eſt ergo rectus minor recto: quod eſt im-
poſsibile. Exiſtẽte ergo uiſu in puncto k, non terminabitur ui-
ſio ad circulum c g h e, ſed ad aliquem circulum ipſo circulo c g
h e minorem. Quia enim inter duas lineas contingentes circu-
lum, quæ ſunt a c & a e, ab uno puncto a ductas, à puncto k du-
cuntur aliæ duæ lineæ eundem circulum contingentes: palàm
ergo per 60 th. 1 huius quòd puncta contingentiæ interiorum
cadent intra puncta contingentiæ exteriorum. Minorem ergo
arcum circuli comprehendent lineæ propinquiores quàm remotiores. Patet ergo propſitum.
b: & ſit centrum uiſus a: ſitq́; circulus terminás uiſum in ſuper-
ficie ſpeculi, quic g h e. Dico quòd ſecũdum acceſſum & receſ-
ſum uiſuum à ſpeculis, illorum circulorum quantitas mutatur:
diminuitur enim ſecundum acceſſum, & augetur ſecũdum re-
ceſſum. Sit enim cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpe-
culi circulus c d e f: cuius arcus c d e ſit erectus ſuper circulum
c g h e, uiſam partem ſpeculi continentem: ſitq́ ipſius arcus c d
e medius pũctus d: & ducátur lineę a c, a d b, c b, a e: eritq́; per 18
p 3 angulus a c b rectus: accedat ergo uiſus ſecundũ lineá a b ad
punctum k. Si ergo uiſus terminatur ad eundem circulum c g h
e, ut prius: ducatur linea k c. Et quoniam per 16 th. 2 huius lon-
gior radius à uiſu ad ſphærá pertingens quaſi linea contingens
eſt: patet per 18 p 3 quoniam angulus k c b eſt rectus: ſed & an-
gulus a c b fuit rectus: eſt ergo rectus minor recto: quod eſt im-
poſsibile. Exiſtẽte ergo uiſu in puncto k, non terminabitur ui-
ſio ad circulum c g h e, ſed ad aliquem circulum ipſo circulo c g
h e minorem. Quia enim inter duas lineas contingentes circu-
lum, quæ ſunt a c & a e, ab uno puncto a ductas, à puncto k du-
cuntur aliæ duæ lineæ eundem circulum contingentes: palàm
ergo per 60 th. 1 huius quòd puncta contingentiæ interiorum
cadent intra puncta contingentiæ exteriorum. Minorem ergo
arcum circuli comprehendent lineæ propinquiores quàm remotiores. Patet ergo propſitum.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib