Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distincito quarta. Capitulum primum. </p>
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      Se uno cerchio è contingente a uno cerchio e da’ centri di quelli .2. cerchij si meni
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      una linea retta, cioé l’ uno centro al’ altro, la detta linea passerá certamente per
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      lo ponto del contato, cioé dove e cerchij detti si toccano. Comme sieno .2. cerchij
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      contingenti .cd. e .ce. De’ quali il ponto del contatto è il ponto .c. Dico che, menan-
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      do una linea dal centro .a. al centro .b., quella linea passa per lo ponto del contatto, cioé so-
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      pra il ponto .c. E, quando e cerchij si toccassino dentro, alora mena la linea dal’ uno centro a-
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      l’ altro infinitamente, quella passerá sopra il ponto .c., comme chiaro appare per la presente figura. 12.
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      Se uno cerchio toca un cerchio dentro over di fuori, solamente lo toccherá in
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      uno luogo. Comme sia il cerchio .ab. contingente il cerchio .ad. Dico solamen-
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      te nel ponto .a. lo toccherá. E questo anchora è assai chiaro e peró non bisogna
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      altra </p>
      <p class="main"> Le linee rette che sonno in uno cerchio, quando e lle sonno iguali, e lle se discosto-
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      no igualmente dal centro. Comme sia nel cerchio .adbc. Del quale il centro sia
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      .e. E sienno .2. linee .ad. e .bc. iguali. Dico che le si scostono igualmente dal centro
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      del detto cerchio, cioé dal centro .e., che in questo modo si pruova. Menise la per-
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      perdinculare dal ponto .e. a ciascuna linea, fienno le dette perpendiculari .ef. e .eg. Le quali di-
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      vidino le ditte linee in due parti iguali per la .3a. di questa. Dove l’ angolo .agc. è iguale al’ an-
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      golo .efa. Imperoché ciascuno è retto. E .gc. è iguali al .fa. E .ea. è iguali al .ec., perché cia-
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      scuna è mezzo diametro. Onde seguita, per la .46. del primo, .eg. essere iguali al .ef., ch’ era bi-
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      sogno mostrare. </p>
      <p class="main"> Se in un cerchio dato vi sonno piú linee rette, el diametro è magiore d’ alcuna de-
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      l’ altre. E, quanto al diametro s’ apressano, tanto sonno magiori. Comme sia nel cer-
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      chio .ads. date le linee .gf.bc.hk. Dico el diametro .ad. essere magiore de ciascu-
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      na del’ altre. E la linea .fg. (perché è piú presso al diametro) é magiore del’ altre
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      .2. linee. E cosí .bc. (perché è piú presso al diametro .ad. che non è .hk.) é magiore di quel-
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      la. E questo chiaro appare. </p>
      <p class="main"> Se dal termine d’ alcuno diametro si mena una linea ortogonalmente fatta, di-
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      co che la cade di fuori del cerchio. E infra quella e il cerchio non puó capire altra
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      linea. E l’ angolo fatto da quella e dala circonferentia è minore di tutti gli ango-
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      li acuti. E l’ angolo dentro, fatto dal diametro e la circunferentia, è magiore di tutti
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      gli angoli acuti. Onde, per questo, si manifesta tutte le linee rette, cioé sempre quella linea ret-
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      ta, dal termine d’ alcuno diametro ortogonalmente menata, sará al cerchio contingente.
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      Comme sia il cerchio .abc. Del qual sia il diametro .ac. Voglio sopra il ponto .a., che è termi-
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      ne di detto diametro, menare una linea ortogonalmente fatta, che sia .ae. Dico che, infra la
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      circonferentia e la detta linea, altra linea retta non puó cadere. Imperoché, se la cade, overo
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      sará ortogonalmente sopra il ponto .a. o non. Se è ortogonalmente fatta, è impossibile che da
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      un punto medesimo .2. linee, da una parte menate, faccino .2. angoli retti. Imperoché l’ uno
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      conterrebbe l’ altro e sarebono gli angoli retti infra loro non iguali, che è contra la peti-
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      tione de Euclide. E, se non facesse quella linea angol retto sopra il ponto .a., la quale sia la linea
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      .af., menise dal centro .d. la perpendiculare sopra .af. e sia .dg., sia adunque .dg. minore del .ad.
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      E, per la .46. del primo, .ad. puó quanto .dg. e .ga. E questo è impossibile. Imperoché .da. e
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      .do. sonno iguali e .dg. è magiore del .do. E peró, infra la detta linea e la circonferentia, al-
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      tra linea non puó entrare. E, evidentemente, appare che l’ angolo fatto da quella e dela cir-
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      conferentia é minore di tutti gli angoli acuti di .2. linee rette. E, similmente, l’ angolo fatto da-
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      la circonferentia e dal diametro, cioé dentro di tutti gli angoli acuti di .2. linee rette, è magio-
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      re. E ancora è assai chiaro che ogni linea retta, dal termine del diametro menata ortogonal-
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      mente, è contingente al detto cerchio. E pero non bisogna piú dimostrationi. 16
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      Dal dato ponto al dato cerchio voglio menare una linea contingente. Comme
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      sia il dato ponto .d. e il dato cerchio sia .ab. Del quale il centro sia .c. Voglio, dal
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      ponto .d., menare una linea contingente al cerchio .ab. Produrró .dc., segante il
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      cerchio .ab. nella circonferentia nel ponto .a. E, sopra il centro .c., righeró il cerchio
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      secondo la quantitá del .dc. e dal ponto .e. meneró la perpendiculare .ea. sopra la linea .dc.
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      E, dipoi, meneró la linea .ce., segante il cerchio .ab. nel ponto .b., dal qual .b. meneró la linea .bd.
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      La qual dico ch’ é contingente al circulo .ab., che chiaro appare.
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