536234VITELLONIS OPTICAE
ad partem lineæ d b, & ſit d e:
erit ergo per 18 p 3 angulus g d e rectus.
Et quoniam angulus b d g eſt
datus minor recto: eſt ergo angulus b d g minor angu-
lo e d g. Et quoniam lineam b d, quæ eſt linea inciden-
621[Figure 621]a b d a e b b g tiæ formæ puncti b, extra ſpeculum cadere eſt neceſſe:
erit ergo neceſſarium peripſam diuidi angulũ contin-
gentiæ lineæ d e: quod eſt impoſsibile, & contra 16 p 3.
Non eſt ergo poſsibile angulum b d g eſſe minorem re-
cto, ſed neq; æqualem: neceſſarium ergo eſt ipſum eſſe
maiorem recto, & hoc proponebatur.
datus minor recto: eſt ergo angulus b d g minor angu-
lo e d g. Et quoniam lineam b d, quæ eſt linea inciden-
621[Figure 621]a b d a e b b g tiæ formæ puncti b, extra ſpeculum cadere eſt neceſſe:
erit ergo neceſſarium peripſam diuidi angulũ contin-
gentiæ lineæ d e: quod eſt impoſsibile, & contra 16 p 3.
Non eſt ergo poſsibile angulum b d g eſſe minorem re-
cto, ſed neq; æqualem: neceſſarium ergo eſt ipſum eſſe
maiorem recto, & hoc proponebatur.
22. Puncto rei uiſæ dato plus diſtante à cẽtro ſpẽ
culi ſphærici conuexi quàm centrum õculi: poßibile
eſt in ſuperſicie ſpeculi inuenire certum pũctum refle-
xionis formæ dati puncti ad datum centrum uiſus. Alhazen 39 n. 5.
culi ſphærici conuexi quàm centrum õculi: poßibile
eſt in ſuperſicie ſpeculi inuenire certum pũctum refle-
xionis formæ dati puncti ad datum centrum uiſus. Alhazen 39 n. 5.
Eſto punctum a centrum uiſus:
& ſit b datus punctus rei uiſæ:
ſitq́ue g centrum ſpeculi ſphærici
conuexi: ducanturq́ue lineæ a g & b g: ſitq́ue exempli cauſſa, linea b g maior quàm linea a g, ideo
ut punctus b plus diſtet à centro ſpeculi g quàm centrum uiſus a. Et quoniam lineæ a g & b g ſunt
in ſuperficie reflexionis per 25 th. 5 huius, ſit communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi cir-
culus, cuius centrumg. Dico quòd in hoc circulo poſsibile eſt inuenire punctum reflexionis, à quo
refle ctitur forma puncti b ad uiſum a. Diuidatur enim angulus b g a per æ qualia per 9 p 1, ducta li-
nea e g ſecante peripheriam circuli in punctou. Sumatur quoque alia linea, quæ ſit m k: & diuida-
tur in puncto ftaliter, ut eius pars f m ſe habeat ad fk, ſicut linea b g ad lineam g a per 119 th. 1 huius:
& diuidatur linea m k per æ qualia in puncto o per 10 p 1: & à puncto o educatur perpendicularis
indefinita ſuper lineam m k per 11 p 1, quæ ſit o c: & ducatur à puncto k linea ad lineam co, tenens
cum ipſa linea c o angulum æ qualem angulo e g b, quæ ſit k c: eſt autem poſsibile hoc fieri. Cum
enim linea o c fuerit accepta indefinita, & linea g e indefinita, ducatur per 12 p 1 à puncto b perpen-
dicularis ſuper lineam g e, quæ ſit b e: eritq́ue angulus b e g æ qualis angulo c o k, quia uterque re-
ctus: ſuper punctum ergo kterminum lineæ o k ſiat per 23 p 1 angulus o k c æ qualis angulo e b g,
producta linea k c, quæ per 14 th. 1 huius neceſſariò concurret cum linea o c: quoniam cum angu-
lus k o c ſit rectus, patet quòd angulus o k c, qui eſt æ qualis angulo e b d, eſt acutus: palàm per 32 p 1
quoniam angulus o c k eſt æ qualis angulo b g e. Quia ergo trigonum k o c eſt orthogonium, in cu-
ius latere o k eſt datus punctus f, tunc per 137 th. 1 huius à dato puncto f ducatur linea ad baſim tri-
gonick, quæ ſit fp: & concurrat cum producto latere c o in punctos, ita ut proportio lineæ s p ad
p k ſit, ſicut lineæ b g ad ſemidiametrum circuli, cuius centrum eſt punctum g: quæ ſit g u. Ex angu-
lo quoq; b g a ſecetur angulus æ qualis angulo f p k per 27 th. 1 huius, qui ſit b g d: hoc autem eſt poſ-
ſibile propter hoc, quia angulus p c s eſt æ qualis medietati anguli b g a: eſt autem angulus p c s ma-
ior angulo c s p per 18 p 1: quoniam ſic oportet duci lineam s p, ut linea s p fiat maior quàm linea c p,
ad quæſitum propoſitum inueniendum: aliàs enim non poſſet per lineam m k punctus quæren-
dæ reflexionis inueniri, ſed oporteret aliam lineam aſſumi: eſt ergo angulus f p k minor angulo b
g a per 32 p 1: & ducantur li-
neæ k s & b d. Quia ergo
622[Figure 622]c p r m o f k y s623[Figure 623]b f e m h a d a c z q t i g j proportio lineæ s p ad p k
eſt, ſicut lineæ b g ad ſemi-
diametrum g d, & anguli his
lineis proportionalibus con
tenti ſunt ęquales: erunt per
6 p 6 trianguli s p k & b g d
æquianguli: eritq́; angulus
s k p æ qualis angulo b d g.
Sed fortè ſecundũ quod pro
ponitur in 133 th. 1 huius, &
declaraturin 137 th. 1 huius,
poſsibile eſt à puncto f duci
lineam aliam ad lineam c k
ſimilem lineæ s p: ut ſi duca-
tur hoc modo linea y fr, ſe
cans lineam c s in puncto y, & lineam ck in puncto r talîter, ut proponitur, ſcilicet ut ſit eius pro-
portio ad r k partem lineæ, quam ſecabit ex linea c k, ſicut lineæ s p ad p k: & tunc à puncto k
ad lineam o s ducatur linea k y alia quàm linea s k, aliumq́ue cum linea c k angulum continens
maiorem uel minorem angulo c k s, qui ſit angulus c k y. Si ergo maior angulus ex his non
fuerit maior recto, non erit inuenire punctum reflexionis, ut patet per præmiſſam: quoniam &
tunc angulus contentus ſub linea reflexionis & ſemidiametro ſpeculi non erit maior recto. Si
conuexi: ducanturq́ue lineæ a g & b g: ſitq́ue exempli cauſſa, linea b g maior quàm linea a g, ideo
ut punctus b plus diſtet à centro ſpeculi g quàm centrum uiſus a. Et quoniam lineæ a g & b g ſunt
in ſuperficie reflexionis per 25 th. 5 huius, ſit communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi cir-
culus, cuius centrumg. Dico quòd in hoc circulo poſsibile eſt inuenire punctum reflexionis, à quo
refle ctitur forma puncti b ad uiſum a. Diuidatur enim angulus b g a per æ qualia per 9 p 1, ducta li-
nea e g ſecante peripheriam circuli in punctou. Sumatur quoque alia linea, quæ ſit m k: & diuida-
tur in puncto ftaliter, ut eius pars f m ſe habeat ad fk, ſicut linea b g ad lineam g a per 119 th. 1 huius:
& diuidatur linea m k per æ qualia in puncto o per 10 p 1: & à puncto o educatur perpendicularis
indefinita ſuper lineam m k per 11 p 1, quæ ſit o c: & ducatur à puncto k linea ad lineam co, tenens
cum ipſa linea c o angulum æ qualem angulo e g b, quæ ſit k c: eſt autem poſsibile hoc fieri. Cum
enim linea o c fuerit accepta indefinita, & linea g e indefinita, ducatur per 12 p 1 à puncto b perpen-
dicularis ſuper lineam g e, quæ ſit b e: eritq́ue angulus b e g æ qualis angulo c o k, quia uterque re-
ctus: ſuper punctum ergo kterminum lineæ o k ſiat per 23 p 1 angulus o k c æ qualis angulo e b g,
producta linea k c, quæ per 14 th. 1 huius neceſſariò concurret cum linea o c: quoniam cum angu-
lus k o c ſit rectus, patet quòd angulus o k c, qui eſt æ qualis angulo e b d, eſt acutus: palàm per 32 p 1
quoniam angulus o c k eſt æ qualis angulo b g e. Quia ergo trigonum k o c eſt orthogonium, in cu-
ius latere o k eſt datus punctus f, tunc per 137 th. 1 huius à dato puncto f ducatur linea ad baſim tri-
gonick, quæ ſit fp: & concurrat cum producto latere c o in punctos, ita ut proportio lineæ s p ad
p k ſit, ſicut lineæ b g ad ſemidiametrum circuli, cuius centrum eſt punctum g: quæ ſit g u. Ex angu-
lo quoq; b g a ſecetur angulus æ qualis angulo f p k per 27 th. 1 huius, qui ſit b g d: hoc autem eſt poſ-
ſibile propter hoc, quia angulus p c s eſt æ qualis medietati anguli b g a: eſt autem angulus p c s ma-
ior angulo c s p per 18 p 1: quoniam ſic oportet duci lineam s p, ut linea s p fiat maior quàm linea c p,
ad quæſitum propoſitum inueniendum: aliàs enim non poſſet per lineam m k punctus quæren-
dæ reflexionis inueniri, ſed oporteret aliam lineam aſſumi: eſt ergo angulus f p k minor angulo b
g a per 32 p 1: & ducantur li-
neæ k s & b d. Quia ergo
622[Figure 622]c p r m o f k y s623[Figure 623]b f e m h a d a c z q t i g j proportio lineæ s p ad p k
eſt, ſicut lineæ b g ad ſemi-
diametrum g d, & anguli his
lineis proportionalibus con
tenti ſunt ęquales: erunt per
6 p 6 trianguli s p k & b g d
æquianguli: eritq́; angulus
s k p æ qualis angulo b d g.
Sed fortè ſecundũ quod pro
ponitur in 133 th. 1 huius, &
declaraturin 137 th. 1 huius,
poſsibile eſt à puncto f duci
lineam aliam ad lineam c k
ſimilem lineæ s p: ut ſi duca-
tur hoc modo linea y fr, ſe
cans lineam c s in puncto y, & lineam ck in puncto r talîter, ut proponitur, ſcilicet ut ſit eius pro-
portio ad r k partem lineæ, quam ſecabit ex linea c k, ſicut lineæ s p ad p k: & tunc à puncto k
ad lineam o s ducatur linea k y alia quàm linea s k, aliumq́ue cum linea c k angulum continens
maiorem uel minorem angulo c k s, qui ſit angulus c k y. Si ergo maior angulus ex his non
fuerit maior recto, non erit inuenire punctum reflexionis, ut patet per præmiſſam: quoniam &
tunc angulus contentus ſub linea reflexionis & ſemidiametro ſpeculi non erit maior recto. Si