Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494
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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Captulum </p>
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      Se gli é una linea retta contingente il cerchio e, dal contatto al centro, si meni una
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      linea retta, e gli é di necessitá che lla sia perpendiculare sopra quella contingente,
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      comme sia la linea .ab. contingente el cerchio .ce. nel ponto .c. E menise dal ponto .c. una
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      linea retta infino al centro .f. Dico che la linea cf. è perpendiculare sopra la linea
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      .ab. E questo, per le cose dette, chiaro appare. 18
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      Se una linea retta è contingente a uno cerchio e, dal toccamento al cerchio, una
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      linea ortogonalmente si meni, certamente e lla passerá per lo centro. Comme
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      sia .ab., contingente el cerchio .ce. nel ponto .c. Dico che, menando al ponto .c. la
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      perpendiculare, certamente la passerá pel centro .d. E questo chiaro, per le passat-
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      e appare e d’ altra dimostratione non è bisogno. 19
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      Se in uno cerchio si fará uno angolo sopra il centro e uno altro sopra la circonfe-
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      rentia e habino una medesima basa, l’ angolo del centro è doppio al’ angolo de-
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      la circonferentia. Comme sia il cercho .abcf., del quale il centro .d. E faccia-
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      se l’ angolo .adc. sopra il centro e l’ angolo .abc. sopra la circonferentia, stando com-
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      me vedi figurato nel primo circulo, havendo cadauno angolo una medesima basa, che è .ac.,
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      corda del’ arco .afc. Dico l’ angolo .adc. essere doppio al’ angolo .abc., che cosí è de bisogno pro-
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      varlo. Meneró la linea .bde. Dove, per la .32a. del primo, l’ angolo .ade. è iguali agli .2. angoli,
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      cioé .dab. e .dba. Li quali angoli sonno iguali per la .5a. del primo, perché .ad. e .bd. sonno
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      iguali. Per la qual cosa, l’ angolo .ade. è doppio al’ angolo .dba. Simigliantemente sará l’ an-
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      golo .cde. 2 cotanti del’ angolo .dbc. E gli .2. angoli .ade. e .cde. sonno quanto l’ angolo .adc.
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      e peró tutto .adc. è doppio a tutto .abc., ch’ era bisogno mostrare.
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      E, se l’ angolo .abc. sta comme nela seconda figuratione appare, dico che l’ angolo
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      .adc. è doppio al’ angolo .abc. In questo modo lo proveró. L’ angolo .cda. è igua-
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      li al’ angolo .dbc. e al’ angolo .dcb. per la .32a. del primo. E gli .2. angoli .dbc.
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      e .dcb. sonno iguali per la .5a. del primo, imperoché .db. e .dc. sonno iguali.
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      Adunque l’ angolo .adc. è doppio al’ angolo .abc., ch’ era bisogno mostrare.
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      E, se l’ angolo .abc. sta comme nela terza figuratione appare, cioé che la linea .ab.
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      seghi la linea .dc., producase la linea .bde. Sirá l’ angolo .ade. iguali agli angoli
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      .dab. e .dba. Li quali infra loro sonno iguali. E l’ angolo .cde. è, per la medesima,
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      iguali al’ angolo .dcb. e .dbc., che sonno infra loro iguali. Adunque l’ angolo .cde.
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      è doppio al’ angolo .dbc. E detto é che l’ angolo .ade. è doppio al’ angolo .abd. Adunque,
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      tratto l’ angolo .ade. del’ angolo .cde., rimarrá l’ angolo .adc. E, tratto l’ angolo .abd. del’ an-
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      golo .cbd., rimarrá l’ angolo .cba. Adunque l’ angolo .adc. è doppio al’ angolo .abc. ch’ era bi-
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      sognio mostrare. 20
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      Se in una portione di cerchio fienno molti angoli sopra la circonferentia fatti,
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      fienno infra loro iguali. Comme sia nela portione di cerchio .abcde., sienno mol-
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      ti angoli, cioé .acb. e .adb. e .aeb. Dico che infra loro sonno iguali. E questa, per
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      la passata, chiaro appare. E, volendo provare, facciase l’ angolo in sul centro, do-
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      ve l’ angolo del centro è doppio a ciascuno angolo. E peró non è de bisognio altra dimo-
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      <p class="main"> Se in uno cerchio si scrive uno quadrilatero, e .2. angoli aversi sonno iguali a .2.
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      angoli retti. Sia il cerchio .abcd., nel quale sia collocato il quadrilatero .abcd.
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      Dico li .2. angoli aversi qual vuoi sonno iguali a .2. retti, che in questo modo lo
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      proveró. Menise nel detto quadrilatero il diametro .ac. e ancora il diametro .bd. Sirá, per
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      la passata, l’ angolo .cbd. iguali al’ angolo .cad. e l’ angolo .abd. iguali al’ angolo .acd. Onde
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      tutto .abc. è iguali a’ .2. angoli, che sonno .acd. e .cad. E, perché con l’ angolo .adc. sonno igua-
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      li a .2. retti per la .32a. del primo, e peró fienno li .2. angoli del quadrilatero, cioé .b. e .d., iguali
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      a .2. retti, che è il proposito. E, similmente, gli altri .2. angoli .a. e .c., per lo detto modo, sonno
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      iguali a .2. retti. Gran forza certamente se demostra per questa .21. conclusione, conciosia-
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      ché li angoli de un quadrilatero exadverso collocati (ut premittitur) si possino infra loro
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      infinitamente variare .vz. secundum omnes angulorum species .s. acutos obtusos e rectos,
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      nil minus semper idem quod dicitur eveniet. La qual evidentia in la pratica operativa molto vale. Ideo memorie manda
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      et
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      cetera. 22
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      Due portioni simili e inequali sopra una medesima parte cadere è impossibile.
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      Comme sia la corda .ab., sopra la quale si faccia una portione di cerchio .bca.
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