555253LIBER SEXTVS.
ſu exiſtente in puncto l, reflectetur ad ipſum forma puncti n à puncto m:
& locus imaginis erit q:
&
641[Figure 641]i u r k c z l n d t m g b q f a ſimiliter ad ipſum reflectetur forma
puncti i à puncto g, & locus imaginis
erit t ſecundum priorem probationẽ:
erit quoque linea t q imago lineæ n i,
quæ eſt ęqualis ipſi, ut ſupra oſtenſum
eſt: & ſic ſequitur idem propoſitũ qđ
prius. Si uerò angulus b a g fuerit mi-
nor angulo g a m, erit, ut ſupra, angu-
lus z a g minor angulo i a g. Sit ergo
angulus o a g ducta linea a o ad peri-
pheriam circuli æqualis angulo i a g:
erit ergo angulus o a g maior angulo
z a g: eſt ergo punctũ o inferius pũcto
z: & producatur linea o g, quę incidat
lineæ i a in puncto t. Palàm itaq; quòd
forma pũcti i reflectitur ad uiſum exi-
ſtentẽ in puncto o à puncto ſpeculi g.
Linea itaq; o g aut ſecabit lineã z m q
extra circulũ ſpeculi, aut non: ſi ſit poſsibile, ſecet ipſam extra circulũ. Si in puncto ſectionis fuerit
uiſus, reflectentur ad ipſum duæ formę punctorũ n & i à pũctis ſpeculi m & g, & loca imaginũ erũt
puncta q & t: & tota linea q t imago totius lineæ n i, & erit per præmiſſa æqualis ei: patet itaq; hoc
quod prius: quoniã imago rei uidebitur in hoc ſitu æqualis ipſi rei. Si forte linea o g ſecet lineam z
m q intra circulum ſpeculi: tunc nõ poteſt accedere probatio pręmiſſa, ſed extra totalẽ hanc ſuper-
ficiem eſt poſsibile inueniri punctũ, in quo poſito uiſu reflectantur ad ipſum formę duorũ puncto-
rũ n & i à duobus punctis ſpeculi, & ipſorũ imagines erunt puncta q & t. Quoniã enim, ut patet ex
prius pręoſtenſis, angulus n a z eſt duplus angulo i a b: quoniã eſt duplus angulo n a u æquali angu
lo i a b, ut patet ex pręmiſsis: & angulus i a o eſt duplus angulo i a g: eſt aũt angulus i a b maior angu
lo i a gin angulo g a b. Et quia angulus g a b eſt ex hypotheſi minor angulo m a g: patet quòd angu-
lus g a b eſt minor medietate anguli m a b: totus uero angulus m a b eſt per 33 p 6 æqualis angulo n
a i, quoniã arcus d f eſt æqualis arcui m b: ergo angulus g a b eſt minor medietate anguli n a i: angu-
lus ergo n a z excedens angulũ i a o in duplo anguli g a b, nõ excedet ipſum in angulo maiori quàm
ſit angulus n a i: duo ergo anguli n a i & n a z ſunt maiores tertio, qui eſt i a o: & duo anguli n a z &
i a o ſunt maiores tertio, qui eſt n a i: & duo anguli i a o & n a i ſunt maiores tertio, qui eſt n a z: ſunt
ergo iſti tres anguli n a i, n a z, & i a o, quorũ quilibet duo ſunt maiores tertio, oẽs aũt tres ſimul 4
rectis ſunt minores: quoniã angulos, qui ſuper centrũ a 4 rectis ſunt æquales, ipſos impoſsibile eſt
642[Figure 642]r c u z i o n k q t d b m g b p g f a x e s æ euacuare, ut patet. Igitur per 23 p 11 p oſsibi
le eſt ex illis fieri unũ angulũ ſolidũ: fiat er
go ille ſuper centrũ a ք eandẽ 23 p 11: & ſit li
nea s a eleuata ſuper ſuperficiem circuli in
puncto a taliter, ut angulus i a s ſit æqualis
angulo i a o, & angulus n a s ſit æqualis an-
gulo n a z, angulus uerò n a i maneat, ut eſt
in ſuperficie circuli immotus. Fiat itaq; li-
nea a s æqualis a licui linearũ a n, uel a i, uel
a o, quæ oẽs ſunt æquales, quia ſunt ſemi-
diametri eiuſdẽ circuli: & ꝓducátur lineæ
t s, q s. Quia itaq; angulus tas eſt æqualis
angulo t a o, ut patet ex pręmiſsis, & duo
latera t a & a o ſunt æ qualia duobus lateri-
bus t a & a s, & angulus ta o eſt ęqualis an-
gulo t a s, ut patet ex pręmiſsis: erit ք 4 p 1
baſis t s æ qualis baſi t o, & totus triangu-
19 toti triãgulo: erit ergo angulus o t a uel
g t a ęqualis angulo s t a. Similiter quoque
angulus q a s eſt æqualis angulo q a z, & duo latera duob. laterib. erit ergo, ut prius, angulus z q a ꝗ
eſt m q a, ęqualis angulo s q a. Diuidatur itaq; angulus t a s ք æ qualia ք lineã a y ex 9 p 1: & ſit y pun
ct{us}, in quo linea diuidẽs angulũ, ſecat lineã t s: palã cũ angulus i a g ſit medietas anguli i a o, ut patet
ex p̃miſsis, erit angulus t a g ęqualis angulo t a y: ſed & angulus g t a oſtẽſus eſt ęqualis angulo y t a.
Et ꝗa duob. trigonis y t a & g t a latus t a eſt cõmune, erit ք 26 p 1 trigonus y t a ęqualis trigono g t a:
quoniã latus t y erit æquale lateri t g, & latus a y æquale lateri a g: erit ergo pũctus y in ſuperficie ſpe
culi, ſicut & punctũ g: cũ ambo æqualiter diſtẽt à cẽtro ſpeculi, q đ eſt a. Et quia angulus t a g eſt æ-
qualis angulo t a y, erit angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera lateribus ſunt æqualia: quoniã i a
eſt commune, & a y eſt æquale ipſi a g: ergo ք 4 p 1 erit angulus a g i æqualis angulo a y i, & linea i y
641[Figure 641]i u r k c z l n d t m g b q f a ſimiliter ad ipſum reflectetur forma
puncti i à puncto g, & locus imaginis
erit t ſecundum priorem probationẽ:
erit quoque linea t q imago lineæ n i,
quæ eſt ęqualis ipſi, ut ſupra oſtenſum
eſt: & ſic ſequitur idem propoſitũ qđ
prius. Si uerò angulus b a g fuerit mi-
nor angulo g a m, erit, ut ſupra, angu-
lus z a g minor angulo i a g. Sit ergo
angulus o a g ducta linea a o ad peri-
pheriam circuli æqualis angulo i a g:
erit ergo angulus o a g maior angulo
z a g: eſt ergo punctũ o inferius pũcto
z: & producatur linea o g, quę incidat
lineæ i a in puncto t. Palàm itaq; quòd
forma pũcti i reflectitur ad uiſum exi-
ſtentẽ in puncto o à puncto ſpeculi g.
Linea itaq; o g aut ſecabit lineã z m q
extra circulũ ſpeculi, aut non: ſi ſit poſsibile, ſecet ipſam extra circulũ. Si in puncto ſectionis fuerit
uiſus, reflectentur ad ipſum duæ formę punctorũ n & i à pũctis ſpeculi m & g, & loca imaginũ erũt
puncta q & t: & tota linea q t imago totius lineæ n i, & erit per præmiſſa æqualis ei: patet itaq; hoc
quod prius: quoniã imago rei uidebitur in hoc ſitu æqualis ipſi rei. Si forte linea o g ſecet lineam z
m q intra circulum ſpeculi: tunc nõ poteſt accedere probatio pręmiſſa, ſed extra totalẽ hanc ſuper-
ficiem eſt poſsibile inueniri punctũ, in quo poſito uiſu reflectantur ad ipſum formę duorũ puncto-
rũ n & i à duobus punctis ſpeculi, & ipſorũ imagines erunt puncta q & t. Quoniã enim, ut patet ex
prius pręoſtenſis, angulus n a z eſt duplus angulo i a b: quoniã eſt duplus angulo n a u æquali angu
lo i a b, ut patet ex pręmiſsis: & angulus i a o eſt duplus angulo i a g: eſt aũt angulus i a b maior angu
lo i a gin angulo g a b. Et quia angulus g a b eſt ex hypotheſi minor angulo m a g: patet quòd angu-
lus g a b eſt minor medietate anguli m a b: totus uero angulus m a b eſt per 33 p 6 æqualis angulo n
a i, quoniã arcus d f eſt æqualis arcui m b: ergo angulus g a b eſt minor medietate anguli n a i: angu-
lus ergo n a z excedens angulũ i a o in duplo anguli g a b, nõ excedet ipſum in angulo maiori quàm
ſit angulus n a i: duo ergo anguli n a i & n a z ſunt maiores tertio, qui eſt i a o: & duo anguli n a z &
i a o ſunt maiores tertio, qui eſt n a i: & duo anguli i a o & n a i ſunt maiores tertio, qui eſt n a z: ſunt
ergo iſti tres anguli n a i, n a z, & i a o, quorũ quilibet duo ſunt maiores tertio, oẽs aũt tres ſimul 4
rectis ſunt minores: quoniã angulos, qui ſuper centrũ a 4 rectis ſunt æquales, ipſos impoſsibile eſt
642[Figure 642]r c u z i o n k q t d b m g b p g f a x e s æ euacuare, ut patet. Igitur per 23 p 11 p oſsibi
le eſt ex illis fieri unũ angulũ ſolidũ: fiat er
go ille ſuper centrũ a ք eandẽ 23 p 11: & ſit li
nea s a eleuata ſuper ſuperficiem circuli in
puncto a taliter, ut angulus i a s ſit æqualis
angulo i a o, & angulus n a s ſit æqualis an-
gulo n a z, angulus uerò n a i maneat, ut eſt
in ſuperficie circuli immotus. Fiat itaq; li-
nea a s æqualis a licui linearũ a n, uel a i, uel
a o, quæ oẽs ſunt æquales, quia ſunt ſemi-
diametri eiuſdẽ circuli: & ꝓducátur lineæ
t s, q s. Quia itaq; angulus tas eſt æqualis
angulo t a o, ut patet ex pręmiſsis, & duo
latera t a & a o ſunt æ qualia duobus lateri-
bus t a & a s, & angulus ta o eſt ęqualis an-
gulo t a s, ut patet ex pręmiſsis: erit ք 4 p 1
baſis t s æ qualis baſi t o, & totus triangu-
19 toti triãgulo: erit ergo angulus o t a uel
g t a ęqualis angulo s t a. Similiter quoque
angulus q a s eſt æqualis angulo q a z, & duo latera duob. laterib. erit ergo, ut prius, angulus z q a ꝗ
eſt m q a, ęqualis angulo s q a. Diuidatur itaq; angulus t a s ք æ qualia ք lineã a y ex 9 p 1: & ſit y pun
ct{us}, in quo linea diuidẽs angulũ, ſecat lineã t s: palã cũ angulus i a g ſit medietas anguli i a o, ut patet
ex p̃miſsis, erit angulus t a g ęqualis angulo t a y: ſed & angulus g t a oſtẽſus eſt ęqualis angulo y t a.
Et ꝗa duob. trigonis y t a & g t a latus t a eſt cõmune, erit ք 26 p 1 trigonus y t a ęqualis trigono g t a:
quoniã latus t y erit æquale lateri t g, & latus a y æquale lateri a g: erit ergo pũctus y in ſuperficie ſpe
culi, ſicut & punctũ g: cũ ambo æqualiter diſtẽt à cẽtro ſpeculi, q đ eſt a. Et quia angulus t a g eſt æ-
qualis angulo t a y, erit angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera lateribus ſunt æqualia: quoniã i a
eſt commune, & a y eſt æquale ipſi a g: ergo ք 4 p 1 erit angulus a g i æqualis angulo a y i, & linea i y