Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Capitulum </p>
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      Io voglio dividere uno arco in .2. parti iguali. Sia il dato arco .abc., del quale
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      la corda .ac. Voglio dividere il detto arco in .2. parti iguali, che in questo modo lo
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      faró. Divideró la corda .ac. in .2. parti iguali al ponto .d., ala quale si meni una per-
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      pendiculare, la quale caggia per lo ponto .d. e sia .db., la quale seghi la circonferen-
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      tia del dato arco nel ponto .b. La quale perpendiculare á diviso lo detto arco in .2. parti igua-
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      li, comme volavamo, che cosí te ’l proveró. Menise la linea .ab. e la linea .bc., le quali saranno,
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      per la quarta del primo, iguali, imperoché .bd. e .da., del triangolo .bda., é iguali al lato
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      .bd. e .dc., del triangolo .bdc. E l’ angolo .d. di ciascuno triangulo è retto. E peró lo lato .ab.
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      del’ uno sia iguale alo lato .bc. del’ altro. E, per la .27a. di questo, l’ arco .ab. è iguale al’ arco .bc.,
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      che è il proposito. 30
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      Se uno angolo de linee rette nel mezzo cerchio è fatto, el quale sia fatto nel ‘arco
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      cierto, quello angolo è retto. E, se la portione del cerchio dove el’ angolo è magio-
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      re del mezzo cerchio, alora quel angolo sia minore che ’l retto. E, se la portione
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      del cerchio dove el’ angolo è minore del mezzo cerchio, alora quello angolo è
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      magiore che ’l retto. E cosí è converso: quando l’ angolo fatto nel’ arco è retto, alora quella
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      portione di cerchio è mezzo cerchio. E, se l’ angolo è magiore del retto, quella portione sirá
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      minore di mezzo cerchio. E, se l’ angolo è minore che ’l retto, la portione sia magiore del mezzo
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      cerchio. Comme sia il cerchio .abc., del quale il centro .d. e il diametro .adc. e faciase nel mez-
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      zo cerchio .abc., in sula circonferentia l’ angolo .abc., menate le linee .ab. e .bc. Dico l’ angolo
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      .abc. essere retto, che in questo modo lo proveró. Menise dal centro .d. la linea .db., siran, per
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      la .5a. del primo, l’ angolo .abd. e .dab. infra loro iguali. E, perché .bdc. è iguale a’ .2. angoli
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      .dba. e .dab., per la .32a. del primo e l’ angolo .adb. è doppio al’ angolo .dbc., per la .32a. del
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      primo, imperoché l’ angolo .dbc. è iguale al’ angolo .dcb., adunque e .2. angoli .cdb. e .adb.
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      sonno doppi a tutto l’ angolo .abc. Ma quelli .2. angoli, per la .13a. del primo, sonno iguali a
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      .2. retti. Adunque l’ angolo .abc. è il .1/2. di .2. angoli retti. E peró e gli é retto, che è il primo pro-
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      posito. Ancora altramente menise .cb. infino al .e., sirá, per la .32a. del primo, l’ angolo .abe.
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      iguale a’ .2. angoli .a. e .c. E, perché l’ angolo .a. è iguale al’ angolo .abd. e l’ angolo .abd. e l’ ango-
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      lo .c. è iguali al’ angolo .cbd., sirá l’ angolo .abe. iguale al’ angolo .abc. Adunque l’ angolo
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      .aeb. e l’ angolo .abc. ciascuno è retto per la diffinitione. E ’l secondo proposito cosí è manife-
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      sto. Sia nel cerchio .abc., del quale nel centro .d. la portione .abc. magiore del mezzo cerchio
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      e faciase sopra la circunferentia l’ angolo .abc., menate le linee .ba. e .bc. Dico quello angolo es-
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      sere minore d’ uno angolo retto. Menise il diametro .ade. e la linea .eb. Sirá, per la prima
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      parte di questa, l’ angolo .b. tutto retto. Per la qual cosa l’ angolo .abc. è minore per la comu-
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      ne scientia, perché e gli é parte di quello. Onde seguita il proposito. E ’l terzo si manifesta cosí.
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      Sia un’ altra volta nel cerchio .abc., del quale il centro .d., una portione di cerchio minore
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      del .1/2. cerchio. Facciasi sopra la circonferentia l’ angolo .abc., menate le linee .ba. e .bc. Dico que-
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      sto angolo essere magiore che ’l retto in questo modo. Menise il diametro .ade. e la linea
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      .be. Sirá, per la prima parte di questa, l’ angolo .abe. retto. Onde l’ angolo .abc. è magiore
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      che ’l retto, che è il terzo proposito. Gli altri propositi, per loro medesimi, si dichiarano.] 31
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      S e una linea è contingente a uno cerchio e dal ponto del contato nel cerchio si
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      meni una linea la quale non passi pel centro del cerchio, dico che l’ angolo, fatto
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      nela portione che fa la detta linea, sia iguale al’ angolo de fuori fatto dala linea
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      contingente e dala linea menata nel cerchio. Comme sia il cerchio .cdef., al qua-
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      le sia la linea .ab. contingente. E sia .g. il centro del detto cerchio. E .d. sia il ponto del contato.
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      E menise la linea .df. che non passi per lo centro .g. Dico che, facendo un angolo in sula por-
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      tione del .fed., comme l’ angolo .def., sia iguale al’ angolo .fda. E ancora si faccia un angolo
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      in sula portione .fcd. e sia l’ angolo .fcd., el quale dico essere iguali al’ angolo .fdb., che cosí te ’l
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      proveró. Menise il diametro .dgh., sirá, per la .17a. di questo, .bd. perpendiculare sopra la li-
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      nea .ab. E faciase .fh., sirá, per la prima parte dela passata, l’ angolo .dfh. retto. Adunque e .2.
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      l’ angoli .adh. e .dfh. sonno retti ciascuno, adunque sonno iguali. Onde, agionto a ciascuno
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      l’ angolo .hdf., sia l’ angolo .adf. iguale a .2. angoli, che sonno .dfh. e .hdf. Ma questi .2., con
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      l’ angolo .dhf. sonno iguali a .2. retti, imperoché, per la .32a. del primo, li .3. angoli del trian-
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      golo .dhf. sonno iguali a .2. retti. Ma l’ angolo .adf., con l’ angolo .bdf., è iguali a .2. retti, per
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      la .13a. del primo. Adunque l’ angolo .bdf. è iguale al’ angolo .dhf. E l’ angolo .dhf. è iguale
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      al’ angolo .c., imperoché in una medesima portione di cerchio sonno collocati, comme appare
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