561259LIBER SEXTVS.
47. Imago arcus concentrici ſpeculo ſphærico conuexo (diametro uiſuali ſuperficiei inciden-
tiæ obli q u è incidente) uidetur curua, non æquidiſtans arcui, cuius eſt imago, niſiperpendicula-
riduct a à uiſu ſuper aliquem punctum uiſi arcus incidente. Alhazen 12 n 6.
tiæ obli q u è incidente) uidetur curua, non æquidiſtans arcui, cuius eſt imago, niſiperpendicula-
riduct a à uiſu ſuper aliquem punctum uiſi arcus incidente. Alhazen 12 n 6.
Diſponãtur omnia, ut in p̃cedẽre theoremate, niſi qđ diameter uiſualis, q̃ eſt d g, nõ ſit erecta, ſed
obliquè incidẽs ſuքficiei a b g. Dico qđ imago arcus a b uidetur curua. Ducatur enim ք pendicula-
ris à pũcto d ſuք hac ſuքficiẽ ք 11 p 11. Cũ itaq; illa քpendicularis ſit minor omnib l neis ductis à pũ-
cto d a d hác ſuքficiẽ ք 21 t. 1 huius, erit angulus rectus, qu cõtinet hęc ք pẽdicularis uerſus pũctũ g,
minor quolibet angulo uerſus punctũ g imaginato, quẽ cótinet alia linea à pũcto d ad ſuperficiẽ illã
ducta ք 16 p 1: & linea à pũcto d ad ſuքficiẽ illá ducta, quãtò remotior erit à քpẽdiculari, tátò maior
erit & maiorẽ angulũ cõtinebit uerſus g: ꝗ a minorẽ cõtinet uerſus ք pẽdicularẽ ք 21 p 1. Si ergo hęc
քpendicularis nõ cadat in arcũ a e b, ſed ultra ipſum: tũc erũt oẽs line æ ductę à pũcto d ad hũc arcũ
declinatæ in partẽ unã, & remotiores maiores & maiorẽ angulum cõtinentes uerſus pũctũ g, ꝗ̃ ꝓ-
pinquiores ք pendiculari. Si ergo ſumãtur tria pũcta in arcu a b, q̃ ſint e, c, b: & finis cõtigẽtiæ pũcti
b ſit l: & finis cõtingẽtiæ pũcti c ſit m: palã ք 45 huius, ꝗa ex eo, qđ pũctũ c eſt ꝓpinquius urſui d ꝗ̃
pũctus b: erit pũctus m ꝓpinquior cẽtro g ꝗ̃ pũctus l: ſunt aũt lineæ g b & g c ęquales exhypotheſi,
& ք definitionẽ circuli: eſt ergo linea c m maior ꝗ̃ b l. Sit aũt q imago pũcti c, & ſit timago pũcti b: &
ducatur linea q t: & ducãtur lineæ c b & m l: q̃ ꝗ dẽ ꝓductę cõcurrẽt. Quia ſi à pũcto m ducatur linea
ęquidiſtans lineæ c b illa ſecabit exlinea g b lineam ęqualem ipſim c per 2 p 6: eſt autem c m maior
quàm b l: concurrant ergo lineæ c b & m lin puncto o. Et quoniam per 12 huius proportio eſt lineæ
652[Figure 652]p o b c e l m t n a q k f d g g c ad g q, ſicut lineæ c m ad m q:
erit ք 16 p 5 permutatim propor-
tio g c ad c m, ſicut g q ad q m: &
ſimiliter erit g b ad b l, ſicut g t ad
t l: ergo per 124 th. 1 huius, cumli
neæ g c & g b angulariter cõiun-
ctæ ſint proportionaliter diuiſæ,
& à punctis ſectionum ducantur
lineæ cõcurrẽtes, quæ c o & m o:
palàm quòd linea q t concurret
cum lineis c b, m l: & erit ipſarum
concurſus in puncto o. Finis ue-
rò contingẽtiæ puncti e ſit n. Et
quoniam pũctus n per 45 huius
demiſsior eſt puncto m: erit, ut
prius, e n lιnea maior quã linea
c m. Productis ergo lineis e c &
n m, patet, ut prius, quòd concur
rent: ſit ergo punctus concurſus p: & ducatur linea q p, & procedat donec ſecet lineam e g in pun-
cto f: & producatur linea o q uſq; ad lineam e g, quã ſecet in puncto k. Palã quoq; propter hoc, quòd
punctus n eſt demiſsior puncto m, quia punctum k erit ſuperius quã punctum f, & linea g k maior
erit quá g f: patet autẽ per 123 th. 1 huius quoniam proportio lineæ g e ad e n eſt ſicut lineæ g f ad fn:
ſed finis contingentiæ eſt punctus n: locus ergo imaginis erit punctus f per 12 huius. Igitur linea f q
t erit imago arcus circuli e c b: & erit linea curua, nõ recta, utpote arcus illis tribus punctis per 5 p 4
circũſcriptus. Nõ erit aũt ille arcus æ ꝗ diſtans arcui ſpeculi neq; arcui uiſo: quoniã, ut patet, lineę t b
& q c & f e ſunt inæ quales, propter q đ remanẽt lineę g t, g q & g finęquales. Similiter quoq; demõ-
ſtrãdũ ſi perpẽdicularis ducta à puncto d, cadat ex alia parte arcus a b citra ipſum: tunc enim ſimilis
erit probatio. Patet ergo propoſitum primum. Si uerò perpendicularis ducta à puncto d ſuper ſuքfi
ciem incidentię cadat in medio arcus a b: lineę à puncto d ex diuerſis partibus ad arcum ductę ęqua
liter diſtantes à perpendiculari, erunt æ quales, & ęquales angulos continentes uerſus punctum g:
& imagines ipſarum æ qualiter diſtabunt à centro g: & fines contingentiarum ſimiliter. Imago itaq;
æ quidiſtabit arcui a b, & arcui ſpeculi: quoniam imago figurabitur ſuper centrum ſpeculi, quod eſt
g: & erit illi concẽtrica per 73 th. 1 huius. Poteſt quoq; probari predicto modo de utraq; parte arcus
per ſe, ſecundum quod diuiditur à perpen diculari: quòd eius imago ſit linea curua modo prædicto
æ quidiſtans arcui uiſo propter æ qualitatem linearum à centro ſpeculi & arcus uiſi ad loca imagi-
nũ productarũ. Quod eſt propoſitũ: de imagine enim arcus a e poteſt ſecũdũ præmiſſa idem patere.
obliquè incidẽs ſuքficiei a b g. Dico qđ imago arcus a b uidetur curua. Ducatur enim ք pendicula-
ris à pũcto d ſuք hac ſuքficiẽ ք 11 p 11. Cũ itaq; illa քpendicularis ſit minor omnib l neis ductis à pũ-
cto d a d hác ſuքficiẽ ք 21 t. 1 huius, erit angulus rectus, qu cõtinet hęc ք pẽdicularis uerſus pũctũ g,
minor quolibet angulo uerſus punctũ g imaginato, quẽ cótinet alia linea à pũcto d ad ſuperficiẽ illã
ducta ք 16 p 1: & linea à pũcto d ad ſuքficiẽ illá ducta, quãtò remotior erit à քpẽdiculari, tátò maior
erit & maiorẽ angulũ cõtinebit uerſus g: ꝗ a minorẽ cõtinet uerſus ք pẽdicularẽ ք 21 p 1. Si ergo hęc
քpendicularis nõ cadat in arcũ a e b, ſed ultra ipſum: tũc erũt oẽs line æ ductę à pũcto d ad hũc arcũ
declinatæ in partẽ unã, & remotiores maiores & maiorẽ angulum cõtinentes uerſus pũctũ g, ꝗ̃ ꝓ-
pinquiores ք pendiculari. Si ergo ſumãtur tria pũcta in arcu a b, q̃ ſint e, c, b: & finis cõtigẽtiæ pũcti
b ſit l: & finis cõtingẽtiæ pũcti c ſit m: palã ք 45 huius, ꝗa ex eo, qđ pũctũ c eſt ꝓpinquius urſui d ꝗ̃
pũctus b: erit pũctus m ꝓpinquior cẽtro g ꝗ̃ pũctus l: ſunt aũt lineæ g b & g c ęquales exhypotheſi,
& ք definitionẽ circuli: eſt ergo linea c m maior ꝗ̃ b l. Sit aũt q imago pũcti c, & ſit timago pũcti b: &
ducatur linea q t: & ducãtur lineæ c b & m l: q̃ ꝗ dẽ ꝓductę cõcurrẽt. Quia ſi à pũcto m ducatur linea
ęquidiſtans lineæ c b illa ſecabit exlinea g b lineam ęqualem ipſim c per 2 p 6: eſt autem c m maior
quàm b l: concurrant ergo lineæ c b & m lin puncto o. Et quoniam per 12 huius proportio eſt lineæ
652[Figure 652]p o b c e l m t n a q k f d g g c ad g q, ſicut lineæ c m ad m q:
erit ք 16 p 5 permutatim propor-
tio g c ad c m, ſicut g q ad q m: &
ſimiliter erit g b ad b l, ſicut g t ad
t l: ergo per 124 th. 1 huius, cumli
neæ g c & g b angulariter cõiun-
ctæ ſint proportionaliter diuiſæ,
& à punctis ſectionum ducantur
lineæ cõcurrẽtes, quæ c o & m o:
palàm quòd linea q t concurret
cum lineis c b, m l: & erit ipſarum
concurſus in puncto o. Finis ue-
rò contingẽtiæ puncti e ſit n. Et
quoniam pũctus n per 45 huius
demiſsior eſt puncto m: erit, ut
prius, e n lιnea maior quã linea
c m. Productis ergo lineis e c &
n m, patet, ut prius, quòd concur
rent: ſit ergo punctus concurſus p: & ducatur linea q p, & procedat donec ſecet lineam e g in pun-
cto f: & producatur linea o q uſq; ad lineam e g, quã ſecet in puncto k. Palã quoq; propter hoc, quòd
punctus n eſt demiſsior puncto m, quia punctum k erit ſuperius quã punctum f, & linea g k maior
erit quá g f: patet autẽ per 123 th. 1 huius quoniam proportio lineæ g e ad e n eſt ſicut lineæ g f ad fn:
ſed finis contingentiæ eſt punctus n: locus ergo imaginis erit punctus f per 12 huius. Igitur linea f q
t erit imago arcus circuli e c b: & erit linea curua, nõ recta, utpote arcus illis tribus punctis per 5 p 4
circũſcriptus. Nõ erit aũt ille arcus æ ꝗ diſtans arcui ſpeculi neq; arcui uiſo: quoniã, ut patet, lineę t b
& q c & f e ſunt inæ quales, propter q đ remanẽt lineę g t, g q & g finęquales. Similiter quoq; demõ-
ſtrãdũ ſi perpẽdicularis ducta à puncto d, cadat ex alia parte arcus a b citra ipſum: tunc enim ſimilis
erit probatio. Patet ergo propoſitum primum. Si uerò perpendicularis ducta à puncto d ſuper ſuքfi
ciem incidentię cadat in medio arcus a b: lineę à puncto d ex diuerſis partibus ad arcum ductę ęqua
liter diſtantes à perpendiculari, erunt æ quales, & ęquales angulos continentes uerſus punctum g:
& imagines ipſarum æ qualiter diſtabunt à centro g: & fines contingentiarum ſimiliter. Imago itaq;
æ quidiſtabit arcui a b, & arcui ſpeculi: quoniam imago figurabitur ſuper centrum ſpeculi, quod eſt
g: & erit illi concẽtrica per 73 th. 1 huius. Poteſt quoq; probari predicto modo de utraq; parte arcus
per ſe, ſecundum quod diuiditur à perpen diculari: quòd eius imago ſit linea curua modo prædicto
æ quidiſtans arcui uiſo propter æ qualitatem linearum à centro ſpeculi & arcus uiſi ad loca imagi-
nũ productarũ. Quod eſt propoſitũ: de imagine enim arcus a e poteſt ſecũdũ præmiſſa idem patere.
48. Imago arcus eccentrici circulo (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei incidẽtiæ & ſpeculi ſphæ
rici conuexi) ſecundũ mediũ eius punctum propinquior is cẽtro ſpeculi (uiſu exiſtẽte extra ſuքfi
ciẽ incidentiæ) uidetur rnaιoris curuit at is qua arcus etdẽ circulo ſpeculi æքdiſtãtis. Alha. 3 n 6.
rici conuexi) ſecundũ mediũ eius punctum propinquior is cẽtro ſpeculi (uiſu exiſtẽte extra ſuքfi
ciẽ incidentiæ) uidetur rnaιoris curuit at is qua arcus etdẽ circulo ſpeculi æքdiſtãtis. Alha. 3 n 6.
Eſto arcus uiſus b e a:
circulus q́;
communis ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit h z:
cuius centrũ
ſit g: ſitq́; arcus b e a eccentricus arcui h z: ſint tamẽ iſti arcus in eadẽ ſuperficie: & ſit e medius pun-
ctus arcus b e a ꝓpinquior cẽtro g: ſitq́; uiſus extra ſuperficiẽ incidẽtiæ. Dico quòd imago arcus b a
erit curua, & maioris curuitatis ꝗ̃ imago alterius arcus cõcentrici ipſi ſpeculo. Ducatur enim linea à
cetro ſpeculi, q đ eſt g, ad cẽtrũ arcus b e a, q đ ſit f: ꝓ ductaq́ linea g e, palã ք 7 p 3 quoniã ipſa eſt bre-
ſit g: ſitq́; arcus b e a eccentricus arcui h z: ſint tamẽ iſti arcus in eadẽ ſuperficie: & ſit e medius pun-
ctus arcus b e a ꝓpinquior cẽtro g: ſitq́; uiſus extra ſuperficiẽ incidẽtiæ. Dico quòd imago arcus b a
erit curua, & maioris curuitatis ꝗ̃ imago alterius arcus cõcentrici ipſi ſpeculo. Ducatur enim linea à
cetro ſpeculi, q đ eſt g, ad cẽtrũ arcus b e a, q đ ſit f: ꝓ ductaq́ linea g e, palã ք 7 p 3 quoniã ipſa eſt bre-