563261LIBER SEXTVS.
ſpeculum in arcu e h z:
& ſit d cẽtrũ uiſus:
ſitq́ ſectio communis ſuperficiei reflexionis (in qua ſunt
lineæ g a & g d) & ſuperſiciei ſpeculi, arcus z p. Communis uerò ſectio ſuperficiei reflexionis (in qua
ſunt lineæ g h & g d) & ſuperficiei ſpeculi, ſit arcus h p. Palàm ergo per ea, quæ demõſtrata ſunt in 16
huius, quòd forma pũcti b reflectitur ad uiſum d ab aliquo pũcto arcus h p. Si ergo à pũcto illo du-
catur linea cõtingẽs arcũ h p, illa ſecabit lineã b g: & finis cõtingẽtiæ erit pũctus illius ſectionis. Sit
pũctus ille m. Palã etiã quòd ſià pũcto m ducatur linea cõtingẽs arcũ e h. qđilla cadet citra punctũ
e ք 60 th. 1 huius: quoniã linea a b producta eſt cõtingens circulũ in pũctus b eſt altior pũ
cto m. Cadat ergo contingẽs à pũcto m ducta in pũctũ f: & hęc cõtingẽs producta in cotinuũ & dire
ctum per 60 th. 1 huius ſecabit lineam a e: ergo ſecet in pũcto t: & ex alia parte ſecabιt lineam g a per
14 th. 1 huius, cum illæ omnes lineę ſint in una ſuperficie: ſecet ergo ipſam in puncto c. Fiat quoque
656[Figure 656]l k x s y e t q b a f r g o h m u i z n c p d ſuper g terminum lineę b g angulus æqualis angulo
b g d per 23 p 1, qui ſit angulus b g s, cadente puncto s
in peripheriam circuli: & producatur linea g s ad æ-
qualitatem lineæ g d, quæ ſit g l. Erit ergo per 26 p 3
arcus s h æ qualis arcui h p. sicut ergo reflectitur ſor-
ma puncti b ad uiſum in puncto d ab aliquo puncto
arcus h p: ſicreflectetur ad punctum l ab aliquo pun-
cto arcus h s: & erit reflexio à puncto f, ſicut in arcu
h p fit reflexio à puncto, à quo ducitur contingens ad
punctum m: quoniam illi arcus neceſſariò ſunt ęqua-
les, ut patet per 58 th. 1 huius. Et quoniam à puncto m
uenit utraque illarum linearum contingentium: palã
quòd ipſæ ambæ ſunt æ quales per 58 th. 1 huius. Du
cantur ergo lineę b f & l f. Similiter quo q; forma pun
cti a reflectitur per 16 huius ad uiſum d ab aliquo pun
cto arcus z p. Verùm in triangulo curuilineo h z p duo arcus h z & h p ſunt maiores tertio per 28 p 3
& per 20 p 1: ſed arcus h p eſt æqualis arcui h s: igitur arcus z p eſt minor arcu z s. Reſcindatur ergo
arcus z s ad æ qualitatem arcus z p (quod poteſt fieri auxilio 34 p 3) ſit ergo factum in puncto y: &
ducatur linea g y: quæ producta ad æqualitatem lineæ g s, ſecabit neceſſario lineam f l: ideo quia
linea g d eſt æqualis lineæ g l. Quia itaque linea illa ſecat angulum l g z: ergo ſecabit etiam baſim ei
ſubtenſam per 29 th. 1 huius. Secet ergo in puncto x: & ſit linea g y k ęqualis lineæ g d. Palam ergo
quoniam ſicut ſorma puncti a reflectitur ad uiſum d ab aliquo puncto arcus z p: ſimiliter eadem for
ma puncti a refle ctitur ad k ab aliquo puncto arcus. z y. Sed non reflectetur a ad k, niſi ab aliquo pun
cto. quod eſt citra punctum fex parte puncti z. Si enim dicatur quòd a puncto f uel ab alio puncto
arcus f y reflectitur forma puncti a ad punctum k: ſit, ut fiat illa reflexio à puncto f: palàm ergo quòd
tunclinea ducta à puncto a ad punctum reflexionis f, ſecabit in aliquo puncto lineam b f: quia linea
contingens circulum in puncto e tranſit per punctum b. Ad illud ergo punctum communis ſectio-
nis illarum linearum a f & b f reflectetur punctus k, & ad idem punctum à puncto freflectetur pun-
ctus l: & ita duo puncta in his ſpeculis reflectentur ad idem punctum ab eodem puncto f & exea-
dem parte diametri uiſualis, quod eſt contra 16 huius. Sed neque ab alio puncto arcus f y: quoniã
tunc, ut prius, linea ducta à puncto a ad punctũ reflexionis, ſecabit lineã b f: ſit punctũ ſectionis u.
Ad illud ergo punctũ ſectionis u reflectetur ſorma pũcti k & forma puncti l: & ita duo pũcta eiuſdẽ
diſtãtię à centro propoſiti ſpeculi, quod eſt pũctũ g (quoniã ambæ l g, k g ſunt ęquales ipſi g d exhy
potheſi) reflectentur ad idem centrum uiſus ex eadem parte diametri uiſualis, quæ a b illo puncto
ſectionis lineę b f, quod eſtu, eſt ducibilis ad punctum g centrũ ſpeculi, Erit ergo per 18 huius angu
lus l g u æqualis angulo k g u, totum ſuæ parti: quod eſt impoſsibile. Non ergo refle ctitur forma pun
cti a ad punctum k ab aliquo puncto arcus f y: reſtat ergo, ut punctus a refle ctatur ad punctum k ab
aliquo puncto arcus z f alio, quàm ſit punctum f. Si igitur ab illo puncto ducatur linea contingens
circulum, illa producta neceſſariò ſecabit lineã a z: & cadetinter puncta z & cper 60 th. 1 huius: i-
deo quòd punctus ſ reſpectu diametri g a demiſsior eſt quolibet puncto arcus z f: & ita linea con-
tingens à puncto f, quæeſt f c, altior eſt alijs contingentibus à punctis arcus z f ductis. Cadat ergo
contingens illa in punctum n: & ducatur linea m n: quæ quidẽ linea cum tranſeat per acumen trian
guli b m t, & producta diuidat angulum b m t per 15 p 1. quoniã & ipſa diuidit angulũ g m c, ut patet
expræmiſsis. Quia ergo diuidit b m t, ergo neceſſariò ſecabit baſim b t per 29 th. 1 huius. Secet ergo
ipſam in puncto q: & ducatur linea g q: ſit autẽ i imago puncti a: & ſit o imago puncti b: & r ſit imago
puncti q. Palàm autem ex 45 huius, cum punctum b ſit propinquius puncto g centro ſpeculi quàm
punctum a, quod erit imago puncti b remotior a puncto g quã i imago puncti a. Ducatur ergo linea
o i, quæ per 11 huius erit imago lineæ a b. Palàm etiam per 12 huius & per 16 p 5 quòd proportio a g
ad a n eſt, ſicut g i ad i n, & proportio b g ad b m per eadem eſt ſicut g o ad o m. Cum ergo lineę a g &
b g diuidantur ſecundum proportionem ſimilem, utraq: ipſarum in duobus punctis, & à punctis di
uiſionum ducantur lineæ, quarum duæ ſcilicet g q & m n concurrant ad idẽ punctum q, tertia (quę
eſt i o) neceſſariò concurret ad idem punctum per 124 th. 1 huius. Linea ergo i o producta cadet ſu-
per punctum q: eſt ergo linea io q linea recta. Igitur linea i o r non erit recta: ſed linea i o r eſt imago
lineæ a q. Quare palã quòd imago lineę a q erit curua. Poſito aũt b loco pũcti q, & alio pũcto lineæ a
lineæ g a & g d) & ſuperſiciei ſpeculi, arcus z p. Communis uerò ſectio ſuperficiei reflexionis (in qua
ſunt lineæ g h & g d) & ſuperficiei ſpeculi, ſit arcus h p. Palàm ergo per ea, quæ demõſtrata ſunt in 16
huius, quòd forma pũcti b reflectitur ad uiſum d ab aliquo pũcto arcus h p. Si ergo à pũcto illo du-
catur linea cõtingẽs arcũ h p, illa ſecabit lineã b g: & finis cõtingẽtiæ erit pũctus illius ſectionis. Sit
pũctus ille m. Palã etiã quòd ſià pũcto m ducatur linea cõtingẽs arcũ e h. qđilla cadet citra punctũ
e ք 60 th. 1 huius: quoniã linea a b producta eſt cõtingens circulũ in pũctus b eſt altior pũ
cto m. Cadat ergo contingẽs à pũcto m ducta in pũctũ f: & hęc cõtingẽs producta in cotinuũ & dire
ctum per 60 th. 1 huius ſecabit lineam a e: ergo ſecet in pũcto t: & ex alia parte ſecabιt lineam g a per
14 th. 1 huius, cum illæ omnes lineę ſint in una ſuperficie: ſecet ergo ipſam in puncto c. Fiat quoque
656[Figure 656]l k x s y e t q b a f r g o h m u i z n c p d ſuper g terminum lineę b g angulus æqualis angulo
b g d per 23 p 1, qui ſit angulus b g s, cadente puncto s
in peripheriam circuli: & producatur linea g s ad æ-
qualitatem lineæ g d, quæ ſit g l. Erit ergo per 26 p 3
arcus s h æ qualis arcui h p. sicut ergo reflectitur ſor-
ma puncti b ad uiſum in puncto d ab aliquo puncto
arcus h p: ſicreflectetur ad punctum l ab aliquo pun-
cto arcus h s: & erit reflexio à puncto f, ſicut in arcu
h p fit reflexio à puncto, à quo ducitur contingens ad
punctum m: quoniam illi arcus neceſſariò ſunt ęqua-
les, ut patet per 58 th. 1 huius. Et quoniam à puncto m
uenit utraque illarum linearum contingentium: palã
quòd ipſæ ambæ ſunt æ quales per 58 th. 1 huius. Du
cantur ergo lineę b f & l f. Similiter quo q; forma pun
cti a reflectitur per 16 huius ad uiſum d ab aliquo pun
cto arcus z p. Verùm in triangulo curuilineo h z p duo arcus h z & h p ſunt maiores tertio per 28 p 3
& per 20 p 1: ſed arcus h p eſt æqualis arcui h s: igitur arcus z p eſt minor arcu z s. Reſcindatur ergo
arcus z s ad æ qualitatem arcus z p (quod poteſt fieri auxilio 34 p 3) ſit ergo factum in puncto y: &
ducatur linea g y: quæ producta ad æqualitatem lineæ g s, ſecabit neceſſario lineam f l: ideo quia
linea g d eſt æqualis lineæ g l. Quia itaque linea illa ſecat angulum l g z: ergo ſecabit etiam baſim ei
ſubtenſam per 29 th. 1 huius. Secet ergo in puncto x: & ſit linea g y k ęqualis lineæ g d. Palam ergo
quoniam ſicut ſorma puncti a reflectitur ad uiſum d ab aliquo puncto arcus z p: ſimiliter eadem for
ma puncti a refle ctitur ad k ab aliquo puncto arcus. z y. Sed non reflectetur a ad k, niſi ab aliquo pun
cto. quod eſt citra punctum fex parte puncti z. Si enim dicatur quòd a puncto f uel ab alio puncto
arcus f y reflectitur forma puncti a ad punctum k: ſit, ut fiat illa reflexio à puncto f: palàm ergo quòd
tunclinea ducta à puncto a ad punctum reflexionis f, ſecabit in aliquo puncto lineam b f: quia linea
contingens circulum in puncto e tranſit per punctum b. Ad illud ergo punctum communis ſectio-
nis illarum linearum a f & b f reflectetur punctus k, & ad idem punctum à puncto freflectetur pun-
ctus l: & ita duo puncta in his ſpeculis reflectentur ad idem punctum ab eodem puncto f & exea-
dem parte diametri uiſualis, quod eſt contra 16 huius. Sed neque ab alio puncto arcus f y: quoniã
tunc, ut prius, linea ducta à puncto a ad punctũ reflexionis, ſecabit lineã b f: ſit punctũ ſectionis u.
Ad illud ergo punctũ ſectionis u reflectetur ſorma pũcti k & forma puncti l: & ita duo pũcta eiuſdẽ
diſtãtię à centro propoſiti ſpeculi, quod eſt pũctũ g (quoniã ambæ l g, k g ſunt ęquales ipſi g d exhy
potheſi) reflectentur ad idem centrum uiſus ex eadem parte diametri uiſualis, quæ a b illo puncto
ſectionis lineę b f, quod eſtu, eſt ducibilis ad punctum g centrũ ſpeculi, Erit ergo per 18 huius angu
lus l g u æqualis angulo k g u, totum ſuæ parti: quod eſt impoſsibile. Non ergo refle ctitur forma pun
cti a ad punctum k ab aliquo puncto arcus f y: reſtat ergo, ut punctus a refle ctatur ad punctum k ab
aliquo puncto arcus z f alio, quàm ſit punctum f. Si igitur ab illo puncto ducatur linea contingens
circulum, illa producta neceſſariò ſecabit lineã a z: & cadetinter puncta z & cper 60 th. 1 huius: i-
deo quòd punctus ſ reſpectu diametri g a demiſsior eſt quolibet puncto arcus z f: & ita linea con-
tingens à puncto f, quæeſt f c, altior eſt alijs contingentibus à punctis arcus z f ductis. Cadat ergo
contingens illa in punctum n: & ducatur linea m n: quæ quidẽ linea cum tranſeat per acumen trian
guli b m t, & producta diuidat angulum b m t per 15 p 1. quoniã & ipſa diuidit angulũ g m c, ut patet
expræmiſsis. Quia ergo diuidit b m t, ergo neceſſariò ſecabit baſim b t per 29 th. 1 huius. Secet ergo
ipſam in puncto q: & ducatur linea g q: ſit autẽ i imago puncti a: & ſit o imago puncti b: & r ſit imago
puncti q. Palàm autem ex 45 huius, cum punctum b ſit propinquius puncto g centro ſpeculi quàm
punctum a, quod erit imago puncti b remotior a puncto g quã i imago puncti a. Ducatur ergo linea
o i, quæ per 11 huius erit imago lineæ a b. Palàm etiam per 12 huius & per 16 p 5 quòd proportio a g
ad a n eſt, ſicut g i ad i n, & proportio b g ad b m per eadem eſt ſicut g o ad o m. Cum ergo lineę a g &
b g diuidantur ſecundum proportionem ſimilem, utraq: ipſarum in duobus punctis, & à punctis di
uiſionum ducantur lineæ, quarum duæ ſcilicet g q & m n concurrant ad idẽ punctum q, tertia (quę
eſt i o) neceſſariò concurret ad idem punctum per 124 th. 1 huius. Linea ergo i o producta cadet ſu-
per punctum q: eſt ergo linea io q linea recta. Igitur linea i o r non erit recta: ſed linea i o r eſt imago
lineæ a q. Quare palã quòd imago lineę a q erit curua. Poſito aũt b loco pũcti q, & alio pũcto lineæ a