572270VITELLONIS OPTICAE
Quod hic proponitur, patet.
Eſto enim axis ſpeculi columnaris conuexi h k i:
& baſis ſuperior c
lumnæ circulus f d: cuius centrum ſit h: & interior baſis circulus g e: cuius centrum i: & communis
ſectio alicuius ſuperficiei reflexiõis & ſuperficiei ſpeculi columna-
673[Figure 673]m f h d b k j p q g i e a ris ſit circulus b l: cuius centrum k. Cum itaq; axis h i, qui orthogo
nalis eſt ſuper baſes, ut patet per 92 th. 1 huius, ſit etiam orthogona
lis ſuper circulũ b l per 100 & per 23 th. 1 huius: & per eadem ſint li-
neæ longitudinis columnæ d e & f g orthogonales ſuper circulum
b l. Superficies ergo contingentes columnã ſecundum illas lineas
d e & f g, erectæ erunt ſuper circulum b l per 18 p 11: ergo & ſuper ſu
perficiem reflexionis, ſecantẽ columná ſecundũ illum circulum b
l: ergo per 19 p 11 cõmunis ſectio illarũ ſuperficierum contingentiũ
columnã orthogonalis erit ſuper illam ſuperficiẽ reflexionis. Ergo
per 6 p 11 illarũ ſuperficierũ cõmunis ſectio æquidiſtans erit axi co
lumnæ, qui ſuper eandem ſuperficiem eſt orthogonaliter erectus.
Secant aũt illæ ſuperficies ſe in centro uiſus: quoniam centrum ui
ſus in omnibus illis exiſtit, ut patet ex hypotheſi de ſuperficiebus
planis ſpeculum propoſitum contingentibus, & de ſuperficie refle
xionis ex 27 th. 5 huius. Patet ergo propoſitum.
lumnæ circulus f d: cuius centrum ſit h: & interior baſis circulus g e: cuius centrum i: & communis
ſectio alicuius ſuperficiei reflexiõis & ſuperficiei ſpeculi columna-
673[Figure 673]m f h d b k j p q g i e a ris ſit circulus b l: cuius centrum k. Cum itaq; axis h i, qui orthogo
nalis eſt ſuper baſes, ut patet per 92 th. 1 huius, ſit etiam orthogona
lis ſuper circulũ b l per 100 & per 23 th. 1 huius: & per eadem ſint li-
neæ longitudinis columnæ d e & f g orthogonales ſuper circulum
b l. Superficies ergo contingentes columnã ſecundum illas lineas
d e & f g, erectæ erunt ſuper circulum b l per 18 p 11: ergo & ſuper ſu
perficiem reflexionis, ſecantẽ columná ſecundũ illum circulum b
l: ergo per 19 p 11 cõmunis ſectio illarũ ſuperficierum contingentiũ
columnã orthogonalis erit ſuper illam ſuperficiẽ reflexionis. Ergo
per 6 p 11 illarũ ſuperficierũ cõmunis ſectio æquidiſtans erit axi co
lumnæ, qui ſuper eandem ſuperficiem eſt orthogonaliter erectus.
Secant aũt illæ ſuperficies ſe in centro uiſus: quoniam centrum ui
ſus in omnibus illis exiſtit, ut patet ex hypotheſi de ſuperficiebus
planis ſpeculum propoſitum contingentibus, & de ſuperficie refle
xionis ex 27 th. 5 huius. Patet ergo propoſitum.
4. Ad quodcũ punctũ ſignatũ in ſugnatũ in ſuperficie apparẽte ſpecu
li colũnaris uel pyramidalis cõuexi à centro uiſus ducatur linea
rect a: illa product a neceſſariò ſpeculũ ſecabit. Alhazen 27 h 4.
li colũnaris uel pyramidalis cõuexi à centro uiſus ducatur linea
rect a: illa product a neceſſariò ſpeculũ ſecabit. Alhazen 27 h 4.
Sit diſpoſitio omnimoda præmiſſæ:
ſigneturq́;
in apparẽte uiſui
portione ſpeculi, quę eſt e d f g, punctus q: & producatur linea a q.
Dico quò d linea a q ꝓducta neceffariò ſpeculũ ſecabit. Produca-
tur enim à puncto q linea longitudinis columnæ, quæ fit q m, ք 101
th. 1 huius: hæc itaq; linea erit æquidiſtans ambabus lineis longi-
tudinis d e & f g per 92 th. 1 huius, 6 p 11 & 30 p 1. Sit quoq; ut fuper-
ficies aliqua reflexionis ſecet columná ultra punctũ q ſecundũ cir-
culum b l per 100 th. 1 huius. Linea ergo q m neceſſariò tráſibit per
circulũ ſectionis, qui eſt b l, ſecás ipſum in pũcto: ſit ergo illud pun
ctũ p: ducaturq́ linea a p. Hæc ergo, quia caditinter lineas à centro uiſus a ad circulũ b l ꝓductas il
lum cõtingentes, quæ ſunt a b & a l, palã quia ſecabit circulum. Ergo etiã ſuperficies à centro uiſus
ad ſpeculi ſuperficiem protenſa, in qua ſunt lineę a p & a q, ſecabit ſpeculũ: quia illa ſuperficies ſeca
bit ſuperficiẽ columnaris ſpeculi ſecundũ lineam longitudinis, quæ eſt m q. Palàm ergo quoniam
linea a q ꝓducta ſecabit ſpeculũ: eodẽq́; modo patet de quolibet a-
674[Figure 674]m f y d z b j s n p t r o g i e a lio dato puncto. In ſpeculis quoq; pyramidalibus cõuexis eodem
modo demonſtrandũ, ducta linea à uertice pyramidis ad punctum
quẽcunq; in illius ſpeculi ſuperficie datũ. Palàm eſt ergo ꝓpoſitũ.
portione ſpeculi, quę eſt e d f g, punctus q: & producatur linea a q.
Dico quò d linea a q ꝓducta neceffariò ſpeculũ ſecabit. Produca-
tur enim à puncto q linea longitudinis columnæ, quæ fit q m, ք 101
th. 1 huius: hæc itaq; linea erit æquidiſtans ambabus lineis longi-
tudinis d e & f g per 92 th. 1 huius, 6 p 11 & 30 p 1. Sit quoq; ut fuper-
ficies aliqua reflexionis ſecet columná ultra punctũ q ſecundũ cir-
culum b l per 100 th. 1 huius. Linea ergo q m neceſſariò tráſibit per
circulũ ſectionis, qui eſt b l, ſecás ipſum in pũcto: ſit ergo illud pun
ctũ p: ducaturq́ linea a p. Hæc ergo, quia caditinter lineas à centro uiſus a ad circulũ b l ꝓductas il
lum cõtingentes, quæ ſunt a b & a l, palã quia ſecabit circulum. Ergo etiã ſuperficies à centro uiſus
ad ſpeculi ſuperficiem protenſa, in qua ſunt lineę a p & a q, ſecabit ſpeculũ: quia illa ſuperficies ſeca
bit ſuperficiẽ columnaris ſpeculi ſecundũ lineam longitudinis, quæ eſt m q. Palàm ergo quoniam
linea a q ꝓducta ſecabit ſpeculũ: eodẽq́; modo patet de quolibet a-
674[Figure 674]m f y d z b j s n p t r o g i e a lio dato puncto. In ſpeculis quoq; pyramidalibus cõuexis eodem
modo demonſtrandũ, ducta linea à uertice pyramidis ad punctum
quẽcunq; in illius ſpeculi ſuperficie datũ. Palàm eſt ergo ꝓpoſitũ.
5. Omnis ſuperficies plana in aliqua linea lõgitudinis ſuperfi-
ciei apparentis uiſui ſpeculi colũnaris uel pyramidalis conuexi,
contingens ſpeculũ, ſecat ſuperficies à uiſu productas, quæ cõtin-
gunt portionis apparentis extremitates: omneś illæ ſuperficies
inter uiſum & ſpeculi ſuperficiẽ extenduntur. Alhazen 27 n 4.
ciei apparentis uiſui ſpeculi colũnaris uel pyramidalis conuexi,
contingens ſpeculũ, ſecat ſuperficies à uiſu productas, quæ cõtin-
gunt portionis apparentis extremitates: omneś illæ ſuperficies
inter uiſum & ſpeculi ſuperficiẽ extenduntur. Alhazen 27 n 4.
Maneat ſuperior diſpoſitio:
cõtingatq́;
aliqua ſuքficies plana ſu-
perficiẽ apparentẽ ſpeculi ſecundũ lineã lõgitudinis, quę eſt m o, ք
95 th. 1 huius: ducaturq́; ſuքficies reflexiõis, quę ſit a b l: & in ea ꝓ
ducatur linea cõtingẽs circulũ b l in pũcto p, quę ſit s p t. Palã ergo
q đ linea s p t ſecabit lineas a b & a l. Ducatur enim linea p l. Quia
ergo linea s p t ſecat angulũ a p l, patet ք 29 th. 1 huius quoniá ipſa
fecabit lineã a l. Similiter ducta linea p b, patet q đ linea s p ſecabit
lineã a b: palá ergo quoniá lineę a l & p t cõcurrent. Sed linea p t eſt
in ſuքficie cõtingẽte columná ſecundũ lineã lõgitudinis m o: linea
uerò a l eſt in ſuքficie cõtingẽte columnã ſecũdũ lineá lõgitudinis
d e, quę eſt extremitas portionis apparẽtis. Patet ergo ꝓpoſitũ pri
mum. Sed & oẽs tales ſuքficies, qualis eſt ſuքficies, in qua eſt linea
s t, inter uiſum & ſpeculi ſuքficiẽ extenduntur. Et de ſpeculi quidẽ
ſuperficie patet, cũ ſint illę ſuperficies cõtingentes ipſam ſpeculi ſu
perficiẽ, & nõ ſecantés illá: ſed & patet de cetro uiſus. Sit enim pun
ctum n proximũ punctũ ſignabile ſub puncto b, in arcu l b: & ima-
ginetur aliqua ſuperficies cõtingens ſuքficiẽ colũnę in linea lõgitu
dinis, in qua ſit punctus n: hæc ergo neceſſariò ſecabit ſuքficiẽ refle
xionis, quę eſt a b l: quoniá eſt orthogonalis ſuper illã per 18 p 11. Sit
itaq; ſuperficiei reflexióis, quę a b l, & dictę ſuperficiei cómunis ſectio linea recta, quę ſit n r. Palàm
ergo ք pręmiſſa quoniá linea n r cõtingit circulũ b n in pũcto n: ſed punctũ n demiſsius eſt pũcto b:
perficiẽ apparentẽ ſpeculi ſecundũ lineã lõgitudinis, quę eſt m o, ք
95 th. 1 huius: ducaturq́; ſuքficies reflexiõis, quę ſit a b l: & in ea ꝓ
ducatur linea cõtingẽs circulũ b l in pũcto p, quę ſit s p t. Palã ergo
q đ linea s p t ſecabit lineas a b & a l. Ducatur enim linea p l. Quia
ergo linea s p t ſecat angulũ a p l, patet ք 29 th. 1 huius quoniá ipſa
fecabit lineã a l. Similiter ducta linea p b, patet q đ linea s p ſecabit
lineã a b: palá ergo quoniá lineę a l & p t cõcurrent. Sed linea p t eſt
in ſuքficie cõtingẽte columná ſecundũ lineã lõgitudinis m o: linea
uerò a l eſt in ſuքficie cõtingẽte columnã ſecũdũ lineá lõgitudinis
d e, quę eſt extremitas portionis apparẽtis. Patet ergo ꝓpoſitũ pri
mum. Sed & oẽs tales ſuքficies, qualis eſt ſuքficies, in qua eſt linea
s t, inter uiſum & ſpeculi ſuքficiẽ extenduntur. Et de ſpeculi quidẽ
ſuperficie patet, cũ ſint illę ſuperficies cõtingentes ipſam ſpeculi ſu
perficiẽ, & nõ ſecantés illá: ſed & patet de cetro uiſus. Sit enim pun
ctum n proximũ punctũ ſignabile ſub puncto b, in arcu l b: & ima-
ginetur aliqua ſuperficies cõtingens ſuքficiẽ colũnę in linea lõgitu
dinis, in qua ſit punctus n: hæc ergo neceſſariò ſecabit ſuքficiẽ refle
xionis, quę eſt a b l: quoniá eſt orthogonalis ſuper illã per 18 p 11. Sit
itaq; ſuperficiei reflexióis, quę a b l, & dictę ſuperficiei cómunis ſectio linea recta, quę ſit n r. Palàm
ergo ք pręmiſſa quoniá linea n r cõtingit circulũ b n in pũcto n: ſed punctũ n demiſsius eſt pũcto b: