581279LIBER SEPTIMVS.acutus:
ergo per 13 p 1 angulus a p t eſt obtuſus:
reſcindatur ergo ab angulo u p t recto angulus
æqualis angulo a p u per 27 th. 1 huius. Si ergo linea x
687[Figure 687]x f h d m b k l t z s p u g i e n a q p illum angulum contineat: palàm per 20 th. 5 huius
quoniam à pũcto p reflectetur forma pũcti x ad pun-
ctum a centrum uiſus. Quòd ſi linea x p illum angulũ
non contineat: tunc, ut prius, ſuper punctum p termi-
num lineę u p fiat angulus ęqualis angulo x p u per 23
p 1. In linea quoq; illum angulum continente poſito
centro uiſus a, patet propoſitum, ut prius. Et quoniã
perpendicularis k p u eſt cum puncto a in eadem ſu-
perficie per præmiſſam, erit linea a p in eadem ſuper-
ficie cum linea x p: & erit hæc ſuperficies ipſa ſuperfi-
cies reflexionis & orthogonalis ſuper ſuperficiẽ ſpe-
culum contingentem ſecundũ lineam m n: quoniam
perpẽdicularis p u (quæ eſt in ſuperficie reflexionis)
erecta eſt ſuper ſuperficiem ſecundũ lineam m n ſpe-
culum contingentem: & eſt in ea circulus b p l æqui-
diſtans baſibus columnæ. Et ſimiliter poteſt demon-
ſtrari de alijs punctis datis in dicta ſuperficie ſpeculi.
Idem quoq; patetſi cõmunis ſectio ſuperficiei refle-
xionis & ſpeculi colũnaris ſuerit ſectio oxygonia per
10 huius: quoniam, ut oſtendimus in 21 huius, patet
quò d ſemper perpẽdicularis ducta à pũcto reflexio-
nis cadit in aliquod punctum axis, & eſt ſemidiame-
ter circuli cuiuſdam ſecãtis ſuperficiem ſpeculi ęqui-
diſtanter baſibus columnæ: ductaq́; linea in puncto dato ſpeculum ſecundum oxygoniam ſectio-
nem contingente, & producta illa perpendiculari, ſi punctus rei uiſæ & centrũ uiſus cadant in ean-
dem perpendicularem, uel in lineas in eadem ſuperficie cum perpendiculari exiſtentes, & æquales
angulos cum ipſa continentes: fiet ſecundum præmiſſa reflexio ad uiſum. Patet ergo uniuerſaliter
propoſitum in omni ſectione communi ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi columnaris.
æqualis angulo a p u per 27 th. 1 huius. Si ergo linea x
687[Figure 687]x f h d m b k l t z s p u g i e n a q p illum angulum contineat: palàm per 20 th. 5 huius
quoniam à pũcto p reflectetur forma pũcti x ad pun-
ctum a centrum uiſus. Quòd ſi linea x p illum angulũ
non contineat: tunc, ut prius, ſuper punctum p termi-
num lineę u p fiat angulus ęqualis angulo x p u per 23
p 1. In linea quoq; illum angulum continente poſito
centro uiſus a, patet propoſitum, ut prius. Et quoniã
perpendicularis k p u eſt cum puncto a in eadem ſu-
perficie per præmiſſam, erit linea a p in eadem ſuper-
ficie cum linea x p: & erit hæc ſuperficies ipſa ſuperfi-
cies reflexionis & orthogonalis ſuper ſuperficiẽ ſpe-
culum contingentem ſecundũ lineam m n: quoniam
perpẽdicularis p u (quæ eſt in ſuperficie reflexionis)
erecta eſt ſuper ſuperficiem ſecundũ lineam m n ſpe-
culum contingentem: & eſt in ea circulus b p l æqui-
diſtans baſibus columnæ. Et ſimiliter poteſt demon-
ſtrari de alijs punctis datis in dicta ſuperficie ſpeculi.
Idem quoq; patetſi cõmunis ſectio ſuperficiei refle-
xionis & ſpeculi colũnaris ſuerit ſectio oxygonia per
10 huius: quoniam, ut oſtendimus in 21 huius, patet
quò d ſemper perpẽdicularis ducta à pũcto reflexio-
nis cadit in aliquod punctum axis, & eſt ſemidiame-
ter circuli cuiuſdam ſecãtis ſuperficiem ſpeculi ęqui-
diſtanter baſibus columnæ: ductaq́; linea in puncto dato ſpeculum ſecundum oxygoniam ſectio-
nem contingente, & producta illa perpendiculari, ſi punctus rei uiſæ & centrũ uiſus cadant in ean-
dem perpendicularem, uel in lineas in eadem ſuperficie cum perpendiculari exiſtentes, & æquales
angulos cum ipſa continentes: fiet ſecundum præmiſſa reflexio ad uiſum. Patet ergo uniuerſaliter
propoſitum in omni ſectione communi ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi columnaris.
26. Superficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi communi ſectione linea longitudi-
nis ſpeculi exiſtente: formæ eiuſdem punctirei uiſæ ab uno tantùm puncto totius ſuperficiei ſpe-
culi ad unum uiſum fit reflexio. Alhazen 46 n 5.
nis ſpeculi exiſtente: formæ eiuſdem punctirei uiſæ ab uno tantùm puncto totius ſuperficiei ſpe-
culi ad unum uiſum fit reflexio. Alhazen 46 n 5.
Eſto ſpeculum columnare conuexum, cuius axis ſit c d:
ſitq̃;
ſuperficies reflexionis a b g, ita ut
forma puncti b reflectatur ad a cẽtrum circuli à puncto g ſuperficiei ſpeculi: & ſit communis ſectio
ſuperficierum iſtarum linea f g n, quæ eſt linea longitudinis ſpeculi. Dico quòd forma puncti b non
poteſt reflecti ad centrum uiſus a ab alio pun-
cto ſpeculi quàm à puncto g. Ducatur enim à
688[Figure 688]a q k b f g l n c e i d h puncto g perpendicularis ſuper ſuperficiem
contingentem columnam ſecundum lineam
f g n per 12 p 11: quæ ſit linea g q, ſecans lineam
a b productam inter punctum uiſum & cen-
trũ uiſus in puncto q. Palàm per 21 huius quo-
niam hæc linea g q producta intra ſpeculum
ſecat ipſum trans axem c d: ſecet ergo in pun-
cto e. Et quia linea longitudinis, quę eſt f n, eſt
in ſuperficie reflexionis: palàm quoniam axis
c d erit in eadem per 7 huius: ergo & pũctum
e erit in illa ſuperficie. Cum itaq; una ſola ſuperficies poſsit intelligi, in qua ſunt ſimul omnia pũcta
a, b, g & e, & lineæ f n & c d: palàm quòd à ſuperficie totius ſpeculi non poteſt reflecti forma puncti
b ad a centrum uiſus, niſi à linea longitudinis f n: ſed per 45 th. 5 huius oſtenſum eſt quòd in ſpecu-
lis planis ab uno ſolo puncto fit unius puncti reflexio ad uiſum: ergo & in his ſpeculis non poteſt
fieri reflexio ab alio pũcto quàm a b uno ſolo puncto ſcilicet lineæ f n. Forma ergo puncti b reflecti-
tur ad uiſum a ab uno ſolo puncto ſuperficiei totius ſpeculi. Quod eſt propoſitum.
forma puncti b reflectatur ad a cẽtrum circuli à puncto g ſuperficiei ſpeculi: & ſit communis ſectio
ſuperficierum iſtarum linea f g n, quæ eſt linea longitudinis ſpeculi. Dico quòd forma puncti b non
poteſt reflecti ad centrum uiſus a ab alio pun-
cto ſpeculi quàm à puncto g. Ducatur enim à
688[Figure 688]a q k b f g l n c e i d h puncto g perpendicularis ſuper ſuperficiem
contingentem columnam ſecundum lineam
f g n per 12 p 11: quæ ſit linea g q, ſecans lineam
a b productam inter punctum uiſum & cen-
trũ uiſus in puncto q. Palàm per 21 huius quo-
niam hæc linea g q producta intra ſpeculum
ſecat ipſum trans axem c d: ſecet ergo in pun-
cto e. Et quia linea longitudinis, quę eſt f n, eſt
in ſuperficie reflexionis: palàm quoniam axis
c d erit in eadem per 7 huius: ergo & pũctum
e erit in illa ſuperficie. Cum itaq; una ſola ſuperficies poſsit intelligi, in qua ſunt ſimul omnia pũcta
a, b, g & e, & lineæ f n & c d: palàm quòd à ſuperficie totius ſpeculi non poteſt reflecti forma puncti
b ad a centrum uiſus, niſi à linea longitudinis f n: ſed per 45 th. 5 huius oſtenſum eſt quòd in ſpecu-
lis planis ab uno ſolo puncto fit unius puncti reflexio ad uiſum: ergo & in his ſpeculis non poteſt
fieri reflexio ab alio pũcto quàm a b uno ſolo puncto ſcilicet lineæ f n. Forma ergo puncti b reflecti-
tur ad uiſum a ab uno ſolo puncto ſuperficiei totius ſpeculi. Quod eſt propoſitum.
27. Superficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi communi ſectione exiſtente circu-
lo baſibus ſpeculi æquidiſtante: ab uno ſolo puncto ſuperficieitotius ſpeculi formæ eiuſdem puncte
reiuiſæ fit reflexio aduiſum. Alhazen 46 n 5.
lo baſibus ſpeculi æquidiſtante: ab uno ſolo puncto ſuperficieitotius ſpeculi formæ eiuſdem puncte
reiuiſæ fit reflexio aduiſum. Alhazen 46 n 5.
Sit diſpoſitio, quæ in præcedente, palamq́;
per 17 huius quoniam hác hypotheſi exiſtẽte, ſuper-
ficies reflexionis a b g erit æquidiſtans baſibus columnæ: circulus quoq; , qui eſt communis ſectio
ſuperficiei a b g & columnæ, cuius axis eſt c d, qui eſt æquidiſtans baſibus columnæ, ſit g h: cuius
centrum ſit punctum e. Dico quòd à circulo g h (qui eſt communis ſectio ſuperficiei a b g & ſuper-
ficiei ſpeculi) non poteſt fieri reflexio formæ b ad a uiſuin, niſi ab uno tantùm pũcto g. Patuit enim
per 16 th. 6 huius quia in ſpeculis ſphæricis conuexis à circulo, ſuper quem fit reflexio, non poteſt
ficies reflexionis a b g erit æquidiſtans baſibus columnæ: circulus quoq; , qui eſt communis ſectio
ſuperficiei a b g & columnæ, cuius axis eſt c d, qui eſt æquidiſtans baſibus columnæ, ſit g h: cuius
centrum ſit punctum e. Dico quòd à circulo g h (qui eſt communis ſectio ſuperficiei a b g & ſuper-
ficiei ſpeculi) non poteſt fieri reflexio formæ b ad a uiſuin, niſi ab uno tantùm pũcto g. Patuit enim
per 16 th. 6 huius quia in ſpeculis ſphæricis conuexis à circulo, ſuper quem fit reflexio, non poteſt