584486NOUVEAU COURS
quantité par la moitié du côté A B ou A C, qui eſt la même
choſe, & le produit donnera le nombre des boulets contenus
dans le triangle: ainſi le côté A C étant de ſix boulets, ſi j’a-
joute à ce nombre l’unité pour avoir 7, & que je les multiplie
par la moitié de A B ou de A C, qui eſt 3, le produit ſera 21,
qui eſt le nombre des boulets que l’on cherche. Il en ſera de
même pour tous les autres triangles arithmétiques.
choſe, & le produit donnera le nombre des boulets contenus
dans le triangle: ainſi le côté A C étant de ſix boulets, ſi j’a-
joute à ce nombre l’unité pour avoir 7, & que je les multiplie
par la moitié de A B ou de A C, qui eſt 3, le produit ſera 21,
qui eſt le nombre des boulets que l’on cherche. Il en ſera de
même pour tous les autres triangles arithmétiques.
La raiſon de ceci eſt que dans une progreſſion arithmétique,
a. a + e, a + 2e, a + 3e, a + 4e, a + 5e, dont les termes
ſe ſurpaſſent d’une quantité e, la ſomme des deux termes a + e
& a + 4e également éloignés des extrêmes, eſt égale à la
ſomme des extrêmes a & a + 5e, ou à celle des deux autres
termes quelconques auſſi également éloignés des extrêmes,
puiſque la ſomme des uns & des autres donne 2a + 5e; mais
il y a la moitié autant de fois 2a + 5e (qui eſt la ſomme des
extrêmes) qu’il y a de termes dans la progreſſion: donc pour
avoir la valeur de tous les termes d’une progreſſion arithmé-
tique, qui commence par l’unité, ou par tout autre nombre,
il faut multiplier le premier & le dernier terme par la moitié
du nombre qui exprime la quantité des termes: c’eſt pourquoi
nous avons ajouté le premier terme A C avec le dernier B,
& nous avons multiplié la ſomme par la moitié du côté A B,
c’eſt-à-dire par la moitié du nombre des termes de la pro-
greſſion pour avoir les boulets du triangle.
a. a + e, a + 2e, a + 3e, a + 4e, a + 5e, dont les termes
ſe ſurpaſſent d’une quantité e, la ſomme des deux termes a + e
& a + 4e également éloignés des extrêmes, eſt égale à la
ſomme des extrêmes a & a + 5e, ou à celle des deux autres
termes quelconques auſſi également éloignés des extrêmes,
puiſque la ſomme des uns & des autres donne 2a + 5e; mais
il y a la moitié autant de fois 2a + 5e (qui eſt la ſomme des
extrêmes) qu’il y a de termes dans la progreſſion: donc pour
avoir la valeur de tous les termes d’une progreſſion arithmé-
tique, qui commence par l’unité, ou par tout autre nombre,
il faut multiplier le premier & le dernier terme par la moitié
du nombre qui exprime la quantité des termes: c’eſt pourquoi
nous avons ajouté le premier terme A C avec le dernier B,
& nous avons multiplié la ſomme par la moitié du côté A B,
c’eſt-à-dire par la moitié du nombre des termes de la pro-
greſſion pour avoir les boulets du triangle.
Prévenu de ceci, il faut encore conſidérer que ſi l’on a une
quantité de boulets qui forment par leurs arrangemens un
priſme triangulaire D E H G F, ſoutenu par un plan incliné
11Figure 327. IK, dont la baſe ſoit le triangle E G H, ce priſme étant
coupé par un plan E F, parallele à la baſe, ſe trouvera diviſé
en deux parties, dont l’une, comme D E F, ſera le tiers de
tout le priſme, & l’autre, comme E F G H, en ſera les deux
tiers; car la partie E D F eſt une pyramide triangulaire, qui a
pour baſe le triangle oppoſé à E G H, & pour hauteur la hau-
teur D E du priſme: par conſéquent la partie E F G H, qui
eſt auſſi une pyramide, qui a pour baſe un quarré, en ſera les
deux tiers. Mais il faut remarquer que le plan E F partage un
triangle de boulet, tel que E F G, qui ſe rencontre dans la
coupe; ce qui rendra les deux pyramides imparfaites, quand
on les conſidérera compoſées de boulets: car comme le plan
E F paſſe par tiers de chaque boulet L, il faudra donner à
quantité de boulets qui forment par leurs arrangemens un
priſme triangulaire D E H G F, ſoutenu par un plan incliné
11Figure 327. IK, dont la baſe ſoit le triangle E G H, ce priſme étant
coupé par un plan E F, parallele à la baſe, ſe trouvera diviſé
en deux parties, dont l’une, comme D E F, ſera le tiers de
tout le priſme, & l’autre, comme E F G H, en ſera les deux
tiers; car la partie E D F eſt une pyramide triangulaire, qui a
pour baſe le triangle oppoſé à E G H, & pour hauteur la hau-
teur D E du priſme: par conſéquent la partie E F G H, qui
eſt auſſi une pyramide, qui a pour baſe un quarré, en ſera les
deux tiers. Mais il faut remarquer que le plan E F partage un
triangle de boulet, tel que E F G, qui ſe rencontre dans la
coupe; ce qui rendra les deux pyramides imparfaites, quand
on les conſidérera compoſées de boulets: car comme le plan
E F paſſe par tiers de chaque boulet L, il faudra donner à