587489DE MATHÉMATIQUE. Liv. XIII.
qui a autant de rangs qu’il y a de boulets dans le côté R Q du
triangle S R Q.
triangle S R Q.
Il n’eſt pas moins viſible que cette pile eſt la ſomme des
quarrés d’autant de nombres depuis l’unité qu’il y a de boulets
dans le côté R Q: ainſi ſi l’on a 9 boulets, la pyramide ſera
égale à la ſomme des quarrés des neuf premiers nombres,
1, 2, 3, 4, & c. Tout ſe réduira donc à trouver la ſomme des
quarrés de tant de nombres naturels que l’on voudra. Sur quoi
je remarque que tous les quarrés des nombres naturels réſul-
tent de l’addition des termes de deux ſuites égales des nom-
bres triangulaires, diſpoſées de maniere que la premiere ait
un terme de plus que la ſeconde.
111, # 3, # 6, # 10, # 15, # 21, # 28, # 36, # &c. quarrés d’autant de nombres depuis l’unité qu’il y a de boulets
dans le côté R Q: ainſi ſi l’on a 9 boulets, la pyramide ſera
égale à la ſomme des quarrés des neuf premiers nombres,
1, 2, 3, 4, & c. Tout ſe réduira donc à trouver la ſomme des
quarrés de tant de nombres naturels que l’on voudra. Sur quoi
je remarque que tous les quarrés des nombres naturels réſul-
tent de l’addition des termes de deux ſuites égales des nom-
bres triangulaires, diſpoſées de maniere que la premiere ait
un terme de plus que la ſeconde.
# 1, # 3, # 6, # 10, # 15, # 21, # 28, # &c.
1, # 4, # 9, # 16, # 25, # 36, # 49, # 64, # &c.
Par exemple, ſi l’on diſ-
poſe ces deux ſuites, com-
me on voit ici, & que
l’on les ajoute terme par
terme, il eſt évident qu’il en réſultera la ſuite des quarrés des
nombres naturels que l’on voit au deſſous. Ainſi tout ſe réduit à
trouver la ſomme des quarrés de tant de termes que l’on voudra
de la ſuite des nombres naturels: car de cette maniere on pourra
trouver le nombre des boulets contenus dans une pile trian-
gulaire & dans une pyramide quarrée quelconque. La pyra-
mide triangulaire ſe trouvera, en ſommant autant de termes
qu’il y a de boulets dans le côté du triangle M N O, & la py-
ramide quarrée ſe trouvera, en ſommant d’abord un nombre
de termes de la ſuite des nombres triangulaires égal au nom-
bre de boulets contenus dans le côté B C du triangle B C Q,
22Figure 324.& en ſommant un nombre de termes de la même ſuite trian-
gulaire diminué de l’unité, la ſomme de ces deux premieres
ſera la ſomme des boulets de la pyramide quarrée. Voici la
formule que j’ai trouvée: Si m eſt égal au nombre de boulets
contenus dans le côté M O du triangle M N O, la ſomme des
boulets ſera {m3 + 3m2 + 2m/6}, par exemple, dans notre figure
m = 6: donc on aura {216 + 108 + 12/6} = 56, c’eſt le nombre que
l’on a trouvé (art. 907). Si la pyramide eſt une pyramide
quarrée, on pourra trouver le nombre des boulets par la même
formule. Si m = 6, on aura pour la premiere ſomme 56, &
pour la ſeconde, en faiſant m = 5, c’eſt-à dire en prenant
poſe ces deux ſuites, com-
me on voit ici, & que
l’on les ajoute terme par
terme, il eſt évident qu’il en réſultera la ſuite des quarrés des
nombres naturels que l’on voit au deſſous. Ainſi tout ſe réduit à
trouver la ſomme des quarrés de tant de termes que l’on voudra
de la ſuite des nombres naturels: car de cette maniere on pourra
trouver le nombre des boulets contenus dans une pile trian-
gulaire & dans une pyramide quarrée quelconque. La pyra-
mide triangulaire ſe trouvera, en ſommant autant de termes
qu’il y a de boulets dans le côté du triangle M N O, & la py-
ramide quarrée ſe trouvera, en ſommant d’abord un nombre
de termes de la ſuite des nombres triangulaires égal au nom-
bre de boulets contenus dans le côté B C du triangle B C Q,
22Figure 324.& en ſommant un nombre de termes de la même ſuite trian-
gulaire diminué de l’unité, la ſomme de ces deux premieres
ſera la ſomme des boulets de la pyramide quarrée. Voici la
formule que j’ai trouvée: Si m eſt égal au nombre de boulets
contenus dans le côté M O du triangle M N O, la ſomme des
boulets ſera {m3 + 3m2 + 2m/6}, par exemple, dans notre figure
m = 6: donc on aura {216 + 108 + 12/6} = 56, c’eſt le nombre que
l’on a trouvé (art. 907). Si la pyramide eſt une pyramide
quarrée, on pourra trouver le nombre des boulets par la même
formule. Si m = 6, on aura pour la premiere ſomme 56, &
pour la ſeconde, en faiſant m = 5, c’eſt-à dire en prenant