588286VITELLONIS OPTICAE
per punctũ b:
quoniá illud eſt, quod reflectitur per utranq;
: hoc aũt eſt impoſsibile:
quoniá punctú
b nó eſt in linea al. Oſten ſum eſt enim prius lineam fl ęquidiftantẽ eſſe lineę b m: quę duę lineę uel
concurrerẽt ſi punctú b eſſet in linea a l: uel ſequeretur puncta m & n cadere ex una parte lineæ g q-
Non ergo fieret reflexio punctorũ m & n adinuicé à puncto g, quod eſt cótra demonſtrata in præ-
miſſa. Reſtat ergo, ut à nullo puncto lineę longitudinis, quę e g, præterquá à puncto g, forma puncti
b poſsit reflecti ad centrũ uiſus exiſtens in puncto a. Si
693[Figure 693]l d a e f z x y t u p r k o h y x m n q m i b c aũt poſsibile eſt, ut reflectatur forma puncti b ad uiſum
a ab aliquo puncto ſpeculi extra lineá longitudinis g e,
fit ille punctus u: & per 101 th. 1 huius ducatur linea lon-
gitudinis ſpeculi, quæ ſit linea e u c: quæ in puncto c ſe-
cet peripheriá circuli g p. Et ſumatur ſuperſicies ęquidi
ſtans baſi tranſiens per punctũ u: palàm ergo per 8 p 11
quoniá linea a n ſecat hanc ſuperficiem: ideo, quia linea
e g, cui æquidiſtat linea a n, ſecat eandẽ ſuperficiẽ: ſunt
aút per 1 th. 1 huius lineę a n & e g in eadẽ ſuperficie, cũ
ſint æ quidiftantes: ſit ergout linea a n ſecet illá ſuperfi-
ciem in puncto y. Similiter quoq; linea b m æ quidiſtás
lineæ e g, ſecabit eandẽ ſuperficiẽ: ſit quoq; punctus ſe-
ctionis k: & ducátur lineę k u, y u, a k. Et cum illa ſuperfi
cies per 100 th. 1 huius ſecet pyramidẽ ſecundũ circulũ,
tranſeuntẽ per punctũ u, ducatur à pũcto u linea ad cen
trum huius circuli, quę ſit r u: & producatur extra ſpecu
lum: & ſit item u r: & à uertice pyramidis ſpeculi pũcto
ſcilicet e ducantur lineæ e k, e y, quæ neceſſariò ſecabũt
ſuperficié circuli p g: & ſint puncta ſectionũ i & s: & du-
cantur lineę i c & s c. Sicut ergo per præcedentem pro-
batum eſt de forma puncti m, quod non impediente
pyramide poteſt reflecti ad uiſum exiſtentem in pun-
cto n à puncto ſpeculi g: eodẽ modo probari poteſt de
puncto k, quod reflectetur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto
y à puncto ſpeculi u: angulus ergo r u y erit æqualis an-
gulo r u k. Et quoniã linea b h æquidiſtat lineę e g, & li-
nea cõmunis ſuperficiei b g e k & ſuperficiei circuli p g eſt linea m g per 19 th. 1 huius: quoniá linea
m g eſt in utraq; illarũ ſuperficierũ: patet quòd linea e k, cum ſit in hac ſuperficie b g e k, & ſecet ſu-
perficié circuli p g, cadet ſuper lineam communẽ, quę eſt m g: cadit aũt in punctũ illius ſuperficiei,
quod eſt s, ut peręmiſſum eſt: quoniã linea e k s eſt linea una: erit igitur linea s m g linea recta. Eodẽ
modo cũ ſuperficies n y e g ſecet ſuperficiẽ circuli p g ſuper lineá n g, linea e y cõcurret cũ linea n g
in puncto i per modũ præmiſſum: ergo linea i n g eſt una linea recta. Palàm etiá quòd ſuperficies i c
e ſecabit ſuperficiem circuli p g ſuper lineã i c: ſecat aũt ſuperficiẽ huic ſuperficiei ęquidiftantẽ, quę
tranſit per punctũ u ſuper lineam y u: ergo per 16 p 11 linea i c æquidiſtat lineæ y u. Similiter ſuperfi
cies s c e ſecat ſuperficies illas æ quidiſtantes, ſcilicet ſuperficies g p & u y ſuper duas lineas s c & k
u: ergo per eandẽ 16 p 11 lineæ s c & k u ſunt æquidiſtátes. Similiter ſi ſumatur ſuperficies ſecans ſpe
culũ ſuper lineá longitudinis, quę eſt e c, in qua ſuperficie ſunt puncta r & u: ſunt enim puncta r, u,
c, Min eadẽ ſuperficie: cũ puncta r, u, t, & aliquis punctus lineę s g ſint in eadẽ ſuperficie: quia eadẽ
eſt demonſtratio dato alio quocunq; puncto lineę c M: ſemper enim ſuperficies hoc modo ſecans
ſpeculũ ſecundũ lineá e c, ſecabit illas ſuperficies æquidiſtantes ſuper duas lineas M c & r u: igitur,
ut prius per 16 p 11 illę duę M c & r u ſunt æ quidiftantes: igitur per 10 p 11 angulus s c M æqua-
lis eſt angulo k u r: & angulus M c i æqualis angulo r u y: ſed iam patuit quòd angulus k u r æqualis
eſt angulo r u y: ergo angulus s c M æqualis eſt angulo M c i. Quare forma pũcti s poteſt reflecti a d
uiſum exiſtentẽ in puncto i à puncto ſpeculic, nó impediente corpore pyramidis ſpeculi. Sed iam
probatũ eſt per præmiſſa, quòd forma puncti m refle cti poteſt ad uiſum exiſtentẽ in puncto i à pun
cto g circuli p g: quoniá poteſt reflecti ad punctũ n: & puncta n & i ſunt in eadẽ linea recta cõſiſten-
tia, ut præ oftenſum eſt. Poterit ergo forma. puncti m à pũcto ſpeculi g reflecti ad uiſum exiſtentẽ in
puncto i: & ita punctũ s, qđ eſt in linea s m g, poteſt reflecti ad uiſum exiſtentẽ in puncto i à puncto
g. Igitur forma pũcti s reflectitur ad uiſum in pũcto i à duobus punctis circuli p g, qđ eſt impoſsibi-
le, & cõtra 16 p 6 huius, & contra 27 huius. Reſtat ergo, ut primũ ſit impoſsibile: ſcilicet quòd forma
puncti b reflecti poſsit ad uiſum exiſtentẽ in puncto a ab aliquo alio puncto ſpeculi, quàm à puncto
g. Ab uno ſolo ergo puncto fiet reflexio formæ eiuſdẽ puncti cómuni ſectione ſuperficiei reflexio-
nis & ſpeculi pyramidalis conuexi exiſtente linea longitudinis ſpeculi. Quod eſt propoſitum.
b nó eſt in linea al. Oſten ſum eſt enim prius lineam fl ęquidiftantẽ eſſe lineę b m: quę duę lineę uel
concurrerẽt ſi punctú b eſſet in linea a l: uel ſequeretur puncta m & n cadere ex una parte lineæ g q-
Non ergo fieret reflexio punctorũ m & n adinuicé à puncto g, quod eſt cótra demonſtrata in præ-
miſſa. Reſtat ergo, ut à nullo puncto lineę longitudinis, quę e g, præterquá à puncto g, forma puncti
b poſsit reflecti ad centrũ uiſus exiſtens in puncto a. Si
693[Figure 693]l d a e f z x y t u p r k o h y x m n q m i b c aũt poſsibile eſt, ut reflectatur forma puncti b ad uiſum
a ab aliquo puncto ſpeculi extra lineá longitudinis g e,
fit ille punctus u: & per 101 th. 1 huius ducatur linea lon-
gitudinis ſpeculi, quæ ſit linea e u c: quæ in puncto c ſe-
cet peripheriá circuli g p. Et ſumatur ſuperſicies ęquidi
ſtans baſi tranſiens per punctũ u: palàm ergo per 8 p 11
quoniá linea a n ſecat hanc ſuperficiem: ideo, quia linea
e g, cui æquidiſtat linea a n, ſecat eandẽ ſuperficiẽ: ſunt
aút per 1 th. 1 huius lineę a n & e g in eadẽ ſuperficie, cũ
ſint æ quidiftantes: ſit ergout linea a n ſecet illá ſuperfi-
ciem in puncto y. Similiter quoq; linea b m æ quidiſtás
lineæ e g, ſecabit eandẽ ſuperficiẽ: ſit quoq; punctus ſe-
ctionis k: & ducátur lineę k u, y u, a k. Et cum illa ſuperfi
cies per 100 th. 1 huius ſecet pyramidẽ ſecundũ circulũ,
tranſeuntẽ per punctũ u, ducatur à pũcto u linea ad cen
trum huius circuli, quę ſit r u: & producatur extra ſpecu
lum: & ſit item u r: & à uertice pyramidis ſpeculi pũcto
ſcilicet e ducantur lineæ e k, e y, quæ neceſſariò ſecabũt
ſuperficié circuli p g: & ſint puncta ſectionũ i & s: & du-
cantur lineę i c & s c. Sicut ergo per præcedentem pro-
batum eſt de forma puncti m, quod non impediente
pyramide poteſt reflecti ad uiſum exiſtentem in pun-
cto n à puncto ſpeculi g: eodẽ modo probari poteſt de
puncto k, quod reflectetur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto
y à puncto ſpeculi u: angulus ergo r u y erit æqualis an-
gulo r u k. Et quoniã linea b h æquidiſtat lineę e g, & li-
nea cõmunis ſuperficiei b g e k & ſuperficiei circuli p g eſt linea m g per 19 th. 1 huius: quoniá linea
m g eſt in utraq; illarũ ſuperficierũ: patet quòd linea e k, cum ſit in hac ſuperficie b g e k, & ſecet ſu-
perficié circuli p g, cadet ſuper lineam communẽ, quę eſt m g: cadit aũt in punctũ illius ſuperficiei,
quod eſt s, ut peręmiſſum eſt: quoniã linea e k s eſt linea una: erit igitur linea s m g linea recta. Eodẽ
modo cũ ſuperficies n y e g ſecet ſuperficiẽ circuli p g ſuper lineá n g, linea e y cõcurret cũ linea n g
in puncto i per modũ præmiſſum: ergo linea i n g eſt una linea recta. Palàm etiá quòd ſuperficies i c
e ſecabit ſuperficiem circuli p g ſuper lineã i c: ſecat aũt ſuperficiẽ huic ſuperficiei ęquidiftantẽ, quę
tranſit per punctũ u ſuper lineam y u: ergo per 16 p 11 linea i c æquidiſtat lineæ y u. Similiter ſuperfi
cies s c e ſecat ſuperficies illas æ quidiſtantes, ſcilicet ſuperficies g p & u y ſuper duas lineas s c & k
u: ergo per eandẽ 16 p 11 lineæ s c & k u ſunt æquidiſtátes. Similiter ſi ſumatur ſuperficies ſecans ſpe
culũ ſuper lineá longitudinis, quę eſt e c, in qua ſuperficie ſunt puncta r & u: ſunt enim puncta r, u,
c, Min eadẽ ſuperficie: cũ puncta r, u, t, & aliquis punctus lineę s g ſint in eadẽ ſuperficie: quia eadẽ
eſt demonſtratio dato alio quocunq; puncto lineę c M: ſemper enim ſuperficies hoc modo ſecans
ſpeculũ ſecundũ lineá e c, ſecabit illas ſuperficies æquidiſtantes ſuper duas lineas M c & r u: igitur,
ut prius per 16 p 11 illę duę M c & r u ſunt æ quidiftantes: igitur per 10 p 11 angulus s c M æqua-
lis eſt angulo k u r: & angulus M c i æqualis angulo r u y: ſed iam patuit quòd angulus k u r æqualis
eſt angulo r u y: ergo angulus s c M æqualis eſt angulo M c i. Quare forma pũcti s poteſt reflecti a d
uiſum exiſtentẽ in puncto i à puncto ſpeculic, nó impediente corpore pyramidis ſpeculi. Sed iam
probatũ eſt per præmiſſa, quòd forma puncti m refle cti poteſt ad uiſum exiſtentẽ in puncto i à pun
cto g circuli p g: quoniá poteſt reflecti ad punctũ n: & puncta n & i ſunt in eadẽ linea recta cõſiſten-
tia, ut præ oftenſum eſt. Poterit ergo forma. puncti m à pũcto ſpeculi g reflecti ad uiſum exiſtentẽ in
puncto i: & ita punctũ s, qđ eſt in linea s m g, poteſt reflecti ad uiſum exiſtentẽ in puncto i à puncto
g. Igitur forma pũcti s reflectitur ad uiſum in pũcto i à duobus punctis circuli p g, qđ eſt impoſsibi-
le, & cõtra 16 p 6 huius, & contra 27 huius. Reſtat ergo, ut primũ ſit impoſsibile: ſcilicet quòd forma
puncti b reflecti poſsit ad uiſum exiſtentẽ in puncto a ab aliquo alio puncto ſpeculi, quàm à puncto
g. Ab uno ſolo ergo puncto fiet reflexio formæ eiuſdẽ puncti cómuni ſectione ſuperficiei reflexio-
nis & ſpeculi pyramidalis conuexi exiſtente linea longitudinis ſpeculi. Quod eſt propoſitum.
34. Cõmuni ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi pyramidalis conuexiexiſtente oxygo-
nia ſectione: à quolibet puncto ſuperficiei ſpeculi apparentis uiſuipoteſt reflexio aduiſum:
& ab uno uel à duobus punctis tantùm. Alhazen 43 n 4.
nia ſectione: à quolibet puncto ſuperficiei ſpeculi apparentis uiſuipoteſt reflexio aduiſum:
& ab uno uel à duobus punctis tantùm. Alhazen 43 n 4.
Efto ſpeculum pyramidale conuexum f k s:
cuius uertex f:
diameter baſis k s:
centrumq́;
baſis n: