589287LIBER SEPTIMVS.
erit ergo axis ſpeculi linea f n:
ſitq́;
centrum uiſus punctus a.
Dico quòd cómuni ſectione ſuperfi-
ciei reflexionis & ſpeculi exiſtente ſectione oxygonia, quæ ſit b i: poſsibile eſt à quolibet puncto
ſpeculi propoſiti fieri reflexionẽ alicuius puncti uiſi ad punctum a, quod eſt centrũ uiſus. Sit enim
punctus b datus in ſuperficie ſpeculi, de quo dubitatur utrũ ab eo poſsit fierl reflexio formæ alicu-
ius puncti rei uiſæ ad centrum uiſus, quod eſt a. Ducatur ergo à puncto b linea longitudinis pyra-
midis ſpeculi per 101 th. 1 huius, quæ ſit b f: ducaturq́; à puncto b perpendicularis ſuper illá lineam
longitu dinis extra ſpeculum, quæ ſit b g: & ſuper punctum b terminum lineæ b g fiat per 23 p 1 an-
gulus æqualis angulo a b g, qui ſit g b p, ducta linea b p in eadem ſuperficie reſlexionis: patetq́; per
20 th 5 huius quia omnis punctus rei uiſæ exiſtens in linea b p reflectetur ad uiſum in punctum a:
ſed & à ſolo puncto b uel duobus tantùm fiet reflexio ad uiſum exiſtentẽ in puncto a. Palám enim
per 96 th 1 huius quòd ſi perpendicularis g b producatur intra pyramidem: quoniá concurret cum
axe f n: ſitq́; punctus concurſus c. Palàm ergo quoniam angulus g c f cum ſit in ſuperficie ſectionis,
uerſus uerticem pyramidis eſt acutus per 32 p 1, quoniá in trigono b c f angulus c b f eſt rectus. Cir-
cunducatur ergo per 102 th. 1 huius à puncto reflexionis, quod eſt
694[Figure 694]f a d e r c b y i h p s l n f q b, circulus ſpeculo pyramidali: cuius diameter ſit b d: & eius cen-
trum e, ſecás axem f n in puncto e. Et quia ille circulus per 100 th. 1
huius eſt æquidiſtans baſſ ſpeculi, palàm quia perpendicularis g c
acutum angulum tenens cum axe fn, declinata erit ſuper circuli il-
lius ſuperficiem: quia linea æquidiſtans lineæ g c ſi produceretur à
puncto n centro baſis ſpeculi, patet quòd declinata eſt ſuper baſim
pyramidis, ut ſit linea n q. Producta ergo linea c d à puncto axis c
ad circuli peripherlam, cum angulus b e c ſit æ qualis angulo d e c,
quoniam uterq; ipſorum eſt rectus: omnes enim anguli contenti
ſub ſemidiametris circuli & axe f e ſunt æ quales, & lineæ à centro
ad circumferentiam æ quales, e c uerò linea eſt communis: palàm
per 4 p 1 quoniam latus b c æquale eſt lateric d: & omnes anguli fa
ctorum trigonorum ſunt æquales: quia idem eſt de omnibus lineis
à puncto c ad circuli b d circumferentiam prdoductis per 65 th. 1 hu
ius: quoniam punctus c eſt polus circuli b d. Fiet ergo noua pyra-
mis, cuius baſis eſt circulus b d, uertex c, & axis c e. Superficies er-
go reflexionis ſecans ſpeculum ſecundum oxygoniam ſectionem:
aut continget hanc pyramidem c b d: aut ſecabit. Si contingat, di-
co quòd à ſolo puncto b, quod eſt punctus reflexionis, tantùm fiet
reflexio ſecundum illam ſuperficiem eandem. Palàm enim quòd ſuperficies reflexionis contingat
pyramidem ſuper lineam longitudinis illius pyramidis per 95 th. 1 huius: hæc autem erit linea b c,
in qua eſt punctũ b, à quo ducitur linea b c perpédicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, & linea reflexio-
nis b a. A puncto quoq, f, quod eſt uertex pyramidis ſpeculi, ducátur lineæ plures ad ſectionẽ oxy-
goniã, quæ eſt cõmunis ſection ſuperficiei reflexióis & pyramidis ſpeculi, quæ eſt f k s. Omnes itaq;
illæ lineę prius cadent in ſuperficiẽ circuli b d, quę eſt baſis pyramidis intellectæ, ꝗ̃ cadant in ipſam
ſectionẽ, præter uná ſolam, quę cadetin punctũ reflexiõis b, quę eſt linea f b. A folo itaq; puncto b
fiet reflexio a d uiſum. Si enim detur quod ab alio puncto dictę ſectiõis oxygonię, ut à puncto i, fiat
ad uiſum a reflexio: tunc linea ab illo punctio i ad punctũ c, quod eſt uertex pyramidis intelletę, du
cta, quę ſit i c: erit, ut prius, perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi per 96 th. 1 huius. Cum enim
illa perpen dicularis neceſſariò ſit in ſuperficie reflexióis, in qua eſt ſectio: oportet quòd ipſa cadat
in punctũ c. Ergo erit perpendicularis ſuper lineam lógitudinis pyramidis ſpeculi per illud punctũ
i tranſeuntẽ, quæ ſit fil. Sit quoq; punctus, in quo linea f i ſecat circulũ d b, pun ctus r. Patet aũt per
præmiſſa & per 96 th. 1 huius quoniã linea c rà uertice pyramidis intellectę ducta ad illá lineá lon-
gitudinis necſſariò eſt perpendicularis ſuper illá, ſicut linea c b eſt perpendicularis ſuper lineá lon
gitudinis ſpeculi, quæ eſt f b: quoniã, ut patet per 89 th. 1 huius anguli omniũ linearũ longitudinis
cum ſemidiametro baſis & cũ axe ad uerticẽ ſunt æ quales: erunt ergo in triangulo cir duo anguli
recti: quod eſt impoſsibile & cótra 32 p 1. Non ergo fiet reflexio a b alio puncto ſect. onis oxygoniæ,
quę eſt b i, ꝗ̃ à puncto b, ſuperficie reflexionis pyramidem c b d contingente. Quòd fi ſuperficies re
flexionis ſecet pyramidẽ c b d, palàm per 104 th. 1 huius quoniã ſecabit circulũ b d, ꝗ eſt baſis eiuſdẽ
pyramidis, in duobus tantùm punctis. Dico ergo quòd in his ſolis duobus punctis poteſt fieri refle
xio ad uiſum à tota data oxygonia ſectione. Quoniá enim a b utroq; iſtorũ punctorũ linea ducta ad
punctũ c, qđ eſt uertex pyramidis c b d, eſt perpendicularis ſuper lineá longitudinis ſpeculi tranſ
euntẽ per illum punctũ, ut patet ex præmiſsis: ab illis ergo duobus punctis poteſt fieri reflexio ad
uiſum a, prout modo præmiſſo demonſtrari poteſt. Quòd ſi dentur puncta alia illius ſectionis oxy-
goniæ, à quibus dicatur poſſe fieri reflexio: tunc ſemper linea à dato puncto, quod ſit h, ducta ad
punctum c uerticem imaginatæ pyramidis, tenebit angulum rectum cum linea longitudinis ſpe-
culi per illum dictum punctum tranſeuntem: & fiet angulus extrinſecus æqualis intrinſeco ſi-
bi oppoſito, quod eſt contra 16 p 1: aut duo anguli trianguli fient recti, quod eſt contra 32 p 1,
ut prius. Linea enim à puncto c ad communem ſectionem eiuſdem lineæ longitudinis & circuli
ciei reflexionis & ſpeculi exiſtente ſectione oxygonia, quæ ſit b i: poſsibile eſt à quolibet puncto
ſpeculi propoſiti fieri reflexionẽ alicuius puncti uiſi ad punctum a, quod eſt centrũ uiſus. Sit enim
punctus b datus in ſuperficie ſpeculi, de quo dubitatur utrũ ab eo poſsit fierl reflexio formæ alicu-
ius puncti rei uiſæ ad centrum uiſus, quod eſt a. Ducatur ergo à puncto b linea longitudinis pyra-
midis ſpeculi per 101 th. 1 huius, quæ ſit b f: ducaturq́; à puncto b perpendicularis ſuper illá lineam
longitu dinis extra ſpeculum, quæ ſit b g: & ſuper punctum b terminum lineæ b g fiat per 23 p 1 an-
gulus æqualis angulo a b g, qui ſit g b p, ducta linea b p in eadem ſuperficie reſlexionis: patetq́; per
20 th 5 huius quia omnis punctus rei uiſæ exiſtens in linea b p reflectetur ad uiſum in punctum a:
ſed & à ſolo puncto b uel duobus tantùm fiet reflexio ad uiſum exiſtentẽ in puncto a. Palám enim
per 96 th 1 huius quòd ſi perpendicularis g b producatur intra pyramidem: quoniá concurret cum
axe f n: ſitq́; punctus concurſus c. Palàm ergo quoniam angulus g c f cum ſit in ſuperficie ſectionis,
uerſus uerticem pyramidis eſt acutus per 32 p 1, quoniá in trigono b c f angulus c b f eſt rectus. Cir-
cunducatur ergo per 102 th. 1 huius à puncto reflexionis, quod eſt
694[Figure 694]f a d e r c b y i h p s l n f q b, circulus ſpeculo pyramidali: cuius diameter ſit b d: & eius cen-
trum e, ſecás axem f n in puncto e. Et quia ille circulus per 100 th. 1
huius eſt æquidiſtans baſſ ſpeculi, palàm quia perpendicularis g c
acutum angulum tenens cum axe fn, declinata erit ſuper circuli il-
lius ſuperficiem: quia linea æquidiſtans lineæ g c ſi produceretur à
puncto n centro baſis ſpeculi, patet quòd declinata eſt ſuper baſim
pyramidis, ut ſit linea n q. Producta ergo linea c d à puncto axis c
ad circuli peripherlam, cum angulus b e c ſit æ qualis angulo d e c,
quoniam uterq; ipſorum eſt rectus: omnes enim anguli contenti
ſub ſemidiametris circuli & axe f e ſunt æ quales, & lineæ à centro
ad circumferentiam æ quales, e c uerò linea eſt communis: palàm
per 4 p 1 quoniam latus b c æquale eſt lateric d: & omnes anguli fa
ctorum trigonorum ſunt æquales: quia idem eſt de omnibus lineis
à puncto c ad circuli b d circumferentiam prdoductis per 65 th. 1 hu
ius: quoniam punctus c eſt polus circuli b d. Fiet ergo noua pyra-
mis, cuius baſis eſt circulus b d, uertex c, & axis c e. Superficies er-
go reflexionis ſecans ſpeculum ſecundum oxygoniam ſectionem:
aut continget hanc pyramidem c b d: aut ſecabit. Si contingat, di-
co quòd à ſolo puncto b, quod eſt punctus reflexionis, tantùm fiet
reflexio ſecundum illam ſuperficiem eandem. Palàm enim quòd ſuperficies reflexionis contingat
pyramidem ſuper lineam longitudinis illius pyramidis per 95 th. 1 huius: hæc autem erit linea b c,
in qua eſt punctũ b, à quo ducitur linea b c perpédicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, & linea reflexio-
nis b a. A puncto quoq, f, quod eſt uertex pyramidis ſpeculi, ducátur lineæ plures ad ſectionẽ oxy-
goniã, quæ eſt cõmunis ſection ſuperficiei reflexióis & pyramidis ſpeculi, quæ eſt f k s. Omnes itaq;
illæ lineę prius cadent in ſuperficiẽ circuli b d, quę eſt baſis pyramidis intellectæ, ꝗ̃ cadant in ipſam
ſectionẽ, præter uná ſolam, quę cadetin punctũ reflexiõis b, quę eſt linea f b. A folo itaq; puncto b
fiet reflexio a d uiſum. Si enim detur quod ab alio puncto dictę ſectiõis oxygonię, ut à puncto i, fiat
ad uiſum a reflexio: tunc linea ab illo punctio i ad punctũ c, quod eſt uertex pyramidis intelletę, du
cta, quę ſit i c: erit, ut prius, perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi per 96 th. 1 huius. Cum enim
illa perpen dicularis neceſſariò ſit in ſuperficie reflexióis, in qua eſt ſectio: oportet quòd ipſa cadat
in punctũ c. Ergo erit perpendicularis ſuper lineam lógitudinis pyramidis ſpeculi per illud punctũ
i tranſeuntẽ, quæ ſit fil. Sit quoq; punctus, in quo linea f i ſecat circulũ d b, pun ctus r. Patet aũt per
præmiſſa & per 96 th. 1 huius quoniã linea c rà uertice pyramidis intellectę ducta ad illá lineá lon-
gitudinis necſſariò eſt perpendicularis ſuper illá, ſicut linea c b eſt perpendicularis ſuper lineá lon
gitudinis ſpeculi, quæ eſt f b: quoniã, ut patet per 89 th. 1 huius anguli omniũ linearũ longitudinis
cum ſemidiametro baſis & cũ axe ad uerticẽ ſunt æ quales: erunt ergo in triangulo cir duo anguli
recti: quod eſt impoſsibile & cótra 32 p 1. Non ergo fiet reflexio a b alio puncto ſect. onis oxygoniæ,
quę eſt b i, ꝗ̃ à puncto b, ſuperficie reflexionis pyramidem c b d contingente. Quòd fi ſuperficies re
flexionis ſecet pyramidẽ c b d, palàm per 104 th. 1 huius quoniã ſecabit circulũ b d, ꝗ eſt baſis eiuſdẽ
pyramidis, in duobus tantùm punctis. Dico ergo quòd in his ſolis duobus punctis poteſt fieri refle
xio ad uiſum à tota data oxygonia ſectione. Quoniá enim a b utroq; iſtorũ punctorũ linea ducta ad
punctũ c, qđ eſt uertex pyramidis c b d, eſt perpendicularis ſuper lineá longitudinis ſpeculi tranſ
euntẽ per illum punctũ, ut patet ex præmiſsis: ab illis ergo duobus punctis poteſt fieri reflexio ad
uiſum a, prout modo præmiſſo demonſtrari poteſt. Quòd ſi dentur puncta alia illius ſectionis oxy-
goniæ, à quibus dicatur poſſe fieri reflexio: tunc ſemper linea à dato puncto, quod ſit h, ducta ad
punctum c uerticem imaginatæ pyramidis, tenebit angulum rectum cum linea longitudinis ſpe-
culi per illum dictum punctum tranſeuntem: & fiet angulus extrinſecus æqualis intrinſeco ſi-
bi oppoſito, quod eſt contra 16 p 1: aut duo anguli trianguli fient recti, quod eſt contra 32 p 1,
ut prius. Linea enim à puncto c ad communem ſectionem eiuſdem lineæ longitudinis & circuli