Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Capitulum </p>
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      Tutti li detti modi escano del primo modo, cioé di multiplicare la mitá del dia-
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      metro per la mitá dela circonferentia. E peró disse el nobil geometra Archimede:
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      el cerchio è iguale a uno triangolo ortogonio fatto, per la basa, di tutta la circon-
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      ferentia e, per lo catetto, dela mitá del diametro; l’ area del quale s’ á multiplicare
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      el catetto in mezza la basa, cioé di multiplicare mezzo il diametro in mezza la circonferentia.
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      E, donde questo procieda, che a multiplicare la mitá del diametro per la mitá dela
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      circonferentia facia l’ area del tondo, lo voglio dimostrare. sia il cerchio .abgd.
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      Del quale il centro sia .e. E in quel descriveró una figura rettilinea qual vorró.
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      E sia uno quadrilatero .abgd. El qual, dal centro .e., risolveró in .4. triangoli:
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      cioé dal centro a ciascuno angolo tirando le linee. E fienno .eab. e .ebg.egd.eda. E nomi-
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      nase triangolo equicurio ciascuno di quelli, imperoché le linee .ea.eb.eg.ed. infra loro son-
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      no iguali, per la diffinitione del cerchio. E, menando a ciascuno dal centro .e. una perpendi-
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      culare, cadrá ciascuna in sula mitá dela basa del suo triangolo. Onde porremo sopra ala mitá di
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      dette base li ponti .z.i.t.k. Per li quali produrró, dal centro .e. ala circonferentia, le rette
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      .el.em.en.eo. E faciase .al.lb.bm.mg.gn.nd.do.oa. e fienno .4. triangoli, sopra le base .ab.
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      bg.gd.da., fatti. E, perché la retta .ez. è catetto sopra la retta .ab., se multiplicaremo .ez. nela
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      mitá del .ab., ne perverrá l’ area del triangolo .eab. Similmente, perché .lz. è catetto del trian-
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      golo .lab., a multiplicare .zl. nela mitá del .ab., ne perviene l’ area del triangolo .lab. Onde,
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      multiplicando tutta .el., cioé mezzo el diametro del circulo nela mitá del .ab., ne perverrá l’ a-
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      rea del quadrilatero .ealb. Per lo simil modo, multiplicando .em., cioé .el. nela mitá dela li-
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      nea .bg., ne perverrá l’ area del quadrilatero .ebmg. E, per lo detto modo, se multiplicaremo
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      .en. nela mitá del .gd. e .eo. nela mitá del .da., ne perverrá l’ area di quadrilateri .egnd. e .edoa.,
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      cioé, se multiplicaremo .el., cioé el mezzo diametro del circulo, nela mitá de’ lati de’ quadrilate-
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      ri .abgd., ne perviene l’ area dela figura di molti lati cadente nel cerchio. Ma l’ area dela det-
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      ta figura multilatera, che è .al.bm.gn.do., è minore del’ area del circulo. Adonca, dela mul-
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      tiplicatione dela mitá del diametro del cerchio nela mitá dele rette .ab.bg.gd.da., ne per-
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      viene meno che l’ area del cerchio. Ma la mitá dele linee .ab.gd.da. e .gb. è meno dela mitá
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      dela circonferentia del cerchio .abgd. Adunque, a multiplicare la mitá del cerchio, cioé la
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      mitá dela circonferentia, nela mitá del diametro, fará l’ area del cerchio. Imperoché habia-
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      mo mostro che, a multiplicare la mitá del diametro nela mitá della detta figura, che è me-
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      no che la circonferentia del cerchio, fa meno che l’ area del detto circulo. E hora resta a mo-
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      strare che, a multiplicare la mitá del diametro nel piú che la mitá dela circonferentia, fa piú
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      che l’ area del detto circulo. E questo per prova é che, a multiplicare .ik., ch’ é mitá del diame-
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      tro, in mitá del .ab. e .bc. e .cd. e .de. e .ef. e .fg. e .gh. e .ha., fa l’ area dela figura d’ otto angoli pre-
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      detta. E peró, a multiplicare la mitá del diametro per la mitá dela circonferentia del detto, fa-
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      rá piú che l’ area del detto circulo, comme appare nela presente figura. E peró adonca, a mul-
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      tiplicare la mitá del diametro per la mitá dela circonferentia, fará l’ area del detto circulo. E
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      questo volavamo </p>
      <p class="main"> Avendo dichiarato el primo modo di quadrare li circuli, avendo detto che, a mul-
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      tiplicare tutto il diametro per la mitá dela circonferentia e, quello che fanno,
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      partendo in .2., haremo l’ area. E questo viene, che, a multiplicare la mitá del dia-
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      metro per la mitá dela circonferentia, fanno l’ area del circulo. Onde, a multipli-
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      care tutto il diametro per mezzo la circonferentia, fará .2. cotanti comme tutto el diametro e
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      a mezzo il diametro .2. cotanti. E cosí ancora, a multiplicare tutta la circonferentia per mezzo
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      il diametro, fará .2. cotanti del’ area, per la ragione predetta.
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      E dicemmo che, a multiplicare tutto il diametro per tutta la circonferentia, fanno
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      .4. cotanti del’ area del cerchio. E questo chiaro appare per la ragione passata.
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      Imperoché, a multiplicare tutto il diametro per la mezza circonferentia, fará due
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      cotanti dela detta area. E a multiplicare tutta la circonferentia per mezzo il dia-
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      metro fa ancora .2. cotanti di detta area. Onde, a multiplicare tutto il diametro per tutta
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      la circonferentia, fa .4. cotanti di detta area. E questo si deve dichiarare.
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      Ancora dicemmo che, a multiplicare il diametro per sé e pigliarne .11/14., haremo l’ area del circulo
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      la quale cosa voglio mostrare. Noi habiamo detto che, a multiplicare il diametro per .3 1/7., s’ á quel-
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      lo che gira la circonferentia. Adonca, a multiplicare il diametro in sé e poi in .3 1/7. e quello che fanno
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