602300VITELLONIS OPTICAE
catheto f q g d:
& ſit pũctus cõcurſus k.
Palàm ergo per 20 th.
5 huius quòd forma pũcti f reflectitur
à pũcto ſpeculi, qđ eſt a, ad uiſum exiſtentẽ in pũcto n: & locus imaginis formæ pũcti f erit in pun-
cto k: & imagines omniũ punctorũ lineæ q f, quæ ſunt ultra punctũ q, erunt intra columnã ſpeculi,
ut patet ք 34 th. 5 huius, & ex pręmiſsis. Si uerò inter punctũ q & pũctũ t (qui eſt finis cõtingẽtiæ)
ponatur punctus aliquis, utr: erit angulus r a h maior angulo q a h, ergo & angulo h a p: fiat ergo ei
æqualis angulus, qui ſit h a m. Palàm quò d linea m a producta cadet ſuper lineam g q extra ſectio-
nẽ. Ideo enim, quia linea p a continens cum linea a h angulum p a h æqualem angulo q a h, cadit in
ipſam ſectionẽ in punctum g: patet quia linea m a ſecabit lineam g q extra ſectionẽ: ſit q́; , ut cadat in
punctum o: erit ergo per 37 th. 5 huius imago formæ puncti r in puncto o: & omnium punctorum li
neæ r q, excepto puncto q, imagines erunt extra ſpeculum, inter puncta o & g. Si autem angulus q
a h fuerit minor angulo h a p: ſecetur ex angulo h a p angulus h a n æqualis angulo q a h per 27 th. 1
huius. Palàm ergo, ut prius, quòd formæ puncti q imago erit in puncto k: & omniũ ſuperiorũ pun-
ctorum lineæ q fimagines erunt intra ſectionem. Si uerò punctus r ſumatur inferior puncto q, ita
ut angulus r a h ſit æqualis angulo h a p: tunc erit imago formę puncti r in ſectionis puncto g, quod
eſt in ſuperficie ſpeculi: & omnium punctorum inter r & q imagines erũt intra ſpeculum: & omniũ
punctorum inter puncta r & t imagines erunt extra ſpeculi ſuperficiem. Si uerò angulus q a h fuerit
maior angulo h a p: fiat angulus h a m æqualis angulo q a h: palam q́; quòd linea m a producta ſeca-
bit ſectionem: linea enim e a t eſt contingens ſectionem in puncto a, propter quod linea m a produ
cta neceſſariò ſectionem ſecabit: ſecet ergo in puncto b: & ducatur linea contingens ſectionem in
puncto b, quæ concurrat cum linea d h in puncto l: cõcurret autem per 14 th. 1 huius: angulus enim
d b l eſt rectus, & angulus l d b acutus, ducta linea d b: eritq́; angulus d l b acutus per 32 p 1: cum an-
gulus d b l ſit rectus: eſt ergo per 13 p 1 angulus h l b obtuſus: linea ergo l b concurret cum linea h d,
ut patet per 60 th. 1 huius, ex parte punctorum b & g: quia quantùm ad hoc eadem ratio eſt in circu
lis & in ſectionibus: facietq́; cum ipſa angulum acutum. Ducatur ergo perpendicularis ſuper line-
am l b à puncto b per 11 p 1, quæ ſit b s: hęc ergo cõiuncta cum linea d b fiet linea una per 14 p 1: quo-
niam utraq; ipſarum cum linea l b in eodem puncto, qui eſt b, continet angulum rectum: & linea b s
ſecabit lineam h g: ſit, ut ſecet ipſam in puncto x. Et quoniam linea l b protracta concurrit cum li-
nea h d, & angulus s b l eſt rectus: patet quòd linea b s cum linea h g ex parte puncti h continet an-
gulum acutum per 14 th. 1 huius: eritq́; angulus s x h acutus: ergo & angulus g x b illi contrapoſitus
ſimiliter eſt acutus per 15 p 1. Quia uerò linea h g ſecat lineam q a, ſit pũctus ſectionis u. Et quoniã
angulus h g d eſt rectus, & linea q a concurrit cum linea d g in puncto q: quoniam omnes hæ lineæ
ſunt in una ſuperficie: palàm per 14 th. 1 huius quòd linea h g cum linea q a continet angulum acu-
tum ſuper punctum u, qui eſt angulus h u a. Quia ergo angulus s x h eſt acutus, & angulus q u g con
trapoſitus angulo h u a per 15 p 1 eſt acutus: patet per 14 th. 1 huius quòd lineæ s b & q u cõcurrunt:
ſit ergo concurſus ipſarum in puncto z. Forma itaque puncti z mouebitur ad ſpeculum per lineam
z a, & reflectetur per lineam a m ad uiſum exiſtentem in puncto m: & locus imaginis erit punctus
b: & loca omnium imaginum punctorum lineæ z s ultra punctum z erũt intra ſectionem: & omniũ
punctorum lineæ z b, quæ ſunt citra z, loca imaginum erunt extra ſectionem. Quod eſt propoſitũ.
à pũcto ſpeculi, qđ eſt a, ad uiſum exiſtentẽ in pũcto n: & locus imaginis formæ pũcti f erit in pun-
cto k: & imagines omniũ punctorũ lineæ q f, quæ ſunt ultra punctũ q, erunt intra columnã ſpeculi,
ut patet ք 34 th. 5 huius, & ex pręmiſsis. Si uerò inter punctũ q & pũctũ t (qui eſt finis cõtingẽtiæ)
ponatur punctus aliquis, utr: erit angulus r a h maior angulo q a h, ergo & angulo h a p: fiat ergo ei
æqualis angulus, qui ſit h a m. Palàm quò d linea m a producta cadet ſuper lineam g q extra ſectio-
nẽ. Ideo enim, quia linea p a continens cum linea a h angulum p a h æqualem angulo q a h, cadit in
ipſam ſectionẽ in punctum g: patet quia linea m a ſecabit lineam g q extra ſectionẽ: ſit q́; , ut cadat in
punctum o: erit ergo per 37 th. 5 huius imago formæ puncti r in puncto o: & omnium punctorum li
neæ r q, excepto puncto q, imagines erunt extra ſpeculum, inter puncta o & g. Si autem angulus q
a h fuerit minor angulo h a p: ſecetur ex angulo h a p angulus h a n æqualis angulo q a h per 27 th. 1
huius. Palàm ergo, ut prius, quòd formæ puncti q imago erit in puncto k: & omniũ ſuperiorũ pun-
ctorum lineæ q fimagines erunt intra ſectionem. Si uerò punctus r ſumatur inferior puncto q, ita
ut angulus r a h ſit æqualis angulo h a p: tunc erit imago formę puncti r in ſectionis puncto g, quod
eſt in ſuperficie ſpeculi: & omnium punctorum inter r & q imagines erũt intra ſpeculum: & omniũ
punctorum inter puncta r & t imagines erunt extra ſpeculi ſuperficiem. Si uerò angulus q a h fuerit
maior angulo h a p: fiat angulus h a m æqualis angulo q a h: palam q́; quòd linea m a producta ſeca-
bit ſectionem: linea enim e a t eſt contingens ſectionem in puncto a, propter quod linea m a produ
cta neceſſariò ſectionem ſecabit: ſecet ergo in puncto b: & ducatur linea contingens ſectionem in
puncto b, quæ concurrat cum linea d h in puncto l: cõcurret autem per 14 th. 1 huius: angulus enim
d b l eſt rectus, & angulus l d b acutus, ducta linea d b: eritq́; angulus d l b acutus per 32 p 1: cum an-
gulus d b l ſit rectus: eſt ergo per 13 p 1 angulus h l b obtuſus: linea ergo l b concurret cum linea h d,
ut patet per 60 th. 1 huius, ex parte punctorum b & g: quia quantùm ad hoc eadem ratio eſt in circu
lis & in ſectionibus: facietq́; cum ipſa angulum acutum. Ducatur ergo perpendicularis ſuper line-
am l b à puncto b per 11 p 1, quæ ſit b s: hęc ergo cõiuncta cum linea d b fiet linea una per 14 p 1: quo-
niam utraq; ipſarum cum linea l b in eodem puncto, qui eſt b, continet angulum rectum: & linea b s
ſecabit lineam h g: ſit, ut ſecet ipſam in puncto x. Et quoniam linea l b protracta concurrit cum li-
nea h d, & angulus s b l eſt rectus: patet quòd linea b s cum linea h g ex parte puncti h continet an-
gulum acutum per 14 th. 1 huius: eritq́; angulus s x h acutus: ergo & angulus g x b illi contrapoſitus
ſimiliter eſt acutus per 15 p 1. Quia uerò linea h g ſecat lineam q a, ſit pũctus ſectionis u. Et quoniã
angulus h g d eſt rectus, & linea q a concurrit cum linea d g in puncto q: quoniam omnes hæ lineæ
ſunt in una ſuperficie: palàm per 14 th. 1 huius quòd linea h g cum linea q a continet angulum acu-
tum ſuper punctum u, qui eſt angulus h u a. Quia ergo angulus s x h eſt acutus, & angulus q u g con
trapoſitus angulo h u a per 15 p 1 eſt acutus: patet per 14 th. 1 huius quòd lineæ s b & q u cõcurrunt:
ſit ergo concurſus ipſarum in puncto z. Forma itaque puncti z mouebitur ad ſpeculum per lineam
z a, & reflectetur per lineam a m ad uiſum exiſtentem in puncto m: & locus imaginis erit punctus
b: & loca omnium imaginum punctorum lineæ z s ultra punctum z erũt intra ſectionem: & omniũ
punctorum lineæ z b, quæ ſunt citra z, loca imaginum erunt extra ſectionem. Quod eſt propoſitũ.
50. Lineæ rectæ æquidiſtantis axi ſpeculi columnaris conuexi, centró uiſus exiſtente inea-
dem ſuperficie, reflexionem poſsibile eſt fieri à tota linea longitudinis ſpeculi ad uiſum: imagó
eius uidebitur recta, æqualis rei uiſæ. Alhazen 25 n 6.
dem ſuperficie, reflexionem poſsibile eſt fieri à tota linea longitudinis ſpeculi ad uiſum: imagó
eius uidebitur recta, æqualis rei uiſæ. Alhazen 25 n 6.
Eſto ſpeculum columnare, ut in 30 huius:
cuius axi z k æquidiſtet linea recta, quæ ſit t h:
erit ergo
per 30 p 1 & per 92 th. 1 huius linea t h æquidi
708[Figure 708]t n q g z m b f f h r a d e k o ſtans lineę longitudinis ſpeculi columnaris,
quæ exiſtens in eadem ſuperficie t h z k, ſit li-
nea a g. Dico quòd ſi uiſus (cuius centrum
ſit e) fuerit in eadem ſuperficie t h z k cum
linea t h, & cum axe z k: poſsibile eſt ut o-
mnia puncta lineæ t h reflectantur ad ui-
ſum e: quoniam per 30 huius poſsibile eſt,
ut puncta reflexionis omnium punctorum
lineæ t h ſint in linea longitudinis colu-
mnę, quæ eſt g a: quia illa linea ſuperficiei re-
flexionis, in qua ſunt uiſus e, & axis z k, &
linea t h, & ſuperficiei columnæ eſt com-
munis, ut patet per 93 th. 1 huius. Videbitur
ergo imago formæ lineæ t h recta: ideo quia
quælibet perpendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem ſuperficie cum uiſu & axe: & pro-
babuntur loca imaginum punctorum lineæ t h eſſe ſecundum lineam rectam diſpoſita,
ſicut in ſpeculis planis per 52 th. 5 huius extitit probatum de lineis rectis
uiſis. Patet ergo propoſitum.
per 30 p 1 & per 92 th. 1 huius linea t h æquidi
708[Figure 708]t n q g z m b f f h r a d e k o ſtans lineę longitudinis ſpeculi columnaris,
quæ exiſtens in eadem ſuperficie t h z k, ſit li-
nea a g. Dico quòd ſi uiſus (cuius centrum
ſit e) fuerit in eadem ſuperficie t h z k cum
linea t h, & cum axe z k: poſsibile eſt ut o-
mnia puncta lineæ t h reflectantur ad ui-
ſum e: quoniam per 30 huius poſsibile eſt,
ut puncta reflexionis omnium punctorum
lineæ t h ſint in linea longitudinis colu-
mnę, quæ eſt g a: quia illa linea ſuperficiei re-
flexionis, in qua ſunt uiſus e, & axis z k, &
linea t h, & ſuperficiei columnæ eſt com-
munis, ut patet per 93 th. 1 huius. Videbitur
ergo imago formæ lineæ t h recta: ideo quia
quælibet perpendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem ſuperficie cum uiſu & axe: & pro-
babuntur loca imaginum punctorum lineæ t h eſſe ſecundum lineam rectam diſpoſita,
ſicut in ſpeculis planis per 52 th. 5 huius extitit probatum de lineis rectis
uiſis. Patet ergo propoſitum.