Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Capitulum secundum </p>
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      care il diametro per la circonferentia e, ancora, tanto è a multiplicare il diametro per la
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      conferentia e partire in .4., quanto a multiplicare il diametro per sé e quello che fan-
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      no per lo quarto di .3 1/7. E, acioché chiaro appaia. Sienno .2. numeri de’ quali il magiore con-
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      tenga el minore .8. volte. Dico che tanto è a multiplicare il minore per lo magiore e partire in
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      .4., quanto a multiplicare il diametro, cioé il minore, in sé e poi per lo quarto del .8., cioé per </p>
      <p class="main"> E cosí è quanto a multiplicare il diametro in sé e poi per lo quarto di .3 1/7., che è .11/14., e questo vo-
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      lemmo </p>
      <p class="main"> Quel modo che è de multiplicare la circonferentia in sé et partire in .12 4/7., é quello
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      che viene l’ area del circulo: per lo passato chiaro appare. Imperoché, se sonno .2.
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      numeri, e uno sia .8. tanti del’ altro, che tanto è a multiplicare el magiore per lo mi-
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      nore e pigliare il quarto, quanto a multiplicare il magiore in sé e partirlo per quat-
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      tro cotanti del .8., cioé in .32. Cosí, a multiplicare la circonferentia in sé e partirla per .4. cotan-
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      ti di quel che la circonferentia contiene il diametro, che è .12 4/7., é quanto a multiplicare il dia-
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      metro per la circonferenza e partire in .4. E questo volemmo mostrare.
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      Ancora e gli é da dimostrare comme e fo trovata da Archimenide la linea circon-
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      ferentiale essere .3. volte 1/7. del diametro, la quale inventione fo bella e sotile. In que-
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      sto modo, bene che con brevitá se dica. sia uno cerc[h]io .abgd. del quale il dia-
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      metro sia .ag. e il centro sia .c. E meneró la linea .ez. contingente il cerchio sopra il
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      ponto .a. Dove il diametro .ag. é catetto sopra .ez. E faró .zae. lato del’ exagono stante intor-
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      no al circulo .abgd. E, questo fatto, conciosiacosaché l’ angolo .c. sia .2/3. del retto. E porró .ce.
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      essere .30., dove .ae. sia .15. E, perché l’ angolo .a. è retto, se del' quadrato del lato .ce. si toglie il
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      quadrato del lato .ae., cioé .225. di .900., rimane .675. la cui radici è poco meno di .26., cioé .26.
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      meno .1/52. Di poi dividanse l’ angolo .eca. in .2. mezzi dala linea .cf., che divide l’ arco .ab. sopra il
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      ponto .y. E, commo s’ á per le demostrationi de Euclide, gli angoli sopra il centro, siando igua-
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      li, hano iguali archi, onde la periferia .ay. ala periferia .yb. è iguale. Onde .ae. é la mitá del
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      lato delo exagono. Onde .af. è la mitá d’ una figura di .12. lati contenente il cerchio .abgd. E,
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      perché l’ angolo .eca. è diviso in .2. parti iguali dala linea .cf., sirá proportionalmente cosí .ec.
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      al .ca., cosí .ef. al .fa., comme nel sexto de Euclide se dimostra. Onde sia cosí el congionto del
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      .ca. e .ec. al .ea., cioé comme .56. meno .1/52. é al .ea., cosí el congionto del .ef. e .fa., che è .15., é al .fa.
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      E, permutati, sia cosí el congionto del .ec. e .ca. al .ea., cioé comme .56. meno 1/52. sonno .a.15., cosí
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      .ca. e .af. Onde io porró .ca. essere .56. meno .1/52. e .af .15. Onde, congiongnendo li quadrati de-
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      le linee .af. e .ac., haremo, per lo quadrato dela linea .cf., .3359. o poco meno. La cui radici è a
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      presso .58. per lo lato .cf. E dipoi divideró l’ angolo .fca. in .2. parti iguali dala linea .ch.e sia
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      .ah. la mitá del lato d’ una figura equilatera avente .24. lati e scritta intorno al cerchio .abgd.
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      E, perché l’ angolo .fca. è diviso in .2. parti iguali dala linea .ch., sirá la proportione del con-
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      gionto del .fc. e .ca. al .ca. comme .fa. al .ha. E, permutati, sia cosí el congionto del .fc. e .ca. al
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      .fa., cioé comme .114. o poco meno è a .15., cosí .ca. al .ah. Dove porró .ca.114. o poco meno e
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      .ah. sia .15. Onde, agiongnendo el quadrato di poco meno che .114. e .15. e, di poi, togliendo la ra-
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      dici haremo .115. o poco meno per la linea .ch. Ancora divideró l’ angolo .hca. in .2. parti
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      iguali dala linea .ci. e sia .ai. la mitá del lato d’ una figura equilatera avente .48. angoli scrita
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      intorno al cerchio .abgd. Del quale .ai. la sua proportione è .al.ac. e comme .15. al congion-
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      to del .ac. e .ch., cioé .229. e poco meno. Dico secondo l’ appressamento. Imperoché le radici
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      loro sonno sorde e, secondo la propinquitá, diciamo in quel modo. Porró adunque .ca.229.
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      e poco meno e .ai.15. e agiongo li detti quadrati e di quel piglio la radici e haremo .229.
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      e .1/3. o poco piú per la linea .ci. E divideró l’ angolo .ica. in .2. igual parti dala linea .ck. Dove
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      la proportione .ca. al .ak. è comme la proportione del congionto del .ic. e .ca. al .ai. Adunque
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      la proportione del .ca. al .ak. è quasi comme .458 1/5. a .15. Ma la proportione del .ca. al .ak. è
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      comme la proportione del diametro .ga. al doppio del .ak. Ma ’l doppio del .ak. è uno lato
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      d’ una figura avente .96. lati iguali stante intorno al cerchio .abgd. Onde è cosí .458 1/5. a
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      .15., cosí il diametro .ga. è a uno di deti lati dela figura detta avente .96. lati iguali. Onde, mul-
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      tiplicando .15. per .9., haremo .1440. per la somma de’ lati di quella figura. Adunque, la pro-
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      portione di tutti e lati d’ una figura sopra detta al diametro del circulo, el quale cade dentro,
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      è comme .1440. a .458., che è comme .1. a .3.33/229., che è piccola cosa piú che .3 1/7. E peró disse Archi-
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      menide il diametro del cerchio essere ala circonferentia comme .1. a .3 1/7. e questo volemmo
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      mostrare].
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