6250IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXXVI.
CVR ſi quis cupiat ſecundum terminum inuenire, quatuor terminorum arith-
meticè proportionalis continuæ, quorum nobis duo extrema proponantur.
Rectè primum duplicabit coniungetque; vltimo termino, nempe quarto, ex qua ſum-
ma tertiam partem deſumet, quæ erit ſecundus terminus quęſitus.
meticè proportionalis continuæ, quorum nobis duo extrema proponantur.
Rectè primum duplicabit coniungetque; vltimo termino, nempe quarto, ex qua ſum-
ma tertiam partem deſumet, quæ erit ſecundus terminus quęſitus.
Exempli gratia, ſi horum quatuor terminorum .12. 9. 6. 3. duo nobis extrema
proponantur. nempe .12. et .3. quorum ſecundus inueniendus ſit, ſumpto quolibet
pro primo, ſit autem .3. primus numerus, quartus verò .12. quare duplicato 3. vtpo
tè primo, & coniuncto .12. quarto, ſumma erit .18. cuius eſt tertia pars .6. ſecundus
numerus ſcilicet ſumpto principio à minimo. Idipſum euenit ſumpto principio à
maximo. Nam ſi datur ſecundus à minimo aut à maximo, illico tertius datur diffe-
rentia inter hunc & primum, ſecundo coniuncta, aut ex eodem detracta.
proponantur. nempe .12. et .3. quorum ſecundus inueniendus ſit, ſumpto quolibet
pro primo, ſit autem .3. primus numerus, quartus verò .12. quare duplicato 3. vtpo
tè primo, & coniuncto .12. quarto, ſumma erit .18. cuius eſt tertia pars .6. ſecundus
numerus ſcilicet ſumpto principio à minimo. Idipſum euenit ſumpto principio à
maximo. Nam ſi datur ſecundus à minimo aut à maximo, illico tertius datur diffe-
rentia inter hunc & primum, ſecundo coniuncta, aut ex eodem detracta.
Cuius ratio ſic demonſtratur, quatuor termini quatuor lineis .m.g: q.p: u.n: c.t.
ſignificentur, quorum .m.g. et .c.t. tantummodo cognoſcantur. ſitque; .m.g. primus ac
maior terminus: k.g. verò ſit duplum primi .m.g: cui coniungatur .b.k. æqualis .c.t.
Dico tertiam partem .b.g. quæ ſumma totalis eſt, æqualem eſſe .q.p. In primis enim
certi ſumus .m.f. in .m.g. reperiri æqualem .q.p. ſupereſtque; .f.g. differentia inter .m.g.
et .q.p. æqualis .e.p. differentiæ inter .q.p. et .u.n. & æqualis .o.n. differen-
tiæ inter .u.n. et .c.t: ſimul etiam in .k.m. habemus .d.m. æqualem .m.f. quare etiam .q.
p. et .k.d. æqualem .f.g. nempe .e.p. aut .o.n: Hactenus in .k.g. reperimus duplum .q.
p. ſimul cum .f.g. et .k.d. æqualibus .e.p. et .o.n. & quia .b.K. æqualis .c.t. fuit coniuncta.
conſiderandum eſt an hætres quantitates .f.g: K.d. et .b.K. ſimul æquales ſint .q.p.
quod tamen per ſe manifeſtum eſt. nam .q.p. ſuperat .u.n. per .e.p. et .u.n. ex-
cedit .c.t. per .o.n. æqualem .e.p. quare .q.p. per duplum differentię .f.g. ſuperat .c.t. ita
que .f.g: k.d. et .K.b. ipſi .q.p. ſunt ae-
quales, ex quo ſequitur .q.p. tertiam
85[Figure 85]
partem eſſe .b.g. Hæc quæ hacte-
nus dicta fuerunt, in genere maio-
ris inæqualitatis probata fuerunt.
At in genere minoris, ſumpto or-
dinis principio à minimo termino
rum, duplicetur .c.t. ſitque; duplum
hoc .K.t. cui .k.b. æqualis .m.g. con-
iungatur, quæſumma ſit .b.t. Di-
co .u.n. tertiam eſſe partem ipſius.
Nam in primis in .b.t. datur termi
nus .b.K. æqualis vltimo .m.g. in
quo ſemel reperitur .u.n. vnà cum
duabus differentijs, nempe .i.g. in
ipſa autem .b.t: u.n. ſignificetur pri
mo loco per .r.K. ex quo ſupererit .b.r. duabus differentijs prædictis æqualis, ſed ex
præſuppoſito .u.n. componitur ex .o.u. æquali .c.t. et .o.n. ęquali vni differentiæ. Itaque;
ſignificentur, quorum .m.g. et .c.t. tantummodo cognoſcantur. ſitque; .m.g. primus ac
maior terminus: k.g. verò ſit duplum primi .m.g: cui coniungatur .b.k. æqualis .c.t.
Dico tertiam partem .b.g. quæ ſumma totalis eſt, æqualem eſſe .q.p. In primis enim
certi ſumus .m.f. in .m.g. reperiri æqualem .q.p. ſupereſtque; .f.g. differentia inter .m.g.
et .q.p. æqualis .e.p. differentiæ inter .q.p. et .u.n. & æqualis .o.n. differen-
tiæ inter .u.n. et .c.t: ſimul etiam in .k.m. habemus .d.m. æqualem .m.f. quare etiam .q.
p. et .k.d. æqualem .f.g. nempe .e.p. aut .o.n: Hactenus in .k.g. reperimus duplum .q.
p. ſimul cum .f.g. et .k.d. æqualibus .e.p. et .o.n. & quia .b.K. æqualis .c.t. fuit coniuncta.
conſiderandum eſt an hætres quantitates .f.g: K.d. et .b.K. ſimul æquales ſint .q.p.
quod tamen per ſe manifeſtum eſt. nam .q.p. ſuperat .u.n. per .e.p. et .u.n. ex-
cedit .c.t. per .o.n. æqualem .e.p. quare .q.p. per duplum differentię .f.g. ſuperat .c.t. ita
que .f.g: k.d. et .K.b. ipſi .q.p. ſunt ae-
quales, ex quo ſequitur .q.p. tertiam
nus dicta fuerunt, in genere maio-
ris inæqualitatis probata fuerunt.
At in genere minoris, ſumpto or-
dinis principio à minimo termino
rum, duplicetur .c.t. ſitque; duplum
hoc .K.t. cui .k.b. æqualis .m.g. con-
iungatur, quæſumma ſit .b.t. Di-
co .u.n. tertiam eſſe partem ipſius.
Nam in primis in .b.t. datur termi
nus .b.K. æqualis vltimo .m.g. in
quo ſemel reperitur .u.n. vnà cum
duabus differentijs, nempe .i.g. in
ipſa autem .b.t: u.n. ſignificetur pri
mo loco per .r.K. ex quo ſupererit .b.r. duabus differentijs prædictis æqualis, ſed ex
præſuppoſito .u.n. componitur ex .o.u. æquali .c.t. et .o.n. ęquali vni differentiæ. Itaque;