621523DE MATHÉMATIQUE. Liv. XIV.
PROPOSITION IX.
Théoreme.
Théoreme.
995.
Le parametre d’une parabole décrite par un mobile eſt
11Figure 336. quadruple de la ligne de hauteur.
11Figure 336. quadruple de la ligne de hauteur.
Démonstration.
Ce problême renferme deux cas;
car le corps eſt projetté
horizontalement comme dans la figure 336, ou ſuivant une
ligne oblique à l’horizon, comme dans la figure 337. Nous
l’allons démontrer dans l’un & l’autre cas.
horizontalement comme dans la figure 336, ou ſuivant une
ligne oblique à l’horizon, comme dans la figure 337. Nous
l’allons démontrer dans l’un & l’autre cas.
1°.
Si le mobile eſt projetté horizontalement, ſuivant la
ligne A B, l’ordonnée G F eſt égale à la ligne A B, & partant
égale à 2 A D. Par la propriété de la parabole, le quarré de
G F eſt égal au produit de ſon abſciſſe A G par le parametre,
ainſi nous aurons G F2 ou 4 A D2=A G x 4 A C: mais à cauſe
des triangles ſemblables D A G, C A D, on a A G: A D : : A D: A C;
donc A D2 = A G x A C: donc 4 A D2, ou G F2 = A G x 4 A C:
donc le quadruple de A C ou de la ligne de hauteur eſt égalau
parametre. C. Q. F. 1°. D.
ligne A B, l’ordonnée G F eſt égale à la ligne A B, & partant
égale à 2 A D. Par la propriété de la parabole, le quarré de
G F eſt égal au produit de ſon abſciſſe A G par le parametre,
ainſi nous aurons G F2 ou 4 A D2=A G x 4 A C: mais à cauſe
des triangles ſemblables D A G, C A D, on a A G: A D : : A D: A C;
donc A D2 = A G x A C: donc 4 A D2, ou G F2 = A G x 4 A C:
donc le quadruple de A C ou de la ligne de hauteur eſt égalau
parametre. C. Q. F. 1°. D.
2°.
Si la ligne de projection G E eſt oblique à l’horizon,
22Figure 337. on remarquera d’abord que la ligne de projection E G étant
tangente à la parabole décrite en G, la ligne H I parallele à
G B ſera ordonnée au diametre G I; & comme, par hypotheſe,
G B eſt double de G D; I H = G B ſera auſſi double de G D.
Mais à cauſe des triangles ſemblables G A D, G D C, on
aura G A: G D: : G D: G C: donc G D2 = G A x G C, &
partant 4 G D2 ou I H2 = G A x 4 G C = G I x 4 G C, puiſque
G A = G I. C. Q. F. 2°. D.
22Figure 337. on remarquera d’abord que la ligne de projection E G étant
tangente à la parabole décrite en G, la ligne H I parallele à
G B ſera ordonnée au diametre G I; & comme, par hypotheſe,
G B eſt double de G D; I H = G B ſera auſſi double de G D.
Mais à cauſe des triangles ſemblables G A D, G D C, on
aura G A: G D: : G D: G C: donc G D2 = G A x G C, &
partant 4 G D2 ou I H2 = G A x 4 G C = G I x 4 G C, puiſque
G A = G I. C. Q. F. 2°. D.
Corollaire I.
996.
Il ſuit delà que ſi on éleve ſur la ligne de projection
G E une perpendiculaire E M, qui aille rencontrer la ligne de
hauteur G C prolongée en M, M G ſera le parametre du dia-
metre G K: car les triangles G C D & G M E étant ſembla-
bles, on aura G D: G E: : G C: G M: donc puiſque G E eſt
quadruple de G D, G M ſera auſſi quadruple de G C.
G E une perpendiculaire E M, qui aille rencontrer la ligne de
hauteur G C prolongée en M, M G ſera le parametre du dia-
metre G K: car les triangles G C D & G M E étant ſembla-
bles, on aura G D: G E: : G C: G M: donc puiſque G E eſt
quadruple de G D, G M ſera auſſi quadruple de G C.
Corollaire II.
997.
Il ſuit encore delà que connoiſſant le parametre