633331LIBER OCTAVVS.itaq;
, ut patet ex hypotheſi, forma puncti t refle ctitur ad uiſum exiſtentem in puncto l à puncto ſpe
culi h: palàm per 20 th. 1 huius quoniam angulus th l diuiditur per æ qualia per lineam n d h. Ergo
per 3 p 6 patet quoniam eſt proportio lineæ l h ad lineam t h, ſicut lineæ l n ad lineam n t. Et ſimili-
ter cum angulus t k p ſit æqualis angulo l k p ex hypotheſi: erit per eandem 3 p 6 proportio lineæ
l k ad lineam t k, ſicut lineæ l p ad p t: ſed linea lh eſt maior quàm linea l k per 7 p 3, & linea t h eſt
minor quàm linea t k: igitur per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineæ l h ad lineam t h, quàm li-
neæ l k ad lineam t k: maior ergo erit proportio lineæ l n ad lineam n t, quàm lineæ l p ad lineam p
t: quod eſt impoſsibile, & contra idem 9 th. 1 huius. Quocunq; uerò alio puncto dicti arcus h q
dato, idem accidit impoſsibile. Palàm ergo quoniam ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h, eſt
impoſsibile formam puncti t ad l centrum uiſus reflecti. Ergo nec aliquem punctorum æqualiter
diſtantiũ à puncto t, & à puncto l, poſsibile eſt ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h reflecti. Et
hoc eſt ꝓpoſitũ. Ex his itaq; duob. theorematibus patet uniuerſalis paſsio, quę accidit uiſibilibus,
& uiſui ſic diſpoſito, reſpectu centri ſpeculi ab omnibus punctis arcus a q: quoniam à nullo puncto
aliorum arcuũ eſt poſsibilis reflexio punctorũ taliter diſpoſitorũ, ut etiam hoc patet per 27 huius.
culi h: palàm per 20 th. 1 huius quoniam angulus th l diuiditur per æ qualia per lineam n d h. Ergo
per 3 p 6 patet quoniam eſt proportio lineæ l h ad lineam t h, ſicut lineæ l n ad lineam n t. Et ſimili-
ter cum angulus t k p ſit æqualis angulo l k p ex hypotheſi: erit per eandem 3 p 6 proportio lineæ
l k ad lineam t k, ſicut lineæ l p ad p t: ſed linea lh eſt maior quàm linea l k per 7 p 3, & linea t h eſt
minor quàm linea t k: igitur per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineæ l h ad lineam t h, quàm li-
neæ l k ad lineam t k: maior ergo erit proportio lineæ l n ad lineam n t, quàm lineæ l p ad lineam p
t: quod eſt impoſsibile, & contra idem 9 th. 1 huius. Quocunq; uerò alio puncto dicti arcus h q
dato, idem accidit impoſsibile. Palàm ergo quoniam ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h, eſt
impoſsibile formam puncti t ad l centrum uiſus reflecti. Ergo nec aliquem punctorum æqualiter
diſtantiũ à puncto t, & à puncto l, poſsibile eſt ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h reflecti. Et
hoc eſt ꝓpoſitũ. Ex his itaq; duob. theorematibus patet uniuerſalis paſsio, quę accidit uiſibilibus,
& uiſui ſic diſpoſito, reſpectu centri ſpeculi ab omnibus punctis arcus a q: quoniam à nullo puncto
aliorum arcuũ eſt poſsibilis reflexio punctorũ taliter diſpoſitorũ, ut etiam hoc patet per 27 huius.
30. Centro uiſus intra circulum (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphæ
rici concaui) in eius diametro existente: à quolibet puncto illius ſemicirculi reflectuntur ad ui-
ſum formæ punctorum æqualis uelinæqualis diſtantiæ à centro ſpeculi cum ipſo centro uiſus.
Alhazen 76 n 5.
rici concaui) in eius diametro existente: à quolibet puncto illius ſemicirculi reflectuntur ad ui-
ſum formæ punctorum æqualis uelinæqualis diſtantiæ à centro ſpeculi cum ipſo centro uiſus.
Alhazen 76 n 5.
Sit a centrum uiſus:
centrum uerò ſpeculi ſphærici concaui ſit b:
& ſit a intra ſpeculum:
duca-
turq́; una diameter, quæ ſit d a b g: & imaginetur ſuperficies plana, in quaſunt puncta a & b quo-
cunq; modo extenſa: hæc ergo per 69 th. 1 huius ſecabit ſphæram ſpeculi ſecundum circulum, qui
ſit d l g. Dico quòd à quolibet puncto alterius iſto-
rum ſemicirculorum reflectuntur ad uiſum a for-
753[Figure 753]l e p d a b g mæ punctorum inæ qualiter diſtantiũ à centro ſpe-
culi cũ ipſo puncto a. Sumatur enim in alicuius ſe-
micirculorum illorum peripheria punctus e: & du-
cantur lineæ e a & e b. Palàm itaq; quoniam angu-
lus a e b erit acutus per 42 th. 1 huius, & quia cadit
in minorem arcum ſemicirculo. Super punctum
itaq; e terminum lineæ b e fiat per 23 p 1 angulus æ-
qualis angulo a e b, qui ſit p e b: & producatur linea
p e quántum placet. Palàm itaq; per 20 th. 5 huius
quoniam quodlibet punctum illius lineæ reflecti-
tur ad uiſum a à puncto ſpeculi, quod eſt e. Ducta
quoq; à centro ſpeculi, quod eſt b, ad lineá p e per-
pendiculari per 12 p 1: aut illa perpendicularis erit
æqualis lineæ b a, ſecundum quam diſtat centrum
uiſus à centro ſpeculi: aut maior: aut minor. Si fue-
rit æ qualis: tunc, cum omnes lineæ ductæ à centro
b ad lineam p e, præter illam perpendicularẽ, ſint maiores illa perpendiculari per 19 p 1, quoniam
opponuntur angulo recto in illo triangulo: palàm quòd omnes lineæ erunt maiores quàm linea b
a: & ita quodlibet punctum lineæ p e, excepto puncto unico, in quod cadit perpendicularis ducta
à centro b ſuper lineæ p e, inæ qualiter diſtabit à
centro b cum puncto a centro uiſus. Siuerò per-
pendicularis fuerit maior quàm linea b a: tũc pa-
tet ſecundũ præmiſſa, quòd omnia puncta lineæ
p e plus diſtabunt à centro b, quàm punctus a. Si
aũt illa perpendicularis fuerit minor quàm linea
b a: tũc poſsibile eſt duci à puncto b duas lineas
ex diuerſis partibus perpendicularis æ quales li-
neæ b a: quod fiet ſubtenſis illis angulis, rectis ex
utraq; parte lineis, æ qualibus lineę a b per 26 th.
1 huius: & omnes lineę aliæ ductæ à centro b ad
lineã p e aut ſunt minores, aut maiores, quàm li-
nea b a. Palàm itaq; per 28 huius quoniã à pun-
cto e reflectũtur omnia pũcta lineę p e ad a cẽtrũ
uiſus, quorũ diſtantia à centro ſpeculi in æqualis
eſt diſtantiæ centri uiſus, quod eſt a, ab eodẽ cen
tro ſpeculi. Sed, ut patet ex præmiſsis, inter hæc
ſunt puncta æqualiter diſtantia à centro ſpeculi
cũ puncto a. Sumpto quoq; quocũq; puncto in toto ſemicirculo illo, in quo ſumptũ eſt punctum e,
ſemper eſt eodem modo demonſtran dum. Eodem quoq; modo poteſt in alio ſemicirculo circuli d
l g demonſtratio fermari. Patet ergo propoſitum.
turq́; una diameter, quæ ſit d a b g: & imaginetur ſuperficies plana, in quaſunt puncta a & b quo-
cunq; modo extenſa: hæc ergo per 69 th. 1 huius ſecabit ſphæram ſpeculi ſecundum circulum, qui
ſit d l g. Dico quòd à quolibet puncto alterius iſto-
rum ſemicirculorum reflectuntur ad uiſum a for-
753[Figure 753]l e p d a b g mæ punctorum inæ qualiter diſtantiũ à centro ſpe-
culi cũ ipſo puncto a. Sumatur enim in alicuius ſe-
micirculorum illorum peripheria punctus e: & du-
cantur lineæ e a & e b. Palàm itaq; quoniam angu-
lus a e b erit acutus per 42 th. 1 huius, & quia cadit
in minorem arcum ſemicirculo. Super punctum
itaq; e terminum lineæ b e fiat per 23 p 1 angulus æ-
qualis angulo a e b, qui ſit p e b: & producatur linea
p e quántum placet. Palàm itaq; per 20 th. 5 huius
quoniam quodlibet punctum illius lineæ reflecti-
tur ad uiſum a à puncto ſpeculi, quod eſt e. Ducta
quoq; à centro ſpeculi, quod eſt b, ad lineá p e per-
pendiculari per 12 p 1: aut illa perpendicularis erit
æqualis lineæ b a, ſecundum quam diſtat centrum
uiſus à centro ſpeculi: aut maior: aut minor. Si fue-
rit æ qualis: tunc, cum omnes lineæ ductæ à centro
b ad lineam p e, præter illam perpendicularẽ, ſint maiores illa perpendiculari per 19 p 1, quoniam
opponuntur angulo recto in illo triangulo: palàm quòd omnes lineæ erunt maiores quàm linea b
a: & ita quodlibet punctum lineæ p e, excepto puncto unico, in quod cadit perpendicularis ducta
à centro b ſuper lineæ p e, inæ qualiter diſtabit à
centro b cum puncto a centro uiſus. Siuerò per-
pendicularis fuerit maior quàm linea b a: tũc pa-
tet ſecundũ præmiſſa, quòd omnia puncta lineæ
p e plus diſtabunt à centro b, quàm punctus a. Si
aũt illa perpendicularis fuerit minor quàm linea
b a: tũc poſsibile eſt duci à puncto b duas lineas
ex diuerſis partibus perpendicularis æ quales li-
neæ b a: quod fiet ſubtenſis illis angulis, rectis ex
utraq; parte lineis, æ qualibus lineę a b per 26 th.
1 huius: & omnes lineę aliæ ductæ à centro b ad
lineã p e aut ſunt minores, aut maiores, quàm li-
nea b a. Palàm itaq; per 28 huius quoniã à pun-
cto e reflectũtur omnia pũcta lineę p e ad a cẽtrũ
uiſus, quorũ diſtantia à centro ſpeculi in æqualis
eſt diſtantiæ centri uiſus, quod eſt a, ab eodẽ cen
tro ſpeculi. Sed, ut patet ex præmiſsis, inter hæc
ſunt puncta æqualiter diſtantia à centro ſpeculi
cũ puncto a. Sumpto quoq; quocũq; puncto in toto ſemicirculo illo, in quo ſumptũ eſt punctum e,
ſemper eſt eodem modo demonſtran dum. Eodem quoq; modo poteſt in alio ſemicirculo circuli d
l g demonſtratio fermari. Patet ergo propoſitum.