635333LIBER OCTAVVS.
lis angulo f b e trigoni fe b:
& angulus k e b per 20 th.
5 huius eſt æqualis angulo f e b, linea uerò
e b eſt latus commune: ergo per 26 p 1 illa trigona f b e & k b e ſunt æ qualia: & erit linea b f æ qualis
lineæ k b: ſed linea a k æ qualis eſt lineæ f t ex hypotheſi: ergo per 4 p 1 in trigonis b t f & b k a erit
linea b t æ qualis lineæ b a: & angulus a b k æqualis angulo f b t: addito ergo utrobiq; communi an-
gulo f b a, erit angulus k b f æ qualis angulo a b t: ſed duo anguli k b f & fe a ualent duos rectos per
32 p 1, quia in quadrilatero k b ſ e alij duo anguli (qui ſunt b f e & b k e) ſunt recti: ergo duo angulit
b a & t e a ualent duos rectos: ſed per 13 p 1 angulus t b g cum angulo t b a ualet duos rectos: ergo
angulus t b g æqualis eſt angulo t e a, quieſt angulus conſtans ex angulo incidentiæ & angulo refle
xionis. Si igitur à centro ſpeculi, quod eſt b, ad lineam t e ducatur linea ultra punctum t, faciet an-
756[Figure 756]e o f t p d a b g k757[Figure 757]e o f l p k d a b g gulum cum diametro b g ex parte puncti g minorem angulo t e a: quoniam faciet minorem angulo
t b g, qui eſt æ qualis angulo t e a: & erit illa linea maior quàm linea a b: quia erit per 19 p 1 maior
quàm linea b t, quæ eſt æ qualis lineæ a b. Quælibet uerò linea ducta ab aliquo puncto lineæ t e ad
centrum ſpeculi, quod eſt b, faciet angulum cum diametro b g maiorem angulo t b g: ergo & maio-
rem angulo t e a: & erit quælibet illarum linearum minor quàm linea b t: ergo erit minor quàm li-
nea b a. Patet ergo propoſitum.
e b eſt latus commune: ergo per 26 p 1 illa trigona f b e & k b e ſunt æ qualia: & erit linea b f æ qualis
lineæ k b: ſed linea a k æ qualis eſt lineæ f t ex hypotheſi: ergo per 4 p 1 in trigonis b t f & b k a erit
linea b t æ qualis lineæ b a: & angulus a b k æqualis angulo f b t: addito ergo utrobiq; communi an-
gulo f b a, erit angulus k b f æ qualis angulo a b t: ſed duo anguli k b f & fe a ualent duos rectos per
32 p 1, quia in quadrilatero k b ſ e alij duo anguli (qui ſunt b f e & b k e) ſunt recti: ergo duo angulit
b a & t e a ualent duos rectos: ſed per 13 p 1 angulus t b g cum angulo t b a ualet duos rectos: ergo
angulus t b g æqualis eſt angulo t e a, quieſt angulus conſtans ex angulo incidentiæ & angulo refle
xionis. Si igitur à centro ſpeculi, quod eſt b, ad lineam t e ducatur linea ultra punctum t, faciet an-
756[Figure 756]e o f t p d a b g k757[Figure 757]e o f l p k d a b g gulum cum diametro b g ex parte puncti g minorem angulo t e a: quoniam faciet minorem angulo
t b g, qui eſt æ qualis angulo t e a: & erit illa linea maior quàm linea a b: quia erit per 19 p 1 maior
quàm linea b t, quæ eſt æ qualis lineæ a b. Quælibet uerò linea ducta ab aliquo puncto lineæ t e ad
centrum ſpeculi, quod eſt b, faciet angulum cum diametro b g maiorem angulo t b g: ergo & maio-
rem angulo t e a: & erit quælibet illarum linearum minor quàm linea b t: ergo erit minor quàm li-
nea b a. Patet ergo propoſitum.
33. Centro uiſus & puncto rei uiſæ in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſu-
perficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui) exiſtentibus, & inæqualiter diſtantibus à cen-
tro ſpeculi: ſi ab aliquo puncto circumferentiæ circuli fiat reflexio, impoßibile eſt diametrum, in
qua eſt punctus rei uiſæ cumdiametro, in qua eſt centrum uiſus, angulum extrinſecum æqua-
lem conſtituere angulo conſtanti ex angulis incidentiæ & reflexionis. Alhazen 79 n 5.
perficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici concaui) exiſtentibus, & inæqualiter diſtantibus à cen-
tro ſpeculi: ſi ab aliquo puncto circumferentiæ circuli fiat reflexio, impoßibile eſt diametrum, in
qua eſt punctus rei uiſæ cumdiametro, in qua eſt centrum uiſus, angulum extrinſecum æqua-
lem conſtituere angulo conſtanti ex angulis incidentiæ & reflexionis. Alhazen 79 n 5.
Sit b centrum uiſus:
& centrum ſpeculi ſphærici concaui ſit g:
& ducatur diameter per pun-
cta b & g: quæ ſit z d: ſitq́; a punctus rei uiſæ: & eſto, ut aliqua ſuperficies plana ſecet ſphæram ſpecu
li ſuper circulum z e d per 69 th. 1 huius. Dico (ſi forma puncti a exiſtentis in diametro h g e reflecti
tur ad uiſum exiſtentem in puncto b ab aliquo puncto cir-
culi z e d: & ſi in-
758[Figure 758]t z e b a g h d759[Figure 759]t z c b a g h d æqualis eſt di-
ſtantia puncto-
rum a & b à cen
tro ſpeculi, qđ
eſt g) quòd dia
meter a g cũ dia
metro b g d ex
parte pũcti d fa-
eiet angulum a
g d, quem im-
poſsibile eſt eſſe
æqualem angu-
lo conſtanti ex
angulis inciden
tiæ & reflexiõis.
Si uerò hoc ſit
poſsibile, ponatur eſſe: & ſit punctus reflexionis t: ſit q́; linea à g inæqualis lineæ b g: & ducantur
lineæ t a, t b, t g, b a: & fiat circulus tranſiens pertria puncta a g b trigoni a b g per 5 p 4: trãſibit ergo
cta b & g: quæ ſit z d: ſitq́; a punctus rei uiſæ: & eſto, ut aliqua ſuperficies plana ſecet ſphæram ſpecu
li ſuper circulum z e d per 69 th. 1 huius. Dico (ſi forma puncti a exiſtentis in diametro h g e reflecti
tur ad uiſum exiſtentem in puncto b ab aliquo puncto cir-
culi z e d: & ſi in-
758[Figure 758]t z e b a g h d759[Figure 759]t z c b a g h d æqualis eſt di-
ſtantia puncto-
rum a & b à cen
tro ſpeculi, qđ
eſt g) quòd dia
meter a g cũ dia
metro b g d ex
parte pũcti d fa-
eiet angulum a
g d, quem im-
poſsibile eſt eſſe
æqualem angu-
lo conſtanti ex
angulis inciden
tiæ & reflexiõis.
Si uerò hoc ſit
poſsibile, ponatur eſſe: & ſit punctus reflexionis t: ſit q́; linea à g inæqualis lineæ b g: & ducantur
lineæ t a, t b, t g, b a: & fiat circulus tranſiens pertria puncta a g b trigoni a b g per 5 p 4: trãſibit ergo
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib