636334VITELLONIS OPTICAE
ille circulus neceſſariò per punctum t.
Si enim trãſeat extra punctum t:
tunc ductis lineis à punctis
a & b ad aliquod punctum unum illius circuli extra punctum t, & ducta linea b a: erit angulus con-
tentus per lineas ductas ad illud punctum circumferentię minoris circuli per 21 p 1 minor angulo a
t b, ſed accidit ipſum eſſe æ qualem angulo a t b. Palàm enim per 22 p 3 quoniã ille angulus cum an-
gulo a g b ualet duos rectos: quoniam omnes duo anguli quadrilateri inſcripti circulo ex aduerſo
collocati ualent duos rectos: ſed angulus a g b cum angulo a g d per 13 p 1 ualet duos rectos: angu-
lus uerò a g d æqualis eſt angulo a t b ex hypotheſi: ergo angulus a g b cum angulo a t b ualet duos
rectos: erit ergo ille angulus conſtitutus ſuper arcum minoris circuli æqualis angulo a t b, quod eſt
contra 21 p 1. Similiter quoq; accidit idem impoſsibile, ſi circulus ille tranſiens puncta illa tria, quæ
ſunt a, g, b, non ceciderit in punctum t, ſed citra illud, & erit eadem deductio, quęprius. Reſtat ergo
ut circulus tranſiens per puncta a, g, b tranſeat etiam per punctum t. Cum itaq; angulus a t g ſit per
20 th. 5 huius æ qualis angulo b t g: erit arcus a g æqualis arcui b g per 26 p 3: ergo per 29 p 3 erit li-
nea b g æqualis lineæ g a: poſita autem eſt eſſe mæqualis: hoc ergo eſt impoſsibile. Patet itaq; pro-
poſitum, quoniã angulus a t b conſtans ex angulis incidentiæ & reflexionis formæ puncti a ad cen
trũ uiſus exiſtẽs in puncto b, ſemper eſt inæ qualis angulo cõtento à diametris, in quibus ſunt pun
ctus rei uiſæ, & centrũ uiſus, extrinſeco ad illũ angulũ incidentiæ & reflexionis. Quod eſt ꝓpoſitũ.
a & b ad aliquod punctum unum illius circuli extra punctum t, & ducta linea b a: erit angulus con-
tentus per lineas ductas ad illud punctum circumferentię minoris circuli per 21 p 1 minor angulo a
t b, ſed accidit ipſum eſſe æ qualem angulo a t b. Palàm enim per 22 p 3 quoniã ille angulus cum an-
gulo a g b ualet duos rectos: quoniam omnes duo anguli quadrilateri inſcripti circulo ex aduerſo
collocati ualent duos rectos: ſed angulus a g b cum angulo a g d per 13 p 1 ualet duos rectos: angu-
lus uerò a g d æqualis eſt angulo a t b ex hypotheſi: ergo angulus a g b cum angulo a t b ualet duos
rectos: erit ergo ille angulus conſtitutus ſuper arcum minoris circuli æqualis angulo a t b, quod eſt
contra 21 p 1. Similiter quoq; accidit idem impoſsibile, ſi circulus ille tranſiens puncta illa tria, quæ
ſunt a, g, b, non ceciderit in punctum t, ſed citra illud, & erit eadem deductio, quęprius. Reſtat ergo
ut circulus tranſiens per puncta a, g, b tranſeat etiam per punctum t. Cum itaq; angulus a t g ſit per
20 th. 5 huius æ qualis angulo b t g: erit arcus a g æqualis arcui b g per 26 p 3: ergo per 29 p 3 erit li-
nea b g æqualis lineæ g a: poſita autem eſt eſſe mæqualis: hoc ergo eſt impoſsibile. Patet itaq; pro-
poſitum, quoniã angulus a t b conſtans ex angulis incidentiæ & reflexionis formæ puncti a ad cen
trũ uiſus exiſtẽs in puncto b, ſemper eſt inæ qualis angulo cõtento à diametris, in quibus ſunt pun
ctus rei uiſæ, & centrũ uiſus, extrinſeco ad illũ angulũ incidentiæ & reflexionis. Quod eſt ꝓpoſitũ.
34. Centro uiſus & puncto rei uiſæ in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſu-
perficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici cõcaui) exiſtentibus, & inæqualiter diſtantibus à centro
ſpeculi: ſi à duobus punctis arcus interiacentis diametrum, in qua eſt centrum uiſus, & aliam,
in qua eſt punctus rei uiſæ, fiat reflexio: non erit uter angulus conſtãs ex angulo incidentiæ &
reflexionis minor angulo, extrinſeco ad angulum cadentem in eundem arcum, à dictis diame-
tris contento. Alhazen 80 n 5.
perficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici cõcaui) exiſtentibus, & inæqualiter diſtantibus à centro
ſpeculi: ſi à duobus punctis arcus interiacentis diametrum, in qua eſt centrum uiſus, & aliam,
in qua eſt punctus rei uiſæ, fiat reflexio: non erit uter angulus conſtãs ex angulo incidentiæ &
reflexionis minor angulo, extrinſeco ad angulum cadentem in eundem arcum, à dictis diame-
tris contento. Alhazen 80 n 5.
Sit, ut in præmiſſa proxima, centrum uiſus b:
& punctus rei uiſæ a:
centrum ſpeculi ſphærici con
caui ſit g: & ducatur diameter per puncta b & g, quæ ſit z d: ſecetq́; ſuperficies plana ſpeculũ ſecun-
dum diametrum z d: eritq́; per 69 th. 1 huius ſectio communis circulus, qui ſit e d h z: ducaturq́; dia
meter e h, in qua ſit punctus rei uiſæ, qui eſt a: ſitq́; linea b g, quæ eſt diſtantia centri uiſus à centro
ſpeculi, maior quàm linea a g. Dico quòd ſi forma puncti a reflectitur ad uiſum exiſtentem in pun-
cto b à duobus punctis arcus e z, non erit uterq; angulus conſtans ex angulis incidentiæ & refle-
xionis minor angulo a g d. Sint enim duo puncta, à quibus fit reflexio formæ puncti a ad uiſum exi
ſtentem in puncto b, quæ ſunt puncta t & q: & ducantur line æ b t, g t, a t, b q, g q, a q. Si itaq; angulus
b t a cõſtans ex angulo incidentiæ, qui eſt a t g, & exangulo reflexionis, qui eſt g t b, ſit minorangu
lo a g d, qui eſt angulus extrinſecus angulo cadenti in arcum e z: & eſt ipſe angulus a g d cadens in
arcum e d. Dico quò d angulus a q b, qui conſtat
760[Figure 760]n q t p z b k f a l m g h d exangulo incidentiæ a q g, & angulo reflexionis g
q b, non erit minorangulo a g d. Dato enim quòd
ſit minor: ducatur linea g n diuidens angulum e g
z per æ qualia per 9 p 1: & ducatur linea a b conti-
nuans punctum rei uiſæ, quod eſt a, cum centro ui
ſus, quod eſt b. Palàm itaq; per 29 th. 1 huius, cum
linea g n ſecet angulum b g a, cui ſubtenditur linea
a b, quòd linea g n etiã ſecabit lineã a b: ſit punctus
ſectiõis f: erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ b g a d
lineam g a, ſicut lineæ b f ad lineam f a: ſed linea b g
ex hypotheſi eſt maior quàm linea g a: eſt ergo li-
nea b f maior quàm linea f a. Diuidatur itaq; linea
a b per æ qualia in puncto k per 10 p 1: & fiat per 5 p
4 circulus tranſiens per tria puncta, quę ſunt a, b, t:
qui circulus non tranſibit per punctum g, ſed citra
illud uerſus puncta a & b. Dato enim quòd circu-
lus ille tranſeat centrum g, ſequeretur per 22 p 3 an
gulum a g b cum angulo a t b ęqualẽ eſſe duobus rectis: quoniã illi duo anguli erunt ex aduerſo col
locati in quadrilatero inſcripto illi minori circulo: ſuntautẽ illi duo anguli minores duobus rectis,
quod patet ex hypotheſi, cum angulus b t a ſit minor angulo a g d, qui per 13 p 1 cum angulo a g b ua
let duos rectos. Igitur ille minor circulus non tranſibit per centrũ maioris circuli, quod eſt g. Simi-
liter quoq; dico quòd non tranſibit ille circulus minor punctũ reflexionis ſecundũ, quod eſt q. Da
to enim quòd tranſeat punctũ q, cũ non tranſeat centrum g: ſit punctus, in quo linea g q ſecat peri-
pheriã illius circuli, punctus m. Quia itaq; anguli a q m & m q b ſunt ęquales per 20 th 5 huius, quo-
niã angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis: & ſunt cõſtituti ſuper illius circuli circum-
ferentiam: palàm per 26 p 3 quoniã arcus a m æ qualis erit arcui m b: quod eſt impoſsibile. Sitenim
punctus in quo linea g t ſecat circulũ, punctus o: eritq́; palàm ք 20 th. 5 huius & 26 p 3 quoniã arcus
a o eſt ęqualis arcui o b: eſt aũt arcus a o maior arcu a m: fiet ergo arcus o b maior arcu m b, pars ſuo
toto: qđ eſt impoſsibile. Nõ ergo trãſibit ille circulus per punctũ q: reſtat ergo, ut ille circulus tran-
caui ſit g: & ducatur diameter per puncta b & g, quæ ſit z d: ſecetq́; ſuperficies plana ſpeculũ ſecun-
dum diametrum z d: eritq́; per 69 th. 1 huius ſectio communis circulus, qui ſit e d h z: ducaturq́; dia
meter e h, in qua ſit punctus rei uiſæ, qui eſt a: ſitq́; linea b g, quæ eſt diſtantia centri uiſus à centro
ſpeculi, maior quàm linea a g. Dico quòd ſi forma puncti a reflectitur ad uiſum exiſtentem in pun-
cto b à duobus punctis arcus e z, non erit uterq; angulus conſtans ex angulis incidentiæ & refle-
xionis minor angulo a g d. Sint enim duo puncta, à quibus fit reflexio formæ puncti a ad uiſum exi
ſtentem in puncto b, quæ ſunt puncta t & q: & ducantur line æ b t, g t, a t, b q, g q, a q. Si itaq; angulus
b t a cõſtans ex angulo incidentiæ, qui eſt a t g, & exangulo reflexionis, qui eſt g t b, ſit minorangu
lo a g d, qui eſt angulus extrinſecus angulo cadenti in arcum e z: & eſt ipſe angulus a g d cadens in
arcum e d. Dico quò d angulus a q b, qui conſtat
760[Figure 760]n q t p z b k f a l m g h d exangulo incidentiæ a q g, & angulo reflexionis g
q b, non erit minorangulo a g d. Dato enim quòd
ſit minor: ducatur linea g n diuidens angulum e g
z per æ qualia per 9 p 1: & ducatur linea a b conti-
nuans punctum rei uiſæ, quod eſt a, cum centro ui
ſus, quod eſt b. Palàm itaq; per 29 th. 1 huius, cum
linea g n ſecet angulum b g a, cui ſubtenditur linea
a b, quòd linea g n etiã ſecabit lineã a b: ſit punctus
ſectiõis f: erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ b g a d
lineam g a, ſicut lineæ b f ad lineam f a: ſed linea b g
ex hypotheſi eſt maior quàm linea g a: eſt ergo li-
nea b f maior quàm linea f a. Diuidatur itaq; linea
a b per æ qualia in puncto k per 10 p 1: & fiat per 5 p
4 circulus tranſiens per tria puncta, quę ſunt a, b, t:
qui circulus non tranſibit per punctum g, ſed citra
illud uerſus puncta a & b. Dato enim quòd circu-
lus ille tranſeat centrum g, ſequeretur per 22 p 3 an
gulum a g b cum angulo a t b ęqualẽ eſſe duobus rectis: quoniã illi duo anguli erunt ex aduerſo col
locati in quadrilatero inſcripto illi minori circulo: ſuntautẽ illi duo anguli minores duobus rectis,
quod patet ex hypotheſi, cum angulus b t a ſit minor angulo a g d, qui per 13 p 1 cum angulo a g b ua
let duos rectos. Igitur ille minor circulus non tranſibit per centrũ maioris circuli, quod eſt g. Simi-
liter quoq; dico quòd non tranſibit ille circulus minor punctũ reflexionis ſecundũ, quod eſt q. Da
to enim quòd tranſeat punctũ q, cũ non tranſeat centrum g: ſit punctus, in quo linea g q ſecat peri-
pheriã illius circuli, punctus m. Quia itaq; anguli a q m & m q b ſunt ęquales per 20 th 5 huius, quo-
niã angulus incidentiæ eſt æqualis angulo reflexionis: & ſunt cõſtituti ſuper illius circuli circum-
ferentiam: palàm per 26 p 3 quoniã arcus a m æ qualis erit arcui m b: quod eſt impoſsibile. Sitenim
punctus in quo linea g t ſecat circulũ, punctus o: eritq́; palàm ք 20 th. 5 huius & 26 p 3 quoniã arcus
a o eſt ęqualis arcui o b: eſt aũt arcus a o maior arcu a m: fiet ergo arcus o b maior arcu m b, pars ſuo
toto: qđ eſt impoſsibile. Nõ ergo trãſibit ille circulus per punctũ q: reſtat ergo, ut ille circulus tran-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib