637335LIBER OCTAVVS.
ſeat ultra punctum q:
ſi enim citra punctum q tranſeat, eadem penitus erit improbatio, quęprius.
Ducatur item linea à puncto o ad punctum k, quę ſit o k: hæc ergo diuidit chordam b a per æ qualia,
& ſimiliter arcum b a, ut patet ex præmiſsis. Ductis ergo chordis b o & a o, quæ erunt æquales per
29 p 3, patet per 8 p 1 quod linea o k perpendicularis erit ſuper lineam b a. Sed per 18 p 1 angulus b
a g maior eſt angulo a b g: eſt enim linea b g maior quàm linea g a ex hypotheſi, & per 32 p 1 angulus
b f g ualet duos angulos f a g & f g a, & per eandem 32 p 1 angulus a f g ualet duos angulos f b g & f
g b: ſed ex præ miſsis angulus a g f eſt æ qualis angulo t g b, & angulus f a g maior eſt angulo f b g: er-
go angulus a f g minor eſt angulo g f b: eſt ergo angulus g f a acutus, & angulus g f b obtuſus per 13
p 1: ergo angulus n f k eſt acutus per eandem 13 p 1: ſed angulus o k b eſt rectus, ut patet ex præmiſ-
ſis: ergo per 14 th. 1 huius linea o k producta concurret cum linea g n ultra lineam b f, non autem
ſub illa: ideo, quia ſi concurreret cum linea g f in puncto k: fierent per 1 p 6 trigona a g k & b g k æ-
qualia: cum ipſa ſint eiuſdem altitudinis, & eorum baſes, quæ ſunt b k & a k, ſint æ quales: ſed & eo-
rum anguli, qui ſunt b g k & a g k ſunt æ quales: angulus enim a g b diuiſus eſt per æqualia per li-
neam g f, in quam cadit punctum k: ergo per 15 p 6 ſequitur latus b g fieri ęquale lateri a g: quod eſt
contra hypotheſim: uel ſequitur per 3 p 6 lineam b k fieri maiorem quàm fuit linea a k: quod item
eſt contra præmiſſa. Idem quoq; accidit impoſsibile, ſi punctus f cadat inter puncta b & k: fiet enim
linea b k maior quàm linea b f: eſt aũt linea b f per 3 p 6 maior quàm linea f a: & ita eſt linea b f maior
quàm linea k a: quod totum eſt impoſsibile: cadet ergo punctus f inter puncta k & a. Fiet ergo li-
nearum o k & g n concurſus ultra lineam b f. Facto item circulo tranſeunte per tria puncta, quæ
ſunt a, q, b: tranſibit ille circulus citra punctum g: quoniam, ut prius oſtenſum eſt, ſi tranſiret per
punctum g, fieret per 22 p 3 angulus a q b æ qualis angulo a
g d per 13 p 1, quod eſt contra pręmiſſam proximam: tranſi
761[Figure 761]n q t z e b k f a g h d bit ergo ille circulus citra punctum g, & per 20 th. 5 huius
& per 26 p 3 linea g q diuidet arcum illius circuli, qui eſt a
b, per æqualia in puncto, qui ſit o: quoniam ipſa diuidit
angulum b q a per æqualia. Ducatur quoq; linea k o, quæ,
ut patet ex pręmiſsis, diuidit chordam b a per æqualia: er-
go linea k o concurret cum linea g n infra lineam f b, & ul-
tra punctum o Quia enim, ut ſuprà oſtenſum eſt, linea o k
eſt perpendicularis ſuper lineam b a, punctumq́; o cadit
in peripheriam cireuli minoris, qui eſt a q b: à punctis er-
go a & b copulentur, ut prius, chordæ b o & a o, patetq́;
per 4 p 1 quoniam chordæ b o & a o ſunt & quales: ergo
per 28 p 3 arcus a o eſt æ qualis arcui b o: arcus enim b a di
uiſus eſt per æ qualia in puncto o per lineam g q: lineæ er-
go o k & g n concurrunt in puncto aliquo citra lineam b
f, & ultra punctum o: quoniam linea g n diuidens per æ
qualia angulum a g b, caditinter puncta k & o, ut ſuprà patuit. Linea ergo k o cõcurrens cum linea
b a, de neceſsitate prius concurret cum linea g n: concurret ergo cum linea g n ſub linea b f: cuius
contrarium iam patuit in præmiſsis: oſtenſum enim fuit, quia concurrebat cum linea g n ultra li-
neam b f: & ita ſequeretur duas rectas lineas includere ſuperficiem: quod eſt manifeſtum impoſsi-
bile. Reſtat ergo ut angulus a q b non ſit minor angulo a g d: aut quòd forma puncti a non reflecta-
tur ad uiſum in punctum b à puncto q: quod eſt contra hypotheſim & impoſsibile. Eſt ergo angu-
lus a q b non minor angulo a g d: ex quo ſequitur propoſitum, quòd in hac diſpoſitione non erit u-
terq; angulorum conſtantium ex angulis incidentię & reflexionis minor angulo extrinſeco, ad an-
gulum cadentem in arcum contentum à duabus diametris circuli, in quarum una eſt centrũ uiſus,
& in altera punctus rei uiſę. Patet ergo propoſitum: quoniã ſemper ſimilis erit improbatio, ſumpto
quocunq; alio puncto arcus e n. Sed neq; ab aliquo puncto arcus z n poſsibile eſt fieri reflexionem
formæ puncti a rei uiſæ ad uiſum exiſtentẽ in puncto b, ita ut angulus conſtans ex angulis inciden-
tiæ & refle xionis factæ à puncto t, & ab illo alio puncto arcus n z ſit uterq; minor angulo a g d. Re-
manente enim diſpoſitione figuræ prioris, ſit, ut à puncto arcus n z fiat reflexio formæ puncti a ad
uiſum b. Sit itaq; quòd angulus conſtans ex angulo incidentię & reflexionis, qui ſit ſuper punctum
p, ſit minor angulo a g d, ſicut & angulus conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis, qui eſt ſupra
punctum t, minor eſt eodem angulo a g d. Ducanturitaq; lineæ a p, b p, g p: ſecabit ergo linea g p li-
neam k o: quoniam, ut præmiſſum eſt, linea g t diuidit arcum a b minoris circuli per æ qualia in pun
cto o per 26 p 3: eſt enim per 20 th. 5 huius angulus a t g æ qualis angulo g t b, & eundem arcum diui
dit linea k o per æ qualia. Et quoniã, ut præoſtenſum eſt, patet quod linea k o concurrit cum linea
g n, linea g p ſecat angulũ n g t, cui ſubtenditur linea k o, concurrens cum linea n g ultra lineam b f:
ergo per 29 th. 1 huius linea g p ſecabit lineam k o. Sit itaq; punctus ſectionis linearum g p & k
o punctus l: & ducatur linea t p. Cum itaq; duæ lineæ g t & g p ſint æquales: quia ſunt ſemidia-
metri eiuſd m citculi: erit per 5 p 1 angulus g t p æqualis angulo g p t, & uterq; acutus per 32 p 1.
Ducta ergo linea perpendiculari à puncto t ſuper lineam g t, erit illa perpendicularis per 16 p
3 contingens ſpeculi circulum, qui eſt e d h z: & producta cadet ſuper terminum diametri mi-
noris circuli per 31 p 3: cum angulus, quem efficit illa perpendicularis cum linea t g, reſpiciat
Ducatur item linea à puncto o ad punctum k, quę ſit o k: hæc ergo diuidit chordam b a per æ qualia,
& ſimiliter arcum b a, ut patet ex præmiſsis. Ductis ergo chordis b o & a o, quæ erunt æquales per
29 p 3, patet per 8 p 1 quod linea o k perpendicularis erit ſuper lineam b a. Sed per 18 p 1 angulus b
a g maior eſt angulo a b g: eſt enim linea b g maior quàm linea g a ex hypotheſi, & per 32 p 1 angulus
b f g ualet duos angulos f a g & f g a, & per eandem 32 p 1 angulus a f g ualet duos angulos f b g & f
g b: ſed ex præ miſsis angulus a g f eſt æ qualis angulo t g b, & angulus f a g maior eſt angulo f b g: er-
go angulus a f g minor eſt angulo g f b: eſt ergo angulus g f a acutus, & angulus g f b obtuſus per 13
p 1: ergo angulus n f k eſt acutus per eandem 13 p 1: ſed angulus o k b eſt rectus, ut patet ex præmiſ-
ſis: ergo per 14 th. 1 huius linea o k producta concurret cum linea g n ultra lineam b f, non autem
ſub illa: ideo, quia ſi concurreret cum linea g f in puncto k: fierent per 1 p 6 trigona a g k & b g k æ-
qualia: cum ipſa ſint eiuſdem altitudinis, & eorum baſes, quæ ſunt b k & a k, ſint æ quales: ſed & eo-
rum anguli, qui ſunt b g k & a g k ſunt æ quales: angulus enim a g b diuiſus eſt per æqualia per li-
neam g f, in quam cadit punctum k: ergo per 15 p 6 ſequitur latus b g fieri ęquale lateri a g: quod eſt
contra hypotheſim: uel ſequitur per 3 p 6 lineam b k fieri maiorem quàm fuit linea a k: quod item
eſt contra præmiſſa. Idem quoq; accidit impoſsibile, ſi punctus f cadat inter puncta b & k: fiet enim
linea b k maior quàm linea b f: eſt aũt linea b f per 3 p 6 maior quàm linea f a: & ita eſt linea b f maior
quàm linea k a: quod totum eſt impoſsibile: cadet ergo punctus f inter puncta k & a. Fiet ergo li-
nearum o k & g n concurſus ultra lineam b f. Facto item circulo tranſeunte per tria puncta, quæ
ſunt a, q, b: tranſibit ille circulus citra punctum g: quoniam, ut prius oſtenſum eſt, ſi tranſiret per
punctum g, fieret per 22 p 3 angulus a q b æ qualis angulo a
g d per 13 p 1, quod eſt contra pręmiſſam proximam: tranſi
761[Figure 761]n q t z e b k f a g h d bit ergo ille circulus citra punctum g, & per 20 th. 5 huius
& per 26 p 3 linea g q diuidet arcum illius circuli, qui eſt a
b, per æqualia in puncto, qui ſit o: quoniam ipſa diuidit
angulum b q a per æqualia. Ducatur quoq; linea k o, quæ,
ut patet ex pręmiſsis, diuidit chordam b a per æqualia: er-
go linea k o concurret cum linea g n infra lineam f b, & ul-
tra punctum o Quia enim, ut ſuprà oſtenſum eſt, linea o k
eſt perpendicularis ſuper lineam b a, punctumq́; o cadit
in peripheriam cireuli minoris, qui eſt a q b: à punctis er-
go a & b copulentur, ut prius, chordæ b o & a o, patetq́;
per 4 p 1 quoniam chordæ b o & a o ſunt & quales: ergo
per 28 p 3 arcus a o eſt æ qualis arcui b o: arcus enim b a di
uiſus eſt per æ qualia in puncto o per lineam g q: lineæ er-
go o k & g n concurrunt in puncto aliquo citra lineam b
f, & ultra punctum o: quoniam linea g n diuidens per æ
qualia angulum a g b, caditinter puncta k & o, ut ſuprà patuit. Linea ergo k o cõcurrens cum linea
b a, de neceſsitate prius concurret cum linea g n: concurret ergo cum linea g n ſub linea b f: cuius
contrarium iam patuit in præmiſsis: oſtenſum enim fuit, quia concurrebat cum linea g n ultra li-
neam b f: & ita ſequeretur duas rectas lineas includere ſuperficiem: quod eſt manifeſtum impoſsi-
bile. Reſtat ergo ut angulus a q b non ſit minor angulo a g d: aut quòd forma puncti a non reflecta-
tur ad uiſum in punctum b à puncto q: quod eſt contra hypotheſim & impoſsibile. Eſt ergo angu-
lus a q b non minor angulo a g d: ex quo ſequitur propoſitum, quòd in hac diſpoſitione non erit u-
terq; angulorum conſtantium ex angulis incidentię & reflexionis minor angulo extrinſeco, ad an-
gulum cadentem in arcum contentum à duabus diametris circuli, in quarum una eſt centrũ uiſus,
& in altera punctus rei uiſę. Patet ergo propoſitum: quoniã ſemper ſimilis erit improbatio, ſumpto
quocunq; alio puncto arcus e n. Sed neq; ab aliquo puncto arcus z n poſsibile eſt fieri reflexionem
formæ puncti a rei uiſæ ad uiſum exiſtentẽ in puncto b, ita ut angulus conſtans ex angulis inciden-
tiæ & refle xionis factæ à puncto t, & ab illo alio puncto arcus n z ſit uterq; minor angulo a g d. Re-
manente enim diſpoſitione figuræ prioris, ſit, ut à puncto arcus n z fiat reflexio formæ puncti a ad
uiſum b. Sit itaq; quòd angulus conſtans ex angulo incidentię & reflexionis, qui ſit ſuper punctum
p, ſit minor angulo a g d, ſicut & angulus conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis, qui eſt ſupra
punctum t, minor eſt eodem angulo a g d. Ducanturitaq; lineæ a p, b p, g p: ſecabit ergo linea g p li-
neam k o: quoniam, ut præmiſſum eſt, linea g t diuidit arcum a b minoris circuli per æ qualia in pun
cto o per 26 p 3: eſt enim per 20 th. 5 huius angulus a t g æ qualis angulo g t b, & eundem arcum diui
dit linea k o per æ qualia. Et quoniã, ut præoſtenſum eſt, patet quod linea k o concurrit cum linea
g n, linea g p ſecat angulũ n g t, cui ſubtenditur linea k o, concurrens cum linea n g ultra lineam b f:
ergo per 29 th. 1 huius linea g p ſecabit lineam k o. Sit itaq; punctus ſectionis linearum g p & k
o punctus l: & ducatur linea t p. Cum itaq; duæ lineæ g t & g p ſint æquales: quia ſunt ſemidia-
metri eiuſd m citculi: erit per 5 p 1 angulus g t p æqualis angulo g p t, & uterq; acutus per 32 p 1.
Ducta ergo linea perpendiculari à puncto t ſuper lineam g t, erit illa perpendicularis per 16 p
3 contingens ſpeculi circulum, qui eſt e d h z: & producta cadet ſuper terminum diametri mi-
noris circuli per 31 p 3: cum angulus, quem efficit illa perpendicularis cum linea t g, reſpiciat
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib