640338VITELLONIS OPTICAE
trum circuli maioris.
Quoniam cum angulus o t k ſit maior angulo o d a ex hypotheſi:
erunt duo an
guli o d k & o t k maiores duobus rectis: quod eſſet
763[Figure 763]b k o u n p g k e f d a q z m impoſsibile per 22 p 3, ſi circulus ille tranſiret punctũ
d: uel ſupra punctum d: quoniam eadem eſt demon-
ſtratio. Linea uerò n d diuidet k o arcum illius circu-
li per æqualia per 26 p 3: quoniam diuidit angulum o
t k per æqualia ex hypotheſi: fiet autem illa diuiſio ar
cus k o infra punctum d. Si uerò ab illo puncto diui-
ſionis arcus o k ducatur linea ad medium punctũ li-
neę o k (quę eſt chorda illius arcus o k) erit linea illa
perpendicularis ſuper lineam o k per 8 p 1, & cadet il-
la perpendicularis inter puncta p & k, cũ linea k p ſit
maior quàm linea p o ex præmiſsis: & angulus ſuper
punctum n ex parte illius perpẽdicularis erit acutus:
ergo & ex parte p erit acutus: & angulus ſuper pũctũ
p ex parte o erit acutus: hoc enim oſtenſum eſt ſupe-
rius. Si ergo detur quòd punctus p cadat inter duo
puncta n & o: impoſsibile erit perpẽdicularem illam
cadere inter puncta n & p: quia tunc ſecaret lineam
d p: & fieret triangulus: cuius unus angulus eſſet rectus, & alius obtuſus: quod cum ſit impoſsibile,
neceſſe eſt angulum k n d eſſe acutum: ergo per 13 p 1 angulus o n d eſt obtuſus: punctum ergo p nõ
cadet inter puncta n & o. Quoniam cum angulus o n d ſit obtuſus, & ut patet ex pręmiſsis, angulus
d p k eſt obtuſus: ſequeretur ergo in trigono d n p duos eſſe angulos obtuſos: quod cum ſit impoſsi
bile per 32 p 1: palàm quia punctus p non cadet inter puncta n & o: nea cadit etiam in punctum n, ut
eſt euidẽs. Cadet ergo inter puncta k & n. Quia ergo, ut patet ex præmiſsis, angulus k t d eſt medie-
tas anguli k t o: ſed & angulus k t e eſt medietas anguli k t f: angulus uerò k t o maior eſt angulo f t o,
in angulo k t f: reſtat ergo ut angulus e t d ſit medietas anguli f t o: ſed angulus f t o eſt æqualis angu
lo o d a: igitur angulus e t d eſt medietas anguli o d a: ſed angulus o d a cum angulo o d f ualet duos
rectos per 13 p 1, & tres anguli trianguli e t d ualent duos rectos per 32 p 1: tres ergo anguli trigoni e t
d ſunt æqualis duobus angulis o d a & o d f: ablato ergo angulo e d t hinc inde illis angulis comma
ni, & ablato angulo e t d, qui eſt medietas anguli o d a: reſtat ut angulus t e d æqualis ſit medietati
anguli o d a, & toti angulo o d n: ſed angulus o d p, qui eſt medietas anguli o d k cum medietate an-
guli o d a eſt rectus: eſt autem angulus o d p maior angulo o d n, quod patet per 29 th. 1 huius: cum,
ficut patet ex præmiſsis, punctum n lineæ d n cadat inter puncta p & o: eſt ergo angulus o d p cum
medietate anguli o d a maior angulo t e d cum medietate anguli o d a. Patet ergo cum angulus o d k
cum medietate anguli o d a ſit rectus, quoniam angulus t e d eſt acutus: quare per 15 p 1 ei contrà po
ſitus, qui eſt angulus k e z, eſt acutus. Igitur ſi per 12 p 1 à puncto k ducatur perpendicularis ſuper li-
neam t z, illa cadetinter puncta e & z: quia, ut patet ex præmiſsis, linea k e non eſt perpen dicularis
ſuper lineam t e z. Si uerò dicatur quòd illa perpendicularis cadat ultra pũctum e ſuper lineam t e:
tunc cum angulus t e k per pręmiſſa & 13 p 1 ſit obtuſus: accidet triãgulum habere duos angulos u-
num rectum & alium obtuſum: quod eſt impoſsibile per 32 p 1. Cadet itaque perpendicularis illa
inter puncta e & z: quæ ſit linea k q. Hoc autem ſeruato, nunc quidem neceſſarium interponimus:
ſcilicet quòd linea k t ſe habet ad lineam t f, ſicut linea k d ad lineam d o. Eſt enim linea t o aut æqui-
diſtans lineę k d, aut concurrens cum illa. Sit primũ ęquidiſtans: erit ergo per 29 p 1, angulus o d a ę-
qualis angulo t o d: eſt ergo angulus t o d ęqualis angulo o t f, quoniam, ut patet ex pręmiſsis, angu
764[Figure 764]b t o u p n g k e f d a q z m765[Figure 765]b t o u p n g k e f d a q v m li o t f & o d a ſunt æquales. Similiter quoq; lineæ o d & t faut ęquidiſtabunt, aut concurrent. Si æ-
quidiſtent, cum illæ cadant inter lineas k d & t o æquidiſtantes: palàm per 34 p 1 quoniam ipfę erũt
guli o d k & o t k maiores duobus rectis: quod eſſet
763[Figure 763]b k o u n p g k e f d a q z m impoſsibile per 22 p 3, ſi circulus ille tranſiret punctũ
d: uel ſupra punctum d: quoniam eadem eſt demon-
ſtratio. Linea uerò n d diuidet k o arcum illius circu-
li per æqualia per 26 p 3: quoniam diuidit angulum o
t k per æqualia ex hypotheſi: fiet autem illa diuiſio ar
cus k o infra punctum d. Si uerò ab illo puncto diui-
ſionis arcus o k ducatur linea ad medium punctũ li-
neę o k (quę eſt chorda illius arcus o k) erit linea illa
perpendicularis ſuper lineam o k per 8 p 1, & cadet il-
la perpendicularis inter puncta p & k, cũ linea k p ſit
maior quàm linea p o ex præmiſsis: & angulus ſuper
punctum n ex parte illius perpẽdicularis erit acutus:
ergo & ex parte p erit acutus: & angulus ſuper pũctũ
p ex parte o erit acutus: hoc enim oſtenſum eſt ſupe-
rius. Si ergo detur quòd punctus p cadat inter duo
puncta n & o: impoſsibile erit perpẽdicularem illam
cadere inter puncta n & p: quia tunc ſecaret lineam
d p: & fieret triangulus: cuius unus angulus eſſet rectus, & alius obtuſus: quod cum ſit impoſsibile,
neceſſe eſt angulum k n d eſſe acutum: ergo per 13 p 1 angulus o n d eſt obtuſus: punctum ergo p nõ
cadet inter puncta n & o. Quoniam cum angulus o n d ſit obtuſus, & ut patet ex pręmiſsis, angulus
d p k eſt obtuſus: ſequeretur ergo in trigono d n p duos eſſe angulos obtuſos: quod cum ſit impoſsi
bile per 32 p 1: palàm quia punctus p non cadet inter puncta n & o: nea cadit etiam in punctum n, ut
eſt euidẽs. Cadet ergo inter puncta k & n. Quia ergo, ut patet ex præmiſsis, angulus k t d eſt medie-
tas anguli k t o: ſed & angulus k t e eſt medietas anguli k t f: angulus uerò k t o maior eſt angulo f t o,
in angulo k t f: reſtat ergo ut angulus e t d ſit medietas anguli f t o: ſed angulus f t o eſt æqualis angu
lo o d a: igitur angulus e t d eſt medietas anguli o d a: ſed angulus o d a cum angulo o d f ualet duos
rectos per 13 p 1, & tres anguli trianguli e t d ualent duos rectos per 32 p 1: tres ergo anguli trigoni e t
d ſunt æqualis duobus angulis o d a & o d f: ablato ergo angulo e d t hinc inde illis angulis comma
ni, & ablato angulo e t d, qui eſt medietas anguli o d a: reſtat ut angulus t e d æqualis ſit medietati
anguli o d a, & toti angulo o d n: ſed angulus o d p, qui eſt medietas anguli o d k cum medietate an-
guli o d a eſt rectus: eſt autem angulus o d p maior angulo o d n, quod patet per 29 th. 1 huius: cum,
ficut patet ex præmiſsis, punctum n lineæ d n cadat inter puncta p & o: eſt ergo angulus o d p cum
medietate anguli o d a maior angulo t e d cum medietate anguli o d a. Patet ergo cum angulus o d k
cum medietate anguli o d a ſit rectus, quoniam angulus t e d eſt acutus: quare per 15 p 1 ei contrà po
ſitus, qui eſt angulus k e z, eſt acutus. Igitur ſi per 12 p 1 à puncto k ducatur perpendicularis ſuper li-
neam t z, illa cadetinter puncta e & z: quia, ut patet ex præmiſsis, linea k e non eſt perpen dicularis
ſuper lineam t e z. Si uerò dicatur quòd illa perpendicularis cadat ultra pũctum e ſuper lineam t e:
tunc cum angulus t e k per pręmiſſa & 13 p 1 ſit obtuſus: accidet triãgulum habere duos angulos u-
num rectum & alium obtuſum: quod eſt impoſsibile per 32 p 1. Cadet itaque perpendicularis illa
inter puncta e & z: quæ ſit linea k q. Hoc autem ſeruato, nunc quidem neceſſarium interponimus:
ſcilicet quòd linea k t ſe habet ad lineam t f, ſicut linea k d ad lineam d o. Eſt enim linea t o aut æqui-
diſtans lineę k d, aut concurrens cum illa. Sit primũ ęquidiſtans: erit ergo per 29 p 1, angulus o d a ę-
qualis angulo t o d: eſt ergo angulus t o d ęqualis angulo o t f, quoniam, ut patet ex pręmiſsis, angu
764[Figure 764]b t o u p n g k e f d a q z m765[Figure 765]b t o u p n g k e f d a q v m li o t f & o d a ſunt æquales. Similiter quoq; lineæ o d & t faut ęquidiſtabunt, aut concurrent. Si æ-
quidiſtent, cum illæ cadant inter lineas k d & t o æquidiſtantes: palàm per 34 p 1 quoniam ipfę erũt
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib