641339LIBER OCTAVVS.æquales.
Si uerò lineæ o d & t f concurrunt, facient triangulum, cuius duo latera erunt æqualia per
6 p 1: quoniam duo eius anguli, qui ſunt f t o & d o t, ſunt ęquales. Linea uerò f d ſecat illa duo latera
æqualia æquidiſtanter baſi d o: erit ergo per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorum laterum ad lineá
d o, ſicut alterius ad lineam f t: eſt ergo linea t f ęqualis lineæ o d per 9 p 5. Fit autem hęc deductio
cum lineę illæ concurrunt ſub linea k d. Quòd ſi cõcurrãt ſub linea t o, erit eadẽ probatio: quia fiet
triãgulus, cuius unũ latus eſt linea t o, & alia duo latera æqualia ք 6 p 1, ut prius: ꝗ a linea t o eſt ęqui
diſtãs lineæ d f, erit per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorũ duorũ laterũ ad lineã t o, ſicut alterius
ad lineã t f, eruntq́; ut prius, per 9 p 5, lineę t f & d o ęquales. Itẽ patet quòd angulus t d k eſt æqualis
angulo d t o per 29 p 1: ideo quòd linea t o data eſt æquidiſtans eſſe lineæ k d: ergo angulus t d f eſt
æqualis angulo d t k, cum anguli d t o & d t k ſint æquales ex hypotheſi & per 20 th. 5 huius: ergo per
6 p 1 lineę d k & t k ſunt æquales: eſt ergo per 7 p 5 proportio lineę t k ad lineam t f, ſicut lineæ k d ad
lineam d o: ideo quòd antecedentia & conſequentia ſunt hinc & inde æqualia. Si uerò linea t o non
ęquidiſtat, ſed cõcurrit cũ linea k d: aut hoc eſt ad par
766[Figure 766]u t b o n p g k f d l a q m z tẽ pũcti a: aut ad partẽ pũcti g diametri a g. Si fiat cõ
curſus ex parte a: ſit hoc in pũcto l. Manifeſtũ ergo ք
13 th. 1 huius quoniã ꝓportio lineę t k ad lineã t f cõpo
nitur ex proportione lineę t k ad lineã t l, & ex pro-
portione lineę t l ad lineam t f: ſed proportio lineę k t
ad lineam t l eſt, ſicut proportio lineę k d ad lineá d l
per 3 p 6: linea enim d t diuidit angulum k t o per æ-
qualia ex hypotheſi. Quia uerò angulus o d l per prę-
miſſa eſt æqualis angulo l t f, & angulus ad punctum l
communis eſt am bobus trigonis t l f & o d l: patet ք
32 p 1 quòd tertius angulus eſt tertio ęqualis: erit er-
go per 4 p 6 proportio lineę t l ad lineá t f, ſicut lineæ
d l ad lineam d o. Proportio itaque lineę t k ad lineá
f conſtat ex proportione lineę k d ad lineam d l, & li
neę d l ad lineam d o: ſed proportio lineę k d ad lineá
d o cóſtat ex eiſdem proportionibus, poſita linea d l
media per 13 th. 1 hurus: ergo proportio lineę k t ad li-
neam t f eſt, ſicut proportio lineę k d ad lineam d o. Siautem linea t o cócurrat cum linea k d ex par
te g: ſit concurſus in puncto s: & à puncto d ducatur linea ęquidiſtans lineę k t, quæ ſit d r, concur-
rens cum linea t o producta ultra punctum o in pũcto r:
igitur angulus k t d æqualis eſt angulo t d r per 29 p 1:
767[Figure 767]s g t z k e f d o b r a ſed & angulus k t d ex hypotheſi æqualis eſt angulo d
t o: ergo anguli d t r & d r t ſunt æquales: ergo per 6 p
1 linea d r eſt æqualis lineæ t r. Sed quoniam triangu-
lus s t k æquiangulus eſt triangulo s r d per 29 p 1, &
ꝓpter angulũ a s d cõmunẽ: erit ergo per 4 p 6 propor-
tio lineæ d r ad lineã s r, ſicut lineę k t ad lineã t s: ſed li-
nea d r eſt ęqualis lineę r t: eſt ergo ք 7 p 5 proportio li-
neę r t ad lineã r s, ſicut lineæ k t ad lineã t s: ſed propor-
tio lineę r t ad lineam r s eſt, ſicut proportio lineæ d k
ad lineam d s per 2 p 6 & per 18 p 5: igitur per 11 p 5 eſt
proportio lineæ k t ad lineam t s, ſicut lineæ k d ad d s.
Sed quoniam angulus f t o æqualis eſt angulo o d a: e-
rit angulus o d s æqualis angulo f t s per 13 p 1, & angu-
lus ad punctum s eſt communis: erit ergo triangulus o
d s æquiangulus triangulo f t s per 32 p 1: ergo per 4 p 6
eſt proportio lineæ t s ad lineam t f, ſicut lineæ d s ad li-
neam d o: eſt autem proportio lineæ k t ad lineam t s,
ficut lineæ k d ad lineam d s: ergo per 22 p 5 erit pro-
portio lineæ k t ad lineam t f, ſicut lineę k d ad lineam
d o. Quia uerò linea k z æquidiſtat lineæ t f, ut patet ex
præmiſsis, erit per 29 p 1 angulus k z e æqualis angulo
e t f: ſed angulus k e z eſt æqualis angulo t e f per 15 p 1:
ergo trigoni k z e & e t f ſunt æquianguli per 32 p 1:
ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ k e ad lineam e f,
ſicut lineæ k z ad lineam t f: ſed proportio lineę k e ad li
neam e f eſt, ſicut lineę k t ad lineam t f per 3 p 6: quia
angulus k e f diuiſus eſt per æqualia per lineam t e: li-
neæ ergo k z & k t ad eandem lineam t f eandem habent proportionem: ergo per 9 p 5 lineam k z
eſt æqualis lineę k t: ſed ex pręmiſsis patet, quòd eſt proportio lineæ z k ad lineam t f, ſicut lineæ
z e ad lineam e t: eſt ergo per 11 p 5 proportio lineę z e ad lineam e t, ſicut lineæ k d ad lineam
6 p 1: quoniam duo eius anguli, qui ſunt f t o & d o t, ſunt ęquales. Linea uerò f d ſecat illa duo latera
æqualia æquidiſtanter baſi d o: erit ergo per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorum laterum ad lineá
d o, ſicut alterius ad lineam f t: eſt ergo linea t f ęqualis lineæ o d per 9 p 5. Fit autem hęc deductio
cum lineę illæ concurrunt ſub linea k d. Quòd ſi cõcurrãt ſub linea t o, erit eadẽ probatio: quia fiet
triãgulus, cuius unũ latus eſt linea t o, & alia duo latera æqualia ք 6 p 1, ut prius: ꝗ a linea t o eſt ęqui
diſtãs lineæ d f, erit per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorũ duorũ laterũ ad lineã t o, ſicut alterius
ad lineã t f, eruntq́; ut prius, per 9 p 5, lineę t f & d o ęquales. Itẽ patet quòd angulus t d k eſt æqualis
angulo d t o per 29 p 1: ideo quòd linea t o data eſt æquidiſtans eſſe lineæ k d: ergo angulus t d f eſt
æqualis angulo d t k, cum anguli d t o & d t k ſint æquales ex hypotheſi & per 20 th. 5 huius: ergo per
6 p 1 lineę d k & t k ſunt æquales: eſt ergo per 7 p 5 proportio lineę t k ad lineam t f, ſicut lineæ k d ad
lineam d o: ideo quòd antecedentia & conſequentia ſunt hinc & inde æqualia. Si uerò linea t o non
ęquidiſtat, ſed cõcurrit cũ linea k d: aut hoc eſt ad par
766[Figure 766]u t b o n p g k f d l a q m z tẽ pũcti a: aut ad partẽ pũcti g diametri a g. Si fiat cõ
curſus ex parte a: ſit hoc in pũcto l. Manifeſtũ ergo ք
13 th. 1 huius quoniã ꝓportio lineę t k ad lineã t f cõpo
nitur ex proportione lineę t k ad lineã t l, & ex pro-
portione lineę t l ad lineam t f: ſed proportio lineę k t
ad lineam t l eſt, ſicut proportio lineę k d ad lineá d l
per 3 p 6: linea enim d t diuidit angulum k t o per æ-
qualia ex hypotheſi. Quia uerò angulus o d l per prę-
miſſa eſt æqualis angulo l t f, & angulus ad punctum l
communis eſt am bobus trigonis t l f & o d l: patet ք
32 p 1 quòd tertius angulus eſt tertio ęqualis: erit er-
go per 4 p 6 proportio lineę t l ad lineá t f, ſicut lineæ
d l ad lineam d o. Proportio itaque lineę t k ad lineá
f conſtat ex proportione lineę k d ad lineam d l, & li
neę d l ad lineam d o: ſed proportio lineę k d ad lineá
d o cóſtat ex eiſdem proportionibus, poſita linea d l
media per 13 th. 1 hurus: ergo proportio lineę k t ad li-
neam t f eſt, ſicut proportio lineę k d ad lineam d o. Siautem linea t o cócurrat cum linea k d ex par
te g: ſit concurſus in puncto s: & à puncto d ducatur linea ęquidiſtans lineę k t, quæ ſit d r, concur-
rens cum linea t o producta ultra punctum o in pũcto r:
igitur angulus k t d æqualis eſt angulo t d r per 29 p 1:
767[Figure 767]s g t z k e f d o b r a ſed & angulus k t d ex hypotheſi æqualis eſt angulo d
t o: ergo anguli d t r & d r t ſunt æquales: ergo per 6 p
1 linea d r eſt æqualis lineæ t r. Sed quoniam triangu-
lus s t k æquiangulus eſt triangulo s r d per 29 p 1, &
ꝓpter angulũ a s d cõmunẽ: erit ergo per 4 p 6 propor-
tio lineæ d r ad lineã s r, ſicut lineę k t ad lineã t s: ſed li-
nea d r eſt ęqualis lineę r t: eſt ergo ք 7 p 5 proportio li-
neę r t ad lineã r s, ſicut lineæ k t ad lineã t s: ſed propor-
tio lineę r t ad lineam r s eſt, ſicut proportio lineæ d k
ad lineam d s per 2 p 6 & per 18 p 5: igitur per 11 p 5 eſt
proportio lineæ k t ad lineam t s, ſicut lineæ k d ad d s.
Sed quoniam angulus f t o æqualis eſt angulo o d a: e-
rit angulus o d s æqualis angulo f t s per 13 p 1, & angu-
lus ad punctum s eſt communis: erit ergo triangulus o
d s æquiangulus triangulo f t s per 32 p 1: ergo per 4 p 6
eſt proportio lineæ t s ad lineam t f, ſicut lineæ d s ad li-
neam d o: eſt autem proportio lineæ k t ad lineam t s,
ficut lineæ k d ad lineam d s: ergo per 22 p 5 erit pro-
portio lineæ k t ad lineam t f, ſicut lineę k d ad lineam
d o. Quia uerò linea k z æquidiſtat lineæ t f, ut patet ex
præmiſsis, erit per 29 p 1 angulus k z e æqualis angulo
e t f: ſed angulus k e z eſt æqualis angulo t e f per 15 p 1:
ergo trigoni k z e & e t f ſunt æquianguli per 32 p 1:
ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ k e ad lineam e f,
ſicut lineæ k z ad lineam t f: ſed proportio lineę k e ad li
neam e f eſt, ſicut lineę k t ad lineam t f per 3 p 6: quia
angulus k e f diuiſus eſt per æqualia per lineam t e: li-
neæ ergo k z & k t ad eandem lineam t f eandem habent proportionem: ergo per 9 p 5 lineam k z
eſt æqualis lineę k t: ſed ex pręmiſsis patet, quòd eſt proportio lineæ z k ad lineam t f, ſicut lineæ
z e ad lineam e t: eſt ergo per 11 p 5 proportio lineę z e ad lineam e t, ſicut lineæ k d ad lineam