642340VITELLONIS OPTICAE
d o:
ſed linea k d ex hypotheſi eſt maior quàm linea d o:
linea ergo z e eſt maior quàm linea e t:
& hoc quidem pro alijs reſeruantes nunc ad propoſitum redeamus. Quia uerò, (ut ſuprà patuit)
linea k q eſt perpendicularis ſuper lineam e z: erunt omnes anguli circa punctum q recti: ſed angu
lus e t d eſt acutus, quoniam eſt medietas anguli f t o, ut ſuperius oſtenſum eſt: ergo per 14 th. 1
huius linea k q concurret cum linea t d: ſit punctus concurſus h: & ducatur linea e h: & à puncto
e ducatur linea ęquidiſtans lineę k h producta uſq; ad lineã d h, quę ſit e x, ſecans h d lineã in pun-
cto x: fiatq́ue per 5 p 4 circulus tranſiens per tria puncta, quę ſunt e, t, x: & immutetur figura (ſi
placet) propter diuerſam intricationem linearum. Quia itaque angulus t q h eſt rectus, ut patet
ex præmiſsis: erit per 29 p 1 angulus t e x rectus: er
768[Figure 768]t f k e d m z q x h go per 31 p 3 linea x t erit diameter illius circuli, qui
eſt e t x: & producatur linea k e pertriangulum or
thogonium t e x, & trans circulum, cadens in pun-
ctum m circumferentiæ circuli t e x: & ducatur li-
nea m t: & erit angulus t m e æqualis angulo t x e
per 27 p 3: cadunt enim ambo illi anguli in eundem
arcum, qui eſt e t: ſed angulus t x e æqualis eſt an-
gulo t h k per 29 p 1: quoniam lineæ e x & k h du-
ctæ ſunt æquidiſtantes: erit ergo angulus t m e æ-
qualis angulo t h k: ſed angulus t h k maior eſt an
gulo d h e: quod patet per 29 th. 1 huius: ſecat enim
linea h e baſim k d: ergo angulus t m e maior eſt
eodem angulo d h e. Reſecetur ergo ab angulo t
m e angulus æqualis angulo d h e ք 27 th. 1 huius,
qui ſit angulus f m d ducta linea f m: & punctus,
in quo linea f m ſecat lineam t x, ſit i. Palàm ergo,
cum ex præmiſsis angulus i m d ſit æqualis angu-
lo d h e, & per 15 p 1 angulus i d m ſit æqualis angu-
lo e d h: quoniam per 32 p 1 triangulus i m d eſt æquiangulus triangulo d h e: ergo per 4 p 6 eſt
proportio lineę h d ad lineam d m, ſicut lineę e h ad lineam i m. Et ſimiliter triangulus t m d fit ſi-
milis triangulo k h d: cum, ſicut patet ex præmiſsis, angulus d h k ſit æqualis angulo t m d, & per 15
p 1 angulus t d m ſit æqualis angulo k d b, & tertius tertio per 32 p 1: erit ergo proportio lineę k d ad
lineam d t, ſicut lineę h d ad lineam d m: eſt autem proportio lineæ h d ad lineam d m, ſicut lineę e h
ad lineam i m: eſt ergo per 11 p 5 proportio lineę k d ad lineam d t, ſicut lineę e h ad lineam i m: ſed
proportio lineæ k d ad lineam d t eſt nota: quoniam ſemper una & eadem permanet, quicunque pũ
ctus reflexionis ſit t in arcu b g: quia ſemper linea d t, quæ eſt ſemidiameter, eſt una, & linea k d ſi-
militer eſt ſemper una: quoniam ipſa eſt diſtantia alterius punctorum reflexorum à centro ſpeculi.
Linea etiam e h una permanet in quacun que reflexione, & non mutatur eius quantitas: quoniam
non mutatur quantitas anguli e d h, qui eſt medietas anguli o d a, qui non mutatur. Quare linea i m
ſemper erit una & æ qualis: erit ergo punctus circumferentiæ, in quem cadit linea i m producta ul
tra punctum i, qui eſt punctus f, ſemper notus & determinatus. Si ergo à tribus punctis arcus b g
poſsit fieri reflexio: continget ducere à puncto f ad circulum t x e tres lineas, quarum cuiuslibet
pars interiacens diametrum t x & peripheriã circuli ſit æqualis lineæ i m per 9 p 5: quia ſemper erit
proportio lineę k d ad lineam d t, ſicut lineę e h ad quamlibet illarum linearum: patet autẽ hoc eſſe
impoſsibile per 133 th. 1 huius, quòd ab eodem puncto dato in circũſerentia circuli extra diametrũ
per ipſam diametrum ad circumferentiam (ita ut pars lineæ interiacentis diametrum ad reliquam
partem circunferentiæ ſit æqualis datæ lineæ) non niſi duæ lineę ęquales duci poſſunt. Quare à
duobus tantùm punctis illius propoſiti arcus fiet reflexio. Quod eſt propoſitum.
& hoc quidem pro alijs reſeruantes nunc ad propoſitum redeamus. Quia uerò, (ut ſuprà patuit)
linea k q eſt perpendicularis ſuper lineam e z: erunt omnes anguli circa punctum q recti: ſed angu
lus e t d eſt acutus, quoniam eſt medietas anguli f t o, ut ſuperius oſtenſum eſt: ergo per 14 th. 1
huius linea k q concurret cum linea t d: ſit punctus concurſus h: & ducatur linea e h: & à puncto
e ducatur linea ęquidiſtans lineę k h producta uſq; ad lineã d h, quę ſit e x, ſecans h d lineã in pun-
cto x: fiatq́ue per 5 p 4 circulus tranſiens per tria puncta, quę ſunt e, t, x: & immutetur figura (ſi
placet) propter diuerſam intricationem linearum. Quia itaque angulus t q h eſt rectus, ut patet
ex præmiſsis: erit per 29 p 1 angulus t e x rectus: er
768[Figure 768]t f k e d m z q x h go per 31 p 3 linea x t erit diameter illius circuli, qui
eſt e t x: & producatur linea k e pertriangulum or
thogonium t e x, & trans circulum, cadens in pun-
ctum m circumferentiæ circuli t e x: & ducatur li-
nea m t: & erit angulus t m e æqualis angulo t x e
per 27 p 3: cadunt enim ambo illi anguli in eundem
arcum, qui eſt e t: ſed angulus t x e æqualis eſt an-
gulo t h k per 29 p 1: quoniam lineæ e x & k h du-
ctæ ſunt æquidiſtantes: erit ergo angulus t m e æ-
qualis angulo t h k: ſed angulus t h k maior eſt an
gulo d h e: quod patet per 29 th. 1 huius: ſecat enim
linea h e baſim k d: ergo angulus t m e maior eſt
eodem angulo d h e. Reſecetur ergo ab angulo t
m e angulus æqualis angulo d h e ք 27 th. 1 huius,
qui ſit angulus f m d ducta linea f m: & punctus,
in quo linea f m ſecat lineam t x, ſit i. Palàm ergo,
cum ex præmiſsis angulus i m d ſit æqualis angu-
lo d h e, & per 15 p 1 angulus i d m ſit æqualis angu-
lo e d h: quoniam per 32 p 1 triangulus i m d eſt æquiangulus triangulo d h e: ergo per 4 p 6 eſt
proportio lineę h d ad lineam d m, ſicut lineę e h ad lineam i m. Et ſimiliter triangulus t m d fit ſi-
milis triangulo k h d: cum, ſicut patet ex præmiſsis, angulus d h k ſit æqualis angulo t m d, & per 15
p 1 angulus t d m ſit æqualis angulo k d b, & tertius tertio per 32 p 1: erit ergo proportio lineę k d ad
lineam d t, ſicut lineę h d ad lineam d m: eſt autem proportio lineæ h d ad lineam d m, ſicut lineę e h
ad lineam i m: eſt ergo per 11 p 5 proportio lineę k d ad lineam d t, ſicut lineę e h ad lineam i m: ſed
proportio lineæ k d ad lineam d t eſt nota: quoniam ſemper una & eadem permanet, quicunque pũ
ctus reflexionis ſit t in arcu b g: quia ſemper linea d t, quæ eſt ſemidiameter, eſt una, & linea k d ſi-
militer eſt ſemper una: quoniam ipſa eſt diſtantia alterius punctorum reflexorum à centro ſpeculi.
Linea etiam e h una permanet in quacun que reflexione, & non mutatur eius quantitas: quoniam
non mutatur quantitas anguli e d h, qui eſt medietas anguli o d a, qui non mutatur. Quare linea i m
ſemper erit una & æ qualis: erit ergo punctus circumferentiæ, in quem cadit linea i m producta ul
tra punctum i, qui eſt punctus f, ſemper notus & determinatus. Si ergo à tribus punctis arcus b g
poſsit fieri reflexio: continget ducere à puncto f ad circulum t x e tres lineas, quarum cuiuslibet
pars interiacens diametrum t x & peripheriã circuli ſit æqualis lineæ i m per 9 p 5: quia ſemper erit
proportio lineę k d ad lineam d t, ſicut lineę e h ad quamlibet illarum linearum: patet autẽ hoc eſſe
impoſsibile per 133 th. 1 huius, quòd ab eodem puncto dato in circũſerentia circuli extra diametrũ
per ipſam diametrum ad circumferentiam (ita ut pars lineæ interiacentis diametrum ad reliquam
partem circunferentiæ ſit æqualis datæ lineæ) non niſi duæ lineę ęquales duci poſſunt. Quare à
duobus tantùm punctis illius propoſiti arcus fiet reflexio. Quod eſt propoſitum.
37. Secundum modũ datæ lineæ à dato puncto ſpeculi ſphærici concaui ductæ: poßibile ect duo
punct a reperiri, quæ in diuerſis diametris inæqualiter à centro ſpeculi diſtantia, ab eodem dato
puncto ſpeculi, & uno tantùm alio eiuſdem arcus interiacentis ſemidiametros, in quibus illa pũ
cta conſiſtunt, ad ſe mutuò reflectantur. Alhazen 83 n 5.
punct a reperiri, quæ in diuerſis diametris inæqualiter à centro ſpeculi diſtantia, ab eodem dato
puncto ſpeculi, & uno tantùm alio eiuſdem arcus interiacentis ſemidiametros, in quibus illa pũ
cta conſiſtunt, ad ſe mutuò reflectantur. Alhazen 83 n 5.
Remaneat diſpoſitio proximæ:
ſitq́ue datus quicunque punctus ſpeculi:
qui ſit t:
proponitur no
bis, ut inueniãtur duo puncta, quæ in diuerſis diametris ſpeculi exiſtentia ab illo dato puncto ſu-
perficiei ſpeculi, & uno tantùm alio propoſiti arcus puncto ad ſe mutuò reflectantur. Sit enim, ut,
quantacunque placuerit, ſumatur linea z t: quæ per 119 th. 1 huius diuidatur taliter in puncto e, ut
ſit proportio lineę z e ad lineam e t, ſicut in præcedẽte propoſitione prima ſcilicet eius figuratione,
eſt proportio lineę k d ad lineam d o. Et quoniam ex hypotheſi illius linea k d eſt maior quàm linea
d o: erit linea z e maior quàm linea e t: diuidaturq́ue linea z t per æqualia in puncto q per 10 p 1: & à
puncto q ducatur perpendicularis ſuper lineam z t per 11 p 1: & fiat angulus e t d æqualis medietati
anguli o d a per 23 p 1: erit quidem ille angulus e t d acutus: ergo per 14 th. 1 huius linea t d concur-
ret cum perpendiculari ducta à puncto q ſuper lineam z t: ſit concurſus in puncto h. Completum
eſt ergo trigonum orthogonium, quod eſt t q h, in cuius altero laterum rectum angulum t q h con-
bis, ut inueniãtur duo puncta, quæ in diuerſis diametris ſpeculi exiſtentia ab illo dato puncto ſu-
perficiei ſpeculi, & uno tantùm alio propoſiti arcus puncto ad ſe mutuò reflectantur. Sit enim, ut,
quantacunque placuerit, ſumatur linea z t: quæ per 119 th. 1 huius diuidatur taliter in puncto e, ut
ſit proportio lineę z e ad lineam e t, ſicut in præcedẽte propoſitione prima ſcilicet eius figuratione,
eſt proportio lineę k d ad lineam d o. Et quoniam ex hypotheſi illius linea k d eſt maior quàm linea
d o: erit linea z e maior quàm linea e t: diuidaturq́ue linea z t per æqualia in puncto q per 10 p 1: & à
puncto q ducatur perpendicularis ſuper lineam z t per 11 p 1: & fiat angulus e t d æqualis medietati
anguli o d a per 23 p 1: erit quidem ille angulus e t d acutus: ergo per 14 th. 1 huius linea t d concur-
ret cum perpendiculari ducta à puncto q ſuper lineam z t: ſit concurſus in puncto h. Completum
eſt ergo trigonum orthogonium, quod eſt t q h, in cuius altero laterum rectum angulum t q h con-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib