644342VITELLONIS OPTICAE
nea b t cadat in ſpeculo, linea a t cadet extra:
ſemper enim altera linearum ab illis duobus punctis
771[Figure 771]b a b a m t l g d n a & b ad illud punctum ſpeculi ductarum tota e
rit extra ſpeculum: & ſic item neuter illorum pun
ctorum ad alterum reflectetur ab aliquo puncto
illius arcus l m. Similiter quoque patet idem, ſili
nea tota ſit extra ſpeculũ, non contingens ipſum,
reſpiciat tamen arcum l m: quia neque tunc am-
bæ lineę at & b t cadent intra ſpeculum: ſed ſi u-
na erit intra ſpeculum, reliqua erit tota extra ſpe-
culum: unde non ſiet reflexio ſecundum illam: ab
aliquo tamen puncto arcus d n poteſt fieri re-
flexio per 27 huius: & ab uno tantùm puncto illi-
us arcus, ut patet per præcedentem: & ita forma-
rum illorum punctorum reflexio ad inuicem
non fiet niſi ab uno ſolo puncto ſpeculi. Quod eſt
propoſitum.
771[Figure 771]b a b a m t l g d n a & b ad illud punctum ſpeculi ductarum tota e
rit extra ſpeculum: & ſic item neuter illorum pun
ctorum ad alterum reflectetur ab aliquo puncto
illius arcus l m. Similiter quoque patet idem, ſili
nea tota ſit extra ſpeculũ, non contingens ipſum,
reſpiciat tamen arcum l m: quia neque tunc am-
bæ lineę at & b t cadent intra ſpeculum: ſed ſi u-
na erit intra ſpeculum, reliqua erit tota extra ſpe-
culum: unde non ſiet reflexio ſecundum illam: ab
aliquo tamen puncto arcus d n poteſt fieri re-
flexio per 27 huius: & ab uno tantùm puncto illi-
us arcus, ut patet per præcedentem: & ita forma-
rum illorum punctorum reflexio ad inuicem
non fiet niſi ab uno ſolo puncto ſpeculi. Quod eſt
propoſitum.
40. Exiſtẽtib. duobus pũctis in diuerſis diame
tris circuli ſpeculi ſphærici concaui, inæqualiter
dictantibus à centro: ſi linea continuans illa
puncta product a ſecet circulum, unum illorum punctorum ad alterum ab uno tantùm puncto
ſpeculi, uel à duobus, aut à tribus, aut à quatuor poßible eſt reflecti: & ſecundum hæc locaima-
ginum numer antur. Alhazen 86 n 5.
tris circuli ſpeculi ſphærici concaui, inæqualiter
dictantibus à centro: ſi linea continuans illa
puncta product a ſecet circulum, unum illorum punctorum ad alterum ab uno tantùm puncto
ſpeculi, uel à duobus, aut à tribus, aut à quatuor poßible eſt reflecti: & ſecundum hæc locaima-
ginum numer antur. Alhazen 86 n 5.
Sint, ut ſuprà, duo puncta a & b in diuerſis diametris circuli ſpeculi ſphærici concaui, ita ut pun-
ctus a ſit in diametro l d, & pũctus b in diametro m n:
772[Figure 772]m t h l b f p a g d n ſintq́ue illa puncta inæ qualiter diſtantia à centro ſpe
culi, quod eſt g: & linea a b ducta ab uno illorũ pun-
ctorum ad alterum producta ſecet circulum: dico
quòd uerum eſt, quod proponitur. Fiat enim circu-
lus pertranſiens per centrum ſpeculi, quod eſt g, &
per illa duo puncta a & b per 5 p 4: circulus itaque il-
le a b g aut totus erit intra circulum ſpeculi: aut con-
tinget ipſum intrin ſecus: aut ſecabit ipſum. Sitotus
circulus a b g fuerit intra ſpeculi circulum, palàm per
6 huius quòd unum illorum punctorum reflectetur
ad alterum ab aliquo puncto ſpeculi & propoſiti cir-
culi, ut patet per 2 huius, & per 20 th. 5 huius. Sit ergo
punctus reflexionis t: palamq́; per 20 huius quòd pũ
ctus t eſt in arcu interiacente diametros, in quibus
funt puncta a & b: qui ſit arcus l m: & ducantur lineæ
at, bt, gt: erit quoque angulus a t b minor angulo b
g d. Sit enim, ut ſemidiameter g t ſecet circulum a b g
in puncto ſ: & ducantur lineæ a f & b f: fientq́ue duo trigona a t b & a f b ſuper unam baſim, quæ eſt
a b: palàm ergo per 21 p 1 quoniam angulus a f b eſt maior angulo a t b: ſed per 22 p 3 angulus a f b cũ
773[Figure 773]m t h l b a g d n angulo a g b ualet duos rectos: ergo per 13 p 1 angu-
lus a f b eſt ęqualis angulo b g d: angulusergo a t b eſt
minor angulo b g d. Quilibet quoq; angulus ſic fa-
ctus ſuper arcum l m, ut ſuper punctũ h, erit minor
angulo b g d. Ab arcu itaq; ſpeculi, qui eſt l m, nõ fiet
reflexio niſi ab uno tantũ pũcto ſpeculi: quoniã iam
oſtenſum eſt per 34 huius, quia non eſt in huiuſmodi
pũctorũ reflexorũ diſpoſitione poſsibile reflexionẽ
fieri à duobus punctis ſpeculi, ita ut uterq; angulorũ
conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis, ſit mi-
nor angulo b g d. In hac ergo diſpoſitione ab uno tã-
tùm puncto ſpeculi fiet reflexio: quod eſt unũ pro-
poſitorũ. Siuerò circulus a b g ſit intrinſecus contin
gens circulũ ſpeculi: ſit punctũ contactus h: & ducã
tur lineę a h, b h, g h. Quia itaq; angulus a h b ք 22 p 3
cum angulo a g b ualet duos rectos: patet per 13 p 1
quòd angulus a h b eſt æqualis angulo b g d. Quare
ab illo puncto contactus non fiet reflexio per 33 hu-
ius. Angulus quoque factus ſuper quodcun que aliud punctum arcus circuli ſpeculi, erit minor illo
ctus a ſit in diametro l d, & pũctus b in diametro m n:
772[Figure 772]m t h l b f p a g d n ſintq́ue illa puncta inæ qualiter diſtantia à centro ſpe
culi, quod eſt g: & linea a b ducta ab uno illorũ pun-
ctorum ad alterum producta ſecet circulum: dico
quòd uerum eſt, quod proponitur. Fiat enim circu-
lus pertranſiens per centrum ſpeculi, quod eſt g, &
per illa duo puncta a & b per 5 p 4: circulus itaque il-
le a b g aut totus erit intra circulum ſpeculi: aut con-
tinget ipſum intrin ſecus: aut ſecabit ipſum. Sitotus
circulus a b g fuerit intra ſpeculi circulum, palàm per
6 huius quòd unum illorum punctorum reflectetur
ad alterum ab aliquo puncto ſpeculi & propoſiti cir-
culi, ut patet per 2 huius, & per 20 th. 5 huius. Sit ergo
punctus reflexionis t: palamq́; per 20 huius quòd pũ
ctus t eſt in arcu interiacente diametros, in quibus
funt puncta a & b: qui ſit arcus l m: & ducantur lineæ
at, bt, gt: erit quoque angulus a t b minor angulo b
g d. Sit enim, ut ſemidiameter g t ſecet circulum a b g
in puncto ſ: & ducantur lineæ a f & b f: fientq́ue duo trigona a t b & a f b ſuper unam baſim, quæ eſt
a b: palàm ergo per 21 p 1 quoniam angulus a f b eſt maior angulo a t b: ſed per 22 p 3 angulus a f b cũ
773[Figure 773]m t h l b a g d n angulo a g b ualet duos rectos: ergo per 13 p 1 angu-
lus a f b eſt ęqualis angulo b g d: angulusergo a t b eſt
minor angulo b g d. Quilibet quoq; angulus ſic fa-
ctus ſuper arcum l m, ut ſuper punctũ h, erit minor
angulo b g d. Ab arcu itaq; ſpeculi, qui eſt l m, nõ fiet
reflexio niſi ab uno tantũ pũcto ſpeculi: quoniã iam
oſtenſum eſt per 34 huius, quia non eſt in huiuſmodi
pũctorũ reflexorũ diſpoſitione poſsibile reflexionẽ
fieri à duobus punctis ſpeculi, ita ut uterq; angulorũ
conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis, ſit mi-
nor angulo b g d. In hac ergo diſpoſitione ab uno tã-
tùm puncto ſpeculi fiet reflexio: quod eſt unũ pro-
poſitorũ. Siuerò circulus a b g ſit intrinſecus contin
gens circulũ ſpeculi: ſit punctũ contactus h: & ducã
tur lineę a h, b h, g h. Quia itaq; angulus a h b ք 22 p 3
cum angulo a g b ualet duos rectos: patet per 13 p 1
quòd angulus a h b eſt æqualis angulo b g d. Quare
ab illo puncto contactus non fiet reflexio per 33 hu-
ius. Angulus quoque factus ſuper quodcun que aliud punctum arcus circuli ſpeculi, erit minor illo
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib