645343LIBER OCTAVVS.
angulo per modum, quoiam ſuperius præoſtenſum eſt.
Quare à duobus punctis illius arcus non
fiet reflexio per 34 huius, ſed ſolùm ab uno puncto. Si uerò circulus a b g ſecet circulum ſpeculi: pa-
tet quòd tantùm in duobus punctis ſecare neceſſe eſt per 10 p 3: & illa duo puncta a & b aut ambo
erunt extra circulum ſpeculi: aut ambo intra: aut unum extra circulum, aliud intra illum: aut unum
illorum punctorum in circumferentia circuli, & aliud extra illum uel intra illum. Si fuerint ambo
774[Figure 774]a b l m l t a b m g n d n d extra circulum ſpeculi: tunc patet quòd linea a b non ſecabit circulũ
ſpeculi: fietq́ reflexio ab uno tantũ ſpeculi puncto, ut patet per præ-
cedentem. Tunc enim manifeſtè patet, quòd circulus a b g non ſeca-
bit circulum ſpeculi ſecundum arcum l m: quoniam ille arcus inter-
iacet lineas a g & b g, & arcus b g a cadit extra illas lineas in alia pun
cta peripheriæ circuli ipſius ſpeculi, cum ambo puncta a & b ſunt
extra circulum ſpeculi. Si uerò punctus b ſit in peripheria circuli ſpe
culi uel intra, puncto a conſtituto extra: patet tunc quòd arcus l m in
duobus punctis non ſecabitur, ſed arcus b g tranſibit punctum ali
quod arcus l m, quod ſit t: ergo angulus factus ſuper arcũ l m erit ma
ior angulo b g d: quoniam ductis lineis l t, b t & a t, patet ſecundum
præmiſſa per 22 p 3 quoniam angulus l t b eſt æqualis angulo b g d:
angulus uerò a t b eſt maior illo. Patet ergo per 24 huius quoniam in
hac diſpoſitione ab unico puncto, uel à duobus pũctis arcus l m fiet
formarum illorum punctorum adinuicem reflexio. Si uerò duo pun
cta a & b fuerint intra circulum ſpeculi, & circulus a b g ſecet circulũ
ſpeculi: tunc patet quòd circulus a b g ſecabit arcum l m in duobus
punctis: quoniam duæ ſemidiametri circuli maioris, quæ ſunt g l & g m, ſecant circulũ a b g in pun-
775[Figure 775]g e t h h o l m l a g n d ctis a & b, & tranſeuntes reſecant ex circulo ſpeculi arcum l m: ſecet
ergo circulus a b g arcum l m in duobus punctis, quę ſint t & h: & re-
ſtabũt ex ipſo arcu l m duo arcus in diuerſis partibus ipſius, qui ſunt
arcus l t & h m: omnisq́; angulus conſtitutus ſuper arcũ circuli ſpe-
culi, qui eſt th, erit maior angulo b d: quod patet, ſi ſuper peripheriã
ſpeculi fiat angulus a e b: ille enim eſt maior angulo b g d. Produ-
cta enim linea b e ad peripheriam circuli a b g in punctum f, ſi co-
puletur linea a f, erit per 22 p 3 & per 13 p 1 angulus a f b æqualis an
gulo b g d: ſed per 21 uel per 16 p 1 angulus a e b eſt maior angulo
a f b: ergo & angulo b g d. Et ſimiliter erit de quolibet alio puncto
arcus t e h demonſtrandum. Ab hoc itaque arcu t e h, ut patet per
34 huius, poterit fieri reflexio, forſan a b uno tantùm puncto, & for-
ſan à duobus. Quòd ſi fiat reflexio à duobus arcubus l t & h m, qui
reſtant ſuper arcum t e h exarcu l m & ex diuerſis partibus ipſius
circuli a b g: tunc ſecundum præmiſſa omnes anguli ſuper illos ar-
cus conſiſtentes contenti ſub lineis à punctis a & b productis, e
runt minores angulo b g d. Fiat enim angulus b k a ſuper punctum
arcus l t. Et quoniã arcus at circuli a b g eſt intra circulũ ſpeculi ſub
arcult, ſecet linea b karcũ a t in puncto o: & ducatur linea a o: patet
ergo per 22 p 3 & per 13 p 1 quòd angulus a o b eſt æqualis angulo b g d: ſed angulus a o b eſt maior
angulo a k b per 16 p 1: patet ergo quòd angulus a k b eſt minor angulo b g d. Et ſimiliter de quo-
libet puncto arcuum l t & h m eſt demonſtrandum. Ergo per 34 huius ab uno tantùm illorum ar-
cuum puncto fiet reflexio. In hoc itaque ſitu fiet reflexio à duobus punctis arcus l m interiacentis
776[Figure 776]f e b m a f l d g n diametros, aut forſan à tribus: palàm uerò per 27 & 29 huius quòd
ab uno tantùm puncto arcus n d fiet reflexio: & ita in hoc ſitu ali-
quando à tribus punctis ſpeculi, aliquando uerò à quatuor pun-
ctis fiet reflexio. Si uerò unus punctorum a uel b fuerit in peri-
pheria circuli, alius uerò intra circulum, & circulus a b g ſecet
circulum ſpeculi: tunc ſecabit arcum l m in uno tantùm pun-
cto, qui ſit t: quoniam in loco alterius punctorum l uel m erit
punctum a uel b: exiſtens enim in altera diametrorum n m uel
l d, & in ipſa circuli peripheria, erit in puncto, quod eſt commu
nis ſectio illarum: & ſic puncto b exiſtente in puncto m, & pun-
cto a intra ſpeculum: reſtabιt unicus tantùm arcus totius arcus l m:
qui ſitlt. Patet itaque ſecundum præmiſſa ductis, ut prius, lineis
a f & b f ſuper arcum circuli a b g, & lineis a e & b e ſuper ali-
quod punctum arcus l m, quod ſit e: quoniam per 21 p 1 omnes
anguli conſiſtentes ſuper arcum t b ſunt maiores angulo b g d: er-
go per 34 huius poteſt fieri reflexio à duobus punctis illius ar-
cus, uel ab uno. Omnes uerò anguli arcus l t erunt minores
angulo b g d, ut præoſtenſum eſt prius: & ita per 34 huius ab uno tantùm puncto arcus l t
fiet reflexio per 34 huius, ſed ſolùm ab uno puncto. Si uerò circulus a b g ſecet circulum ſpeculi: pa-
tet quòd tantùm in duobus punctis ſecare neceſſe eſt per 10 p 3: & illa duo puncta a & b aut ambo
erunt extra circulum ſpeculi: aut ambo intra: aut unum extra circulum, aliud intra illum: aut unum
illorum punctorum in circumferentia circuli, & aliud extra illum uel intra illum. Si fuerint ambo
774[Figure 774]a b l m l t a b m g n d n d extra circulum ſpeculi: tunc patet quòd linea a b non ſecabit circulũ
ſpeculi: fietq́ reflexio ab uno tantũ ſpeculi puncto, ut patet per præ-
cedentem. Tunc enim manifeſtè patet, quòd circulus a b g non ſeca-
bit circulum ſpeculi ſecundum arcum l m: quoniam ille arcus inter-
iacet lineas a g & b g, & arcus b g a cadit extra illas lineas in alia pun
cta peripheriæ circuli ipſius ſpeculi, cum ambo puncta a & b ſunt
extra circulum ſpeculi. Si uerò punctus b ſit in peripheria circuli ſpe
culi uel intra, puncto a conſtituto extra: patet tunc quòd arcus l m in
duobus punctis non ſecabitur, ſed arcus b g tranſibit punctum ali
quod arcus l m, quod ſit t: ergo angulus factus ſuper arcũ l m erit ma
ior angulo b g d: quoniam ductis lineis l t, b t & a t, patet ſecundum
præmiſſa per 22 p 3 quoniam angulus l t b eſt æqualis angulo b g d:
angulus uerò a t b eſt maior illo. Patet ergo per 24 huius quoniam in
hac diſpoſitione ab unico puncto, uel à duobus pũctis arcus l m fiet
formarum illorum punctorum adinuicem reflexio. Si uerò duo pun
cta a & b fuerint intra circulum ſpeculi, & circulus a b g ſecet circulũ
ſpeculi: tunc patet quòd circulus a b g ſecabit arcum l m in duobus
punctis: quoniam duæ ſemidiametri circuli maioris, quæ ſunt g l & g m, ſecant circulũ a b g in pun-
775[Figure 775]g e t h h o l m l a g n d ctis a & b, & tranſeuntes reſecant ex circulo ſpeculi arcum l m: ſecet
ergo circulus a b g arcum l m in duobus punctis, quę ſint t & h: & re-
ſtabũt ex ipſo arcu l m duo arcus in diuerſis partibus ipſius, qui ſunt
arcus l t & h m: omnisq́; angulus conſtitutus ſuper arcũ circuli ſpe-
culi, qui eſt th, erit maior angulo b d: quod patet, ſi ſuper peripheriã
ſpeculi fiat angulus a e b: ille enim eſt maior angulo b g d. Produ-
cta enim linea b e ad peripheriam circuli a b g in punctum f, ſi co-
puletur linea a f, erit per 22 p 3 & per 13 p 1 angulus a f b æqualis an
gulo b g d: ſed per 21 uel per 16 p 1 angulus a e b eſt maior angulo
a f b: ergo & angulo b g d. Et ſimiliter erit de quolibet alio puncto
arcus t e h demonſtrandum. Ab hoc itaque arcu t e h, ut patet per
34 huius, poterit fieri reflexio, forſan a b uno tantùm puncto, & for-
ſan à duobus. Quòd ſi fiat reflexio à duobus arcubus l t & h m, qui
reſtant ſuper arcum t e h exarcu l m & ex diuerſis partibus ipſius
circuli a b g: tunc ſecundum præmiſſa omnes anguli ſuper illos ar-
cus conſiſtentes contenti ſub lineis à punctis a & b productis, e
runt minores angulo b g d. Fiat enim angulus b k a ſuper punctum
arcus l t. Et quoniã arcus at circuli a b g eſt intra circulũ ſpeculi ſub
arcult, ſecet linea b karcũ a t in puncto o: & ducatur linea a o: patet
ergo per 22 p 3 & per 13 p 1 quòd angulus a o b eſt æqualis angulo b g d: ſed angulus a o b eſt maior
angulo a k b per 16 p 1: patet ergo quòd angulus a k b eſt minor angulo b g d. Et ſimiliter de quo-
libet puncto arcuum l t & h m eſt demonſtrandum. Ergo per 34 huius ab uno tantùm illorum ar-
cuum puncto fiet reflexio. In hoc itaque ſitu fiet reflexio à duobus punctis arcus l m interiacentis
776[Figure 776]f e b m a f l d g n diametros, aut forſan à tribus: palàm uerò per 27 & 29 huius quòd
ab uno tantùm puncto arcus n d fiet reflexio: & ita in hoc ſitu ali-
quando à tribus punctis ſpeculi, aliquando uerò à quatuor pun-
ctis fiet reflexio. Si uerò unus punctorum a uel b fuerit in peri-
pheria circuli, alius uerò intra circulum, & circulus a b g ſecet
circulum ſpeculi: tunc ſecabit arcum l m in uno tantùm pun-
cto, qui ſit t: quoniam in loco alterius punctorum l uel m erit
punctum a uel b: exiſtens enim in altera diametrorum n m uel
l d, & in ipſa circuli peripheria, erit in puncto, quod eſt commu
nis ſectio illarum: & ſic puncto b exiſtente in puncto m, & pun-
cto a intra ſpeculum: reſtabιt unicus tantùm arcus totius arcus l m:
qui ſitlt. Patet itaque ſecundum præmiſſa ductis, ut prius, lineis
a f & b f ſuper arcum circuli a b g, & lineis a e & b e ſuper ali-
quod punctum arcus l m, quod ſit e: quoniam per 21 p 1 omnes
anguli conſiſtentes ſuper arcum t b ſunt maiores angulo b g d: er-
go per 34 huius poteſt fieri reflexio à duobus punctis illius ar-
cus, uel ab uno. Omnes uerò anguli arcus l t erunt minores
angulo b g d, ut præoſtenſum eſt prius: & ita per 34 huius ab uno tantùm puncto arcus l t
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib