Démonstration.
Par le corollaire précédent, on peut décompoſer les deux
11Figure 355. forces A C, A B, chacune en deux autres qui ſoient les côtés
du quarré, dont ces mêmes lignes ſont les diagonales: de
plus, il eſt évident que la ligne A E qui diviſe l’angle droit
en deux angles égaux, doit réunir deux de ces quatre forces
dans leſquelles nous décompoſons les premieres compoſantes
A B & A C; mais il eſt aiſé de voir que le corps ne peut pas
ſuivre la ligne A E: car pour cela il faudroit que les forces
A H, A I, directement oppoſées, fuſſent égales, ce qui eſt
impoſſible, puiſque les lignes ou les forces qu’elles repréſentent
ſont dans la raiſon des lignes ou forces A C, A B, qui ſont iné-
gales (par hypotheſe): donc tandis que le corps ſera pouſſé
par la ſomme des forces A F, A G, dirigées ſur la même ligne,
il y aura encore une force repréſentée par A K, différence des
forces directement oppoſées A H, A I. Pour déterminer toutes
ces forces, nous nommerons A B, a; A C, b; on aura A F ou
A H = √{1/2} b2\x{0020}, & de même A I ou A G = √{1/2} aa\x{0020}: donc A E
ou A F + A G = √{1/2} a2\x{0020} + √{1/2} b2\x{0020}; & A K ou A I - A H
= √{1/2} a2\x{0020} - √{1/2} b2\x{0020}. Préſentement voyons ſi cette force A K,
appliquée perpendiculairement en E, eſt capable de ramener
le corps à l’extrêmité D de la diagonale A D; ſi cela eſt, il
faut que l’angle A E D étant rectangle, on ait A D2 = A K2
+ (A F + A G)2. J’éleve donc D E ou A K au quarré, & j’ai
{1/2} a2 - 2 √{1/4} a2 b2\x{0020} + {1/2} b2 pour le quarré de √{1/2} a2\x{0020} - √{1/2} b2\x{0020}.
J’éleve de même A E ou A F + A G = √{1/2} a2\x{0020} + √{1/2} b2\x{0020} au
quarré, & j’ai {1/2} a2 + 2 √{1/4} a2 b2\x{0020} + {1/2} b2: ajoutant les deux quarrés
enſemble, la ſomme eſt a2 + b2; d’où il ſuit que pendant que
les efforts conjoints A F, A G font décrire au mobile la ligne
A E égale à leur ſomme, la force A K ou D E, ramene le corps
à l’extrêmité de la diagonale: Donc dans ce cas des forces
inégales dirigées ſuivant les côtés du parallélogramme rectan-
gle & repréſentées par ces côtés, le corps décrit encore la dia-
gonale. C. Q. F. D.
11Figure 355. forces A C, A B, chacune en deux autres qui ſoient les côtés
du quarré, dont ces mêmes lignes ſont les diagonales: de
plus, il eſt évident que la ligne A E qui diviſe l’angle droit
en deux angles égaux, doit réunir deux de ces quatre forces
dans leſquelles nous décompoſons les premieres compoſantes
A B & A C; mais il eſt aiſé de voir que le corps ne peut pas
ſuivre la ligne A E: car pour cela il faudroit que les forces
A H, A I, directement oppoſées, fuſſent égales, ce qui eſt
impoſſible, puiſque les lignes ou les forces qu’elles repréſentent
ſont dans la raiſon des lignes ou forces A C, A B, qui ſont iné-
gales (par hypotheſe): donc tandis que le corps ſera pouſſé
par la ſomme des forces A F, A G, dirigées ſur la même ligne,
il y aura encore une force repréſentée par A K, différence des
forces directement oppoſées A H, A I. Pour déterminer toutes
ces forces, nous nommerons A B, a; A C, b; on aura A F ou
A H = √{1/2} b2\x{0020}, & de même A I ou A G = √{1/2} aa\x{0020}: donc A E
ou A F + A G = √{1/2} a2\x{0020} + √{1/2} b2\x{0020}; & A K ou A I - A H
= √{1/2} a2\x{0020} - √{1/2} b2\x{0020}. Préſentement voyons ſi cette force A K,
appliquée perpendiculairement en E, eſt capable de ramener
le corps à l’extrêmité D de la diagonale A D; ſi cela eſt, il
faut que l’angle A E D étant rectangle, on ait A D2 = A K2
+ (A F + A G)2. J’éleve donc D E ou A K au quarré, & j’ai
{1/2} a2 - 2 √{1/4} a2 b2\x{0020} + {1/2} b2 pour le quarré de √{1/2} a2\x{0020} - √{1/2} b2\x{0020}.
J’éleve de même A E ou A F + A G = √{1/2} a2\x{0020} + √{1/2} b2\x{0020} au
quarré, & j’ai {1/2} a2 + 2 √{1/4} a2 b2\x{0020} + {1/2} b2: ajoutant les deux quarrés
enſemble, la ſomme eſt a2 + b2; d’où il ſuit que pendant que
les efforts conjoints A F, A G font décrire au mobile la ligne
A E égale à leur ſomme, la force A K ou D E, ramene le corps
à l’extrêmité de la diagonale: Donc dans ce cas des forces
inégales dirigées ſuivant les côtés du parallélogramme rectan-
gle & repréſentées par ces côtés, le corps décrit encore la dia-
gonale. C. Q. F. D.