648346VITELLONIS OPTICAE
plicitatis relatę and angulũ e d g.
Hoc autem poteſt fieri, ſi angulus rectus, qui eſt a d g, diuidatur per
æqualia, & item eius medietas per æqualia, & ſic deinceps quouſq; fiat angulus a d e multiplex an-
guli e d g: ut ſi angulus a d e ſit ſeptuplus angulo e d g, erit rectus a d g ſeſquiſeptuplus angulo a d e:
& diuidatur angulus a d e in duo æqualia per lineam d b per 9 p 1. A puncto quoq; d centro ſpecu-
li extrahatur linea continens cum linea b d angulum rectum per 23 p 1, qui ſit angulus b d x: & extra
hatur linea a d ultra punctum d ad peripheriam, ut compleat diametrum: & ſit linea d k: & à puncto
d ducatur linea d z continens cum linea a d angulum æqualem angulo e d g, qui ſit angulus a d z: &
à puncto z ducatur linea ſuper lineam d z conſtituens angulum æqualem angulo k d x: qui ſit h z d
ducta linea z h ad diametrum h d k: hoc autem eſt poſsibile. Quia enim anguli k d x & a d z ſunt mi-
nores duobus rectis: erũt quoq; anguli a d z & h z d ęquales k d x, minores duobus rectis: ergo con
currẽt illæ lineæ, quæ ſunt a d & z h per 14 th. 1 hu-
779[Figure 779]q n p e f o g x u m l b c r z k d h aius: ſit concurſus punctus h. Et quia anguli trian-
guli ualent duos rectos per 32 p 1, & anguli a d z &
z d x & x d k ualent duos rectos per 13 p 1: angulus
uerò h z d eſt æqualis angulo x d k, & angulus
a d z communis: relinquitur angulus z h d ęqua-
lis angulo z d x. Et extrahatur à puncto z linea zl,
per 23 p 1 continens cum linea z h angulum ęqua-
lem angulo b d k obtuſo, qui ſit angulus h z l. Duo
ergo anguli l z d & b d z ſunt minores duobus re-
ctis: deficiunt enim à duob. rectis in angulo z d a:
linea ergo z l per 14 th. 1 huius cõcurret cum linea
d b: ſit concurſus punctus l: & ducatur linea lh: &
triangulo h ld circumſcribatur circulus per 5 p 4,
qui ſit circulus d h l. Trãſibit ergo ille circulus per
punctum z per 22 p 3: quia duo anguli l z h & l d h
ſunt æquales duobus rectis: ſunt autem illi anguli
in quadrilatero d h z l: eſt ergo illud quadrilaterũ
in circulo. Anguli ergo l h z & l d z ſunt æquales ք
27 p 3, cadunt enim in arcum eundem circuli d h l,
qui eſt arcus z l: ſed, ut ſuprà oſtendimus, angulus
z h d eſt æqualis angulo z d x: æqualibus ergo an-
gulis, qui ſunt l h z & l d z hinc inde ablatis, rema-
net angulus l h d æqualis angulo l d x: ſed angulus
l d x eſt rectus: angulus ergo l h d eſt rectus. Ab-
ſcindatur quoq; ex linea d e linea d m æqualis li-
neæ d h: & ducatur linea l m. Angulus ergo l m d
eſt rectus. Quia enim angulus b d e eſt ęqualis an-
gulo b d h: quoniam angulus a d e diuiſus fuit per
æqualia per lineam d b: linea quoq; d m eſt æqua-
lis lineæ d h: ſed latus l d eſt commune ambobus
trigonis l h d & l m d: ergo per 4 p 1 linea h l eſt æ-
qualis lineæ l m: & angulus l m d eſt ęqualis angu-
lo l h d: ſed angulus l h d oſtenſus eſt rectus eſſe: er
go angulus l m d eſt rectus. Ergo per 22 p 3 circu-
lus l h d tran ſit per punctum m: & ſecat arcum b e circuli a b g in puncto compari puncto z: qui ſit
punctus f: eritq́; linea l d diameter circuli l h d per 31 p 3: & ducatur linea d f. Quia itaq; circuli l h d
arcus d m eſt ęqualis arcui d h per 28 p 3. quoniam lineæ d m & d h ſunt æquales: ſed & arcus d f eſt
æqualis arcui d z per 64 th. 1 huius: relin quitur ergo arcus m f æqualis arcui h z: & arcus l z ęqualis
arcui l f: ergo per 27 p 3 angulus l d ferit æqualis angulo l d z. Ducantur ergo lineæ h b, h f, z f, m f,
b m, b f. Et quia angulus l h d eſt rectus: patet quòd angulus b h d eſt a cutus: & angulus g d h eſt re
ctus: ergo per 14 th. 1 huius linea h b concurret cum linea d g extra circulũ a b g: concurrant ergo in
pũcto q. Similiter quoq; per 14 th. 1 huius linea h f concurret cum linea d g extra circulum: ſit con-
curſus punctus n: & producatur linea f b ultra punctum b, quouſq; ſecet arcũ l z: ſecet ergo ipſum
in puncto r: & ducatur linea r m. Angulus ergo f r m (qui eſt in circumferentia) reſpicit ar-
cum f m, & angulus f b m eſt maior angulo f r m per 16 p 1: eſt enim extrinſecus in triangulo r b m:
& angulus f b m eſt in circumferentia circuli a b g: ergo ſi linea b m protrahatur ex parte puncti m,
ab ſcindet de circulo a b g arcũ maiorẽ quodã arcui, ſimili arcu f m circuli l h d ք 33 p 6: ſed arcus f m
in ſuo circulo l h d eſt ſimilis duplo arcus f e in circulo a b g: quoniã duplũ arcus f e correſpõdet du-
plo anguli f d e ſuper peripheriã ſui circuli conſtituti per 33 p 6, & per 20 p 3: eſt aũt arcus fe æqualis
arcui e g per 26 p 3: ideo quò d angulus e d g eſt æqualis angulo f d e: cũ uterq; ipſorũ ſit æqualis an-
gulo a d z, ut patet ex pręmiſsis: arcus ergo g f eſt duplus arcui f e: eſt ergo arcus f g in circulo a b g
ſimilis arcui f m in circulo l h d. Si ergo linea b m extrahatur rectè in partem m, abſcindet de circulo
a b g arcum ultra punctum g maiorem arcu f g. Si enim caderet in punctum g, fieret angulus f b g
æqualia, & item eius medietas per æqualia, & ſic deinceps quouſq; fiat angulus a d e multiplex an-
guli e d g: ut ſi angulus a d e ſit ſeptuplus angulo e d g, erit rectus a d g ſeſquiſeptuplus angulo a d e:
& diuidatur angulus a d e in duo æqualia per lineam d b per 9 p 1. A puncto quoq; d centro ſpecu-
li extrahatur linea continens cum linea b d angulum rectum per 23 p 1, qui ſit angulus b d x: & extra
hatur linea a d ultra punctum d ad peripheriam, ut compleat diametrum: & ſit linea d k: & à puncto
d ducatur linea d z continens cum linea a d angulum æqualem angulo e d g, qui ſit angulus a d z: &
à puncto z ducatur linea ſuper lineam d z conſtituens angulum æqualem angulo k d x: qui ſit h z d
ducta linea z h ad diametrum h d k: hoc autem eſt poſsibile. Quia enim anguli k d x & a d z ſunt mi-
nores duobus rectis: erũt quoq; anguli a d z & h z d ęquales k d x, minores duobus rectis: ergo con
currẽt illæ lineæ, quæ ſunt a d & z h per 14 th. 1 hu-
779[Figure 779]q n p e f o g x u m l b c r z k d h aius: ſit concurſus punctus h. Et quia anguli trian-
guli ualent duos rectos per 32 p 1, & anguli a d z &
z d x & x d k ualent duos rectos per 13 p 1: angulus
uerò h z d eſt æqualis angulo x d k, & angulus
a d z communis: relinquitur angulus z h d ęqua-
lis angulo z d x. Et extrahatur à puncto z linea zl,
per 23 p 1 continens cum linea z h angulum ęqua-
lem angulo b d k obtuſo, qui ſit angulus h z l. Duo
ergo anguli l z d & b d z ſunt minores duobus re-
ctis: deficiunt enim à duob. rectis in angulo z d a:
linea ergo z l per 14 th. 1 huius cõcurret cum linea
d b: ſit concurſus punctus l: & ducatur linea lh: &
triangulo h ld circumſcribatur circulus per 5 p 4,
qui ſit circulus d h l. Trãſibit ergo ille circulus per
punctum z per 22 p 3: quia duo anguli l z h & l d h
ſunt æquales duobus rectis: ſunt autem illi anguli
in quadrilatero d h z l: eſt ergo illud quadrilaterũ
in circulo. Anguli ergo l h z & l d z ſunt æquales ք
27 p 3, cadunt enim in arcum eundem circuli d h l,
qui eſt arcus z l: ſed, ut ſuprà oſtendimus, angulus
z h d eſt æqualis angulo z d x: æqualibus ergo an-
gulis, qui ſunt l h z & l d z hinc inde ablatis, rema-
net angulus l h d æqualis angulo l d x: ſed angulus
l d x eſt rectus: angulus ergo l h d eſt rectus. Ab-
ſcindatur quoq; ex linea d e linea d m æqualis li-
neæ d h: & ducatur linea l m. Angulus ergo l m d
eſt rectus. Quia enim angulus b d e eſt ęqualis an-
gulo b d h: quoniam angulus a d e diuiſus fuit per
æqualia per lineam d b: linea quoq; d m eſt æqua-
lis lineæ d h: ſed latus l d eſt commune ambobus
trigonis l h d & l m d: ergo per 4 p 1 linea h l eſt æ-
qualis lineæ l m: & angulus l m d eſt ęqualis angu-
lo l h d: ſed angulus l h d oſtenſus eſt rectus eſſe: er
go angulus l m d eſt rectus. Ergo per 22 p 3 circu-
lus l h d tran ſit per punctum m: & ſecat arcum b e circuli a b g in puncto compari puncto z: qui ſit
punctus f: eritq́; linea l d diameter circuli l h d per 31 p 3: & ducatur linea d f. Quia itaq; circuli l h d
arcus d m eſt ęqualis arcui d h per 28 p 3. quoniam lineæ d m & d h ſunt æquales: ſed & arcus d f eſt
æqualis arcui d z per 64 th. 1 huius: relin quitur ergo arcus m f æqualis arcui h z: & arcus l z ęqualis
arcui l f: ergo per 27 p 3 angulus l d ferit æqualis angulo l d z. Ducantur ergo lineæ h b, h f, z f, m f,
b m, b f. Et quia angulus l h d eſt rectus: patet quòd angulus b h d eſt a cutus: & angulus g d h eſt re
ctus: ergo per 14 th. 1 huius linea h b concurret cum linea d g extra circulũ a b g: concurrant ergo in
pũcto q. Similiter quoq; per 14 th. 1 huius linea h f concurret cum linea d g extra circulum: ſit con-
curſus punctus n: & producatur linea f b ultra punctum b, quouſq; ſecet arcũ l z: ſecet ergo ipſum
in puncto r: & ducatur linea r m. Angulus ergo f r m (qui eſt in circumferentia) reſpicit ar-
cum f m, & angulus f b m eſt maior angulo f r m per 16 p 1: eſt enim extrinſecus in triangulo r b m:
& angulus f b m eſt in circumferentia circuli a b g: ergo ſi linea b m protrahatur ex parte puncti m,
ab ſcindet de circulo a b g arcũ maiorẽ quodã arcui, ſimili arcu f m circuli l h d ք 33 p 6: ſed arcus f m
in ſuo circulo l h d eſt ſimilis duplo arcus f e in circulo a b g: quoniã duplũ arcus f e correſpõdet du-
plo anguli f d e ſuper peripheriã ſui circuli conſtituti per 33 p 6, & per 20 p 3: eſt aũt arcus fe æqualis
arcui e g per 26 p 3: ideo quò d angulus e d g eſt æqualis angulo f d e: cũ uterq; ipſorũ ſit æqualis an-
gulo a d z, ut patet ex pręmiſsis: arcus ergo g f eſt duplus arcui f e: eſt ergo arcus f g in circulo a b g
ſimilis arcui f m in circulo l h d. Si ergo linea b m extrahatur rectè in partem m, abſcindet de circulo
a b g arcum ultra punctum g maiorem arcu f g. Si enim caderet in punctum g, fieret angulus f b g