649347LIBER OCTAVVS.
æqualis angulo f r g, extrinſecus intrinſeco:
quod eſt impoſsibile.
Linea ergo b m non cadetin pun
ctum g, ſed ſecabit lineam d g inter duo puncta g & d: ſecet ergo in puncto o. Producatur quoq; li-
nea f m ultra punctum m: hæc ergo, quia ſecat angulum d m o, patet per 29 th. 1 huius quia ſecabit li
neam d o: ſecet illã in pũcto u: & producatur linea m b ultra punctũ b: ſecabitq́ arcũ l r: ſecet ipſum
in puncto c: & ducatur linea c d à puncto c ad centrũ ſpeculi. Quia ergo angulus b f z eſt in circum-
ferentia circuli a b g, erit angulus b f z medietas anguli b d z ք zo p 3: ſed angulus b d z eſt multiplus
anguli z d a: ergo angulus b f z multiplus angulo z d h: ergo & angulus r f z eſt multiplus eidẽ: ergo
per 33 p 6 arcus r z eſt multiplus arcui z h: arcus uerò c z eſt maior arcu r z, ut totũ ſua parte: ergo ar-
cus c z eſt multiplus arcus z h, uel maior multiplo. Ducatur itaq; linea c h: angulus ergo c h d & an-
gulus c m d ſunt æquales duobus rectis per 22 p 3: ſed angulus b m d cũ angulo b m e ualet duos re-
ctos per 13 p 1: relin quitur ergo ut angulus c h d ſit æqualis angulo b m e: ſed angulus z h d addit ſu-
per angulum c h d angulũ c h z, qui eſt per 27 p 3 æqualis angulo c d z: & angulus c d z eſt multiplus
anguli z d a per 33 p 6: quoniã, ut ſuprà patuit, arcus c z eſt multiplus arcui z h: ergo angulus c h z eſt
multiplus anguli e d g: angulus ergo d h z excedit angulum c h d in multiplo anguli e d g. Et quia ar
cus f m d eſt æqualis arcuι z h d per 64 th. 1 huius, remanet arcus f z d æqualis arcui z f d: ergo erit
per 27 p 3 angulus f m d æqualis angulo z h d: ſed angulus c h d eſt æqualis b m e: ergo angulus f m d
excedit angulum b m e in multiplo anguli e g d: ſed angulus o m d eſt æqualis angulo b m e per 15
p 1: ergo angulus f m d excedit angulum o m d in multiplo anguli e d g. Et quia angulus g o m ualet
angulum o m d, & angulũ o d m per 32 p 1: palàm quia angulus f m d excedit angulum m o g in mul-
tiplo anguli e d g: ſed angulus f m d per 32 p 1 excedit angulum m u d in ſolo angulo e d g: eſt ergo
angulus m u d maior angulo m o g: ergo angulus m o u eſt maior angulo m u o per 13 p 1 bιs ſumptá:
ergo per 19 p 1 linea m u eſt maior quàm linea m o. Et quia arcus h d eſt æqualis arcuι m d per præ-
miſſa, erũt duo anguli h f d & m f d æquales per 27 p 3. Formæ ergo punctorum duarum linearum h
f & f u ad ſeinuicem reflectuntur: & ſimiliter formæ punctorum linearum h b & b o ad ſe inuicẽ re-
flectuntur: quoniã per præmiſſa angulus d b h eſt æqualis angulo d b m per 4 p 1 & per hypotheſes
præmiſſas. Duo ergo puncta, quæ ſunt o & u ad uiſum exiſtentem in puncto h reflectũtur à duobus
punctis ſpeculi, quæ ſunt b & f. Eſt ergo per 37 th. 5 huius punctus q imago puncti o, & punctus n
imago puncti u. Ducatur ergo expũcto m linea æquidiſtans lineæ h q per 31 p 1: quæ ſit linea m s: &
linea ęquidiſtans lineę h n, quę ſit m p. Quia ergo angulus h n d eſt maior angulo h q d per 16 p 1, erit
angulus m p o, qui per 29 p 1 eſt æqualis angulo h n d, maior angulo m s o, qui per 29 p 1 eſt æqualis
h q d: erit ergo punctum p inter duo puncta s & u per conuerſam 21 p 1. Et quia angulus h d n eſt re-
ctus: erit per 32 p 1 angulus h n d acutus: ergo angulus m p d eſt acutus: angulus ergo m p s eſt obtu-
ſus per 13 p 1: ergo linea m s eſt maior quàm linea m p per 19 p 1. Sed ex pręmiſsis linea m u eſt maior
quàm linea m o: ergo per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineæ m s ad lineam m o quàm lineæ m p
ad lineam m u: ſed proportio lineæ s m ad lineam m o eſt, ſicut proportio lineæ q b ad b o per 4 p 6:
trigoni enim q b o & s m o ſunt æquianguli per 29 p 1: cum lineam s ſit æquidiſtans lineæ q b, & an-
gulus q o b ſit communis illis ambobus trigonis. Et ſimiliter proportio lineæ p m ad lineã m u eſt,
ſicut proportio lineæ n f ad lineam f u: per eadem ergo, quæ prius, & per 11 p 5 erit proportio lineæ
q b ad lineam b o maior proportione lineæ n f ad lineam f u: ſed proportio lineæ q b ad lineam b o
eſt, ſicut lineæ q d ad lineam d o: & proportio lineæ n f ad f u eſt, ſicut lineæ n d ad d u per ea, quæ
ſunt oſtenſa in 13 huius, quorum declarationem, cum manifeſta ſit, hic omittimus propter figuratio
nis multitudinem. Palàm ergo quòd proportio lineę q d ad lineam d o eſt maior proportione lineę
n d ad lineam d u. Et hoc eſt propoſitum.
ctum g, ſed ſecabit lineam d g inter duo puncta g & d: ſecet ergo in puncto o. Producatur quoq; li-
nea f m ultra punctum m: hæc ergo, quia ſecat angulum d m o, patet per 29 th. 1 huius quia ſecabit li
neam d o: ſecet illã in pũcto u: & producatur linea m b ultra punctũ b: ſecabitq́ arcũ l r: ſecet ipſum
in puncto c: & ducatur linea c d à puncto c ad centrũ ſpeculi. Quia ergo angulus b f z eſt in circum-
ferentia circuli a b g, erit angulus b f z medietas anguli b d z ք zo p 3: ſed angulus b d z eſt multiplus
anguli z d a: ergo angulus b f z multiplus angulo z d h: ergo & angulus r f z eſt multiplus eidẽ: ergo
per 33 p 6 arcus r z eſt multiplus arcui z h: arcus uerò c z eſt maior arcu r z, ut totũ ſua parte: ergo ar-
cus c z eſt multiplus arcus z h, uel maior multiplo. Ducatur itaq; linea c h: angulus ergo c h d & an-
gulus c m d ſunt æquales duobus rectis per 22 p 3: ſed angulus b m d cũ angulo b m e ualet duos re-
ctos per 13 p 1: relin quitur ergo ut angulus c h d ſit æqualis angulo b m e: ſed angulus z h d addit ſu-
per angulum c h d angulũ c h z, qui eſt per 27 p 3 æqualis angulo c d z: & angulus c d z eſt multiplus
anguli z d a per 33 p 6: quoniã, ut ſuprà patuit, arcus c z eſt multiplus arcui z h: ergo angulus c h z eſt
multiplus anguli e d g: angulus ergo d h z excedit angulum c h d in multiplo anguli e d g. Et quia ar
cus f m d eſt æqualis arcuι z h d per 64 th. 1 huius, remanet arcus f z d æqualis arcui z f d: ergo erit
per 27 p 3 angulus f m d æqualis angulo z h d: ſed angulus c h d eſt æqualis b m e: ergo angulus f m d
excedit angulum b m e in multiplo anguli e g d: ſed angulus o m d eſt æqualis angulo b m e per 15
p 1: ergo angulus f m d excedit angulum o m d in multiplo anguli e d g. Et quia angulus g o m ualet
angulum o m d, & angulũ o d m per 32 p 1: palàm quia angulus f m d excedit angulum m o g in mul-
tiplo anguli e d g: ſed angulus f m d per 32 p 1 excedit angulum m u d in ſolo angulo e d g: eſt ergo
angulus m u d maior angulo m o g: ergo angulus m o u eſt maior angulo m u o per 13 p 1 bιs ſumptá:
ergo per 19 p 1 linea m u eſt maior quàm linea m o. Et quia arcus h d eſt æqualis arcuι m d per præ-
miſſa, erũt duo anguli h f d & m f d æquales per 27 p 3. Formæ ergo punctorum duarum linearum h
f & f u ad ſeinuicem reflectuntur: & ſimiliter formæ punctorum linearum h b & b o ad ſe inuicẽ re-
flectuntur: quoniã per præmiſſa angulus d b h eſt æqualis angulo d b m per 4 p 1 & per hypotheſes
præmiſſas. Duo ergo puncta, quæ ſunt o & u ad uiſum exiſtentem in puncto h reflectũtur à duobus
punctis ſpeculi, quæ ſunt b & f. Eſt ergo per 37 th. 5 huius punctus q imago puncti o, & punctus n
imago puncti u. Ducatur ergo expũcto m linea æquidiſtans lineæ h q per 31 p 1: quæ ſit linea m s: &
linea ęquidiſtans lineę h n, quę ſit m p. Quia ergo angulus h n d eſt maior angulo h q d per 16 p 1, erit
angulus m p o, qui per 29 p 1 eſt æqualis angulo h n d, maior angulo m s o, qui per 29 p 1 eſt æqualis
h q d: erit ergo punctum p inter duo puncta s & u per conuerſam 21 p 1. Et quia angulus h d n eſt re-
ctus: erit per 32 p 1 angulus h n d acutus: ergo angulus m p d eſt acutus: angulus ergo m p s eſt obtu-
ſus per 13 p 1: ergo linea m s eſt maior quàm linea m p per 19 p 1. Sed ex pręmiſsis linea m u eſt maior
quàm linea m o: ergo per 9 th. 1 huius maior eſt proportio lineæ m s ad lineam m o quàm lineæ m p
ad lineam m u: ſed proportio lineæ s m ad lineam m o eſt, ſicut proportio lineæ q b ad b o per 4 p 6:
trigoni enim q b o & s m o ſunt æquianguli per 29 p 1: cum lineam s ſit æquidiſtans lineæ q b, & an-
gulus q o b ſit communis illis ambobus trigonis. Et ſimiliter proportio lineæ p m ad lineã m u eſt,
ſicut proportio lineæ n f ad lineam f u: per eadem ergo, quæ prius, & per 11 p 5 erit proportio lineæ
q b ad lineam b o maior proportione lineæ n f ad lineam f u: ſed proportio lineæ q b ad lineam b o
eſt, ſicut lineæ q d ad lineam d o: & proportio lineæ n f ad f u eſt, ſicut lineæ n d ad d u per ea, quæ
ſunt oſtenſa in 13 huius, quorum declarationem, cum manifeſta ſit, hic omittimus propter figuratio
nis multitudinem. Palàm ergo quòd proportio lineę q d ad lineam d o eſt maior proportione lineę
n d ad lineam d u. Et hoc eſt propoſitum.
44. In ſpeculis ſphæricis concauis imagine retro ſpecu-
lum occurrente: maior erit diſtantia imaginis à ſpeculo quàm
reiuiſæ.
780[Figure 780]n t l m s h s b k d e z alum occurrente: maior erit diſtantia imaginis à ſpeculo quàm
reiuiſæ.
Eſto ſpeculi ſphærici concaui circulus, qui a b g d:
cuius cẽtrum
ſit e: ſitq́; centrum uiſus z: & punctus rei uiſæ h: fiatq́; reflexio for
mæ puncti h ad uiſum z à puncto ſpeculi b, appareatq́; imago retro
ſpeculum: dico quòd maior erit diſtantia imaginis à ſpeculi ſuperfi
cie quàm ipſius rei uiſæ. Ducantur enim lineæ h b incidentię, & z b
reflexionis: & ducatur cathetus incidentiæ, quæ ſit e h g t: produ-
catur quoque linea reflexionis, quæ z b, donec lineæ e h & z b
concurrant in puncto t: erit ergo per 37 th. 5 huius punctum t lo-
cus imaginis. Dico quòd linea t b (quæ eſt diſtantia imaginis à
ſpeculo) eſt maior quàm linea b h, quæ eſt diſtantia rei uiſæ à pun-
cto reflexionis. Et ſimiliter linea h g eſt minor quàm linea g t. Du-
catur enim linea e b: & à puncto b ducatur linea contingens cir-
culum in puncto b per 17 p 3: quæ ſit l b k. Quia itaque anguli
cõtingentiæ, qui ſunt a b k & g b l, ſunt æquales per 16 p 3: & anguli
z b a & h b g æquales per 20 th. 5 huius: fit ergo angulus k b z æqualis angulo l b h: ſed angulus t b l
ſit e: ſitq́; centrum uiſus z: & punctus rei uiſæ h: fiatq́; reflexio for
mæ puncti h ad uiſum z à puncto ſpeculi b, appareatq́; imago retro
ſpeculum: dico quòd maior erit diſtantia imaginis à ſpeculi ſuperfi
cie quàm ipſius rei uiſæ. Ducantur enim lineæ h b incidentię, & z b
reflexionis: & ducatur cathetus incidentiæ, quæ ſit e h g t: produ-
catur quoque linea reflexionis, quæ z b, donec lineæ e h & z b
concurrant in puncto t: erit ergo per 37 th. 5 huius punctum t lo-
cus imaginis. Dico quòd linea t b (quæ eſt diſtantia imaginis à
ſpeculo) eſt maior quàm linea b h, quæ eſt diſtantia rei uiſæ à pun-
cto reflexionis. Et ſimiliter linea h g eſt minor quàm linea g t. Du-
catur enim linea e b: & à puncto b ducatur linea contingens cir-
culum in puncto b per 17 p 3: quæ ſit l b k. Quia itaque anguli
cõtingentiæ, qui ſunt a b k & g b l, ſunt æquales per 16 p 3: & anguli
z b a & h b g æquales per 20 th. 5 huius: fit ergo angulus k b z æqualis angulo l b h: ſed angulus t b l