6553THEOREM. ARITH.
proportione diuidentium, quamuis ex aduerſo.
Cuius ratio ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi dependet.
prout in ſubſcripto ordine fa-
cillimè deprehendi poteſt.
cillimè deprehendi poteſt.
THEOREMA LXXXI.
CVR quantitate in tres continuas partes proportionales ſecta, & per ſingulas
ipſarum diuiſa, ſumma trium prouenientium quadrato medij prouenientis
æqualis eſt.
ipſarum diuiſa, ſumma trium prouenientium quadrato medij prouenientis
æqualis eſt.
Exempli gratia, proponitur .14. diuidendus in tres continuas partes proportio-
nales, nempe .8. 4. 2. ipſeque; numerus .14. per ſingulas diuiditur, ex quo tria proue-
nientia oriuntur, nempe ex prima parte .8. proueniens erit .1. cum tribus quartis par
tibus ex ſecunda .4. datur proueniens .3. cum dimidio vnius, & ex tertia .2. proue-
nient .7. integri, qui in ſummam collecti dant .12. integros & vnam quartam par-
tem tantumdem, videlicet quantum quadratum prouenientis medij, nempe .3.
cum dimidio.
nales, nempe .8. 4. 2. ipſeque; numerus .14. per ſingulas diuiditur, ex quo tria proue-
nientia oriuntur, nempe ex prima parte .8. proueniens erit .1. cum tribus quartis par
tibus ex ſecunda .4. datur proueniens .3. cum dimidio vnius, & ex tertia .2. proue-
nient .7. integri, qui in ſummam collecti dant .12. integros & vnam quartam par-
tem tantumdem, videlicet quantum quadratum prouenientis medij, nempe .3.
cum dimidio.
Cuius ſpeculationis gratia, totalis numerus ſignificetur linea .n.c. qui in tres par-
tes diuidatur .n.a: a.e. et .e.c. quæ ſint continuæ proportionales, quarum ſingulis,
numerum .n.c. diuiſum eſſe cogitemus, proueniens autem ex diuiſione .n.c. per .n.
a. ſit .i.d. quod verò prouenit ex diuiſione .n.c. per .a.e. ſit .d.u. proueniens quoque ex
diuiſione .n.c. per .e.c. ſit .u.o. quorum ſumma ſit .i.o. quæ aſſeritur eſſe numeri æqua-
lis numero quadrati .d.u. Quod hac ratione probabo, producatur linea .i.o. donec .
o.p. æqualis ſit .o.u. erigaturque; .o.m. æqualis .d.i. perpendiculariter .o.p. in puncto .o.
quæ producatur donec .o.q. vnitati ſit æqualis, terminenturque; duo rectangula .m.p.
et .q.i. ex quo habebimus rectangulum, aut productum .m.p. æquale quadrato .d.u.
ex .16 ſexti aut .20. ſeptimi, quandoquidem tria prouenientia .o.u: u.d. et .d.i. ex
pręcedenti theoremate ſunt inter ſe continua proportionalia, proportionalitate qua
partes .n.c. Iam verò ſi probauero .q.i. productum, producto .m.p. æquale eſſe, pro-
poſitum quoque probatum erit. Numerus enim producti .q.i. æqualis eſt numero.
ſummæ .i.o. Habemus autem ex definitione diuiſionis ita ſe habere .n.c. ad .i.d. ſicut .
n.a. ad .o.q. Itaque permutando ſic ſe habebit .n.c. ad .n.a. ſicut .d.i. hoc eſt .m.o. ad .
o.q. ſed ſicut ſe habet .n.c. ad .n.a. ita pariter ſe habet .i.o. ad .o.u. hoc eſt ad .o.p. Ita-
que .i.o. ad .o.p. ſic ſe habebit ſicut .m.o. ad .o.q. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .
q.i. æqualis erit .m.p. & conſequenter quadrato .d.u. Vt autem lector minori labo-
re cognoſcere queat .i.o. ad .o.u. ſic ſe habere, vt .n.c. ad .n.a. ſciendum eſt quòd, ſic
ſe habet .i.d. ad .d.u. ut .c.e. ad .e.a. ex quo componendo ſic ſe habebit .i.u. ad .d.u. ſi-
cut .c.a. ad .a.e. & permutando ita .i.u.
90[Figure 90]
ad .c.a. vt .d.u. ad .e.a. ſed cum ex præ-
cedenti theoremate ſic ſe habeat .d.u.
ad .u.o. ſicut .e.a. ad .a.n. permutando
ſic ſe habebit .d.u. ad .a.e. ſicut .u.o. ad
a.n. ex quo ex .11. quinti ſic ſe habe-
bit .i.u. ad .c.a. prout .o.u. ad .a.n. per-
mutandoq́ue .i.u. ad .u.o. vt .c.a. ad .a.n. & componendo, ita .i.o. ad .u.o. ſicut .c.n.
ad .a.n.
tes diuidatur .n.a: a.e. et .e.c. quæ ſint continuæ proportionales, quarum ſingulis,
numerum .n.c. diuiſum eſſe cogitemus, proueniens autem ex diuiſione .n.c. per .n.
a. ſit .i.d. quod verò prouenit ex diuiſione .n.c. per .a.e. ſit .d.u. proueniens quoque ex
diuiſione .n.c. per .e.c. ſit .u.o. quorum ſumma ſit .i.o. quæ aſſeritur eſſe numeri æqua-
lis numero quadrati .d.u. Quod hac ratione probabo, producatur linea .i.o. donec .
o.p. æqualis ſit .o.u. erigaturque; .o.m. æqualis .d.i. perpendiculariter .o.p. in puncto .o.
quæ producatur donec .o.q. vnitati ſit æqualis, terminenturque; duo rectangula .m.p.
et .q.i. ex quo habebimus rectangulum, aut productum .m.p. æquale quadrato .d.u.
ex .16 ſexti aut .20. ſeptimi, quandoquidem tria prouenientia .o.u: u.d. et .d.i. ex
pręcedenti theoremate ſunt inter ſe continua proportionalia, proportionalitate qua
partes .n.c. Iam verò ſi probauero .q.i. productum, producto .m.p. æquale eſſe, pro-
poſitum quoque probatum erit. Numerus enim producti .q.i. æqualis eſt numero.
ſummæ .i.o. Habemus autem ex definitione diuiſionis ita ſe habere .n.c. ad .i.d. ſicut .
n.a. ad .o.q. Itaque permutando ſic ſe habebit .n.c. ad .n.a. ſicut .d.i. hoc eſt .m.o. ad .
o.q. ſed ſicut ſe habet .n.c. ad .n.a. ita pariter ſe habet .i.o. ad .o.u. hoc eſt ad .o.p. Ita-
que .i.o. ad .o.p. ſic ſe habebit ſicut .m.o. ad .o.q. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .
q.i. æqualis erit .m.p. & conſequenter quadrato .d.u. Vt autem lector minori labo-
re cognoſcere queat .i.o. ad .o.u. ſic ſe habere, vt .n.c. ad .n.a. ſciendum eſt quòd, ſic
ſe habet .i.d. ad .d.u. ut .c.e. ad .e.a. ex quo componendo ſic ſe habebit .i.u. ad .d.u. ſi-
cut .c.a. ad .a.e. & permutando ita .i.u.
cedenti theoremate ſic ſe habeat .d.u.
ad .u.o. ſicut .e.a. ad .a.n. permutando
ſic ſe habebit .d.u. ad .a.e. ſicut .u.o. ad
a.n. ex quo ex .11. quinti ſic ſe habe-
bit .i.u. ad .c.a. prout .o.u. ad .a.n. per-
mutandoq́ue .i.u. ad .u.o. vt .c.a. ad .a.n. & componendo, ita .i.o. ad .u.o. ſicut .c.n.
ad .a.n.