651349LIBER OCTAVVS.
tro ſpeculi ad circumferentiã, quocunq;
modo contingat:
& ſit linea a u, quæ diuidatur per æqualia
in puncto o: & à centro a ſecundum quãtitatem lineæ a o deſcribatur circulus, qui ſit e z: & in linea
o u ſignetur pũctus t, utcunq; contingat: & à puncto t ducantur lineę t n & t m perpẽdiculariter ſu-
per lineã a u per 11 p 1: & ducãtur à pũcto t lineæ t e & t z contingentes circulum e z per 17 p 3: & ſint
pũcta contactuũ e & z. Ducãtur quoq; à cẽtro ſpeculi pũcto a ad pũcta cõtactuũ lineæ a e & a z: quę
productę ſecent ſpeculũ in punctis b & g. Copulentur quoq; lineę t b & t g à pũcto t, & ducatur li-
nea b m æquidiſtans lineæ a u per 31 p 1: & linea g n ducatur æquidiſtãs eiſdẽ lineis a u & b m: & du-
cantur à centro ſpeculi ad puncta m & n lineæ a m & a n: quæ producantur ulterius extra circulum
782[Figure 782]f u q b s m l n c o z q g b. Quia itaq; linea a o eſt æqualis lineę o u: palàm quo-
niam linea a e eſt æqualis lineæ e b, & linea a z æqualis li-
neæ z g: oẽs enim diametri circuli e z ſunt medietates dia-
metrorũ circuli b g: ergo linea, quę interiacet circulos exi-
ens à cẽtro a, eſt æqualis ſemidiametro circuli e z. Et quia
linea t e cõtingit circulũ minorẽ, qui eſt e z: erit per 18 p 3 li
nea t e perpẽdicularis ſuper lineã b a: & ſimiliter erit linea
t z per pẽdicularis ſuper lineã g a: ergo per 4 p 1 linea t e exi
ſtente cõmuni ambobus trigonis b e t & t e a, erit linea b t
æqualis lineæ t a: & ſimiliter erit linea g t æqualis lineæ t a:
ergo per 5 p 1 in trigono t b a erit angulus t a b æqualis an-
gulo t b a: & in trigono t g a erit angulus t g a æqualis angu
lo t a g. Et quia linea b m eſt æquidiſtans lineæ a t: erit ք 29
p 1 angulus m b a æqualis angulo t a b: quoniã ſunt coalter
ni: angulus ergo m b a æqualis eſt angulo a b t: & ſimiliter
angulus n g a æqualis eſt angulo a g t. Cũ ergo uiſus fuerit in pũcto t, & in linea m b fuerit aliquod
uiſibile (ut pũctũm) tunc forma pũcti m à pũcto ſpeculi, quod eſt b, reflectetur ad uiſum exiſtentẽ
in pũcto t: & forma pũcti n reflectetur à pũcto ſpeculi g ad uiſum exiſtentẽ in pũcto t. Viſus itaq; exi
ſtẽs in pũcto t cõprehẽdet formas pũctorum n & m reflexas ad ſe à pũctis ſpeculi g & b. Cõprehen-
det ergo eadẽ ratione & totã lineã n m reflexam ad ſe extoto arcu g b, ut patet per 42 huius. Etꝗa
linea m t eſt perpendicularis ſuper lineã a t: erit angulus m t b acutus. Quia enim angulus m t u eſt
rectus: ergo per 29 p 1 angulus b m t eſt rectus: ergo angulus m t b eſt acutus ք 32 p 1: ergo per 19 p 1
erit linea t b maior ꝗ̃ linea b m. Sed, ut pręmiſſum eſt, linea t b eſt æqualis lineæ at: ergo linea at eſt
maior ꝗ̃ linea b m: ſed lineæ a t & b m ſunt ęquidiſtantes: ergo per 16 th. 1 huius linea t b cõcurret cũ
linea a m: concurrant ergo in puncto f: eſt itaq; ք 37 th. 5 huius pũctus flocus imaginis formæ pun-
ctim. Eodẽ quoq; modo linea t g cõcurret cũ linea a n in pũcto, qui ſit q: & erit punctus q locus ima
ginis formæ pũcti n: quoniã cathetus incidentiæ formæ pũcti m eſt linea a m, & cathetus inciden-
tię formę pũcti n eſt linea a n: lineæ quoq; reflexionis ſunt lineę t b & t g. Cõtinuẽtur itaq; pũcta f &
q per lineã f q: & erit linea f q diameter imaginis formę totius lineę n m. Et quia lineæ t e & t z ſunt
æquales per 58 th. 1 huius: erũt anguli t a e & t a z æquales. Anguli enim t z a & t e a ſuntrecti per 18
p 3, & lineæ z a & e a ſunt æquales, quia ſemidiametri eiuſdẽ circuli: linea quoq; t a eſt cõmunis am-
bobus trigonis t z a & t e a: ergo ք 8 p 1 anguli z t a & e t a ſunt æquales: & ſimiliter anguli t a e & t a z.
ſunt æquales: ergo & angulus t a b æqualis angulo t a g: ergo ք 4 p 1 erũt lineæ t b & t g æquales. Et
quia angulus e t a eſt æqualis angulo z t a: erit angulus u t b æqualis angulo u t g: relin quitur ergo
angulus b t m æqualis angulo g t n: quoniã anguli u t m & u t n ſunt æquales, quia recti: ſed & angu
li b m t & g n t ſunt recti: ergo trigona g t n & b t m ſunt ք 32 p 1 æquiangula. Ergo ք 4 p 6 cũ linea t g
ſit æqualis lineæ t b: erũt lineę b m & g n æquales, & linea t m æqualis lineę t n: ergo ք 4 p 1 cũ angu
lin t a & m t a ſint recti & æquales, erũt lineæ a m & a n æquales: & ſic pũcta m & n ęqualiter diſta-
bunt à cẽtro ſpeculi, qđ eſt a: eritq́; ք 29 p 1 & 4 p 6 ꝓportio lineę a f ad lineã f m, ſicut lineę a t ad li-
neã b m: & erit ꝓportio lineæ a q ad lineã q n, ſicut lineę a t ad lineã g n: ſed ք 7 p 5 eadẽ eſt ꝓportio
lineæ a t ad lineam b m, & ad lineam g n: quoniã illę duę ſunt æquales: eadẽ ergo eſt proportio lineę
a f ad lineã f m, quę eſt lineę a q ad lineã q n: ergo ք 7 th. 1 huius erit euerſim eadẽ proportio lineæ a f
ad lineam a m, quæ eſt lineę a q ad lineã a n: ergo ք 16 p & corollariũ 4 p 5 erit permutatim ꝓportio
lineæ a q ad lineã a f, ſicut lineę a n ad lineã a m: ſed linea a m eſt æqualis lineę a n: ergo linea a f eſt ę-
qualis lineæ a q. Linea itaq; f q æquidiſtat lineę n m ք 2 p 6. Ergo linea f q eſt maior quàm linea n m.
Si itaq; centrũ uiſus fuerit in puncto t, & in linea n m fuerit aliquod uiſibile: tũc uiſus cõprehendet
imaginẽ illius uiſibilis maiorẽ ꝗ̃ ſit ſecũdum ueritatẽ. Et hoc eſt propoſitũ. Et ſi arcus cuiuſcũq; cir-
culi copulentur ad has chordas n m & q f: patet idem de arcubus, quod de lineis rectis.
in puncto o: & à centro a ſecundum quãtitatem lineæ a o deſcribatur circulus, qui ſit e z: & in linea
o u ſignetur pũctus t, utcunq; contingat: & à puncto t ducantur lineę t n & t m perpẽdiculariter ſu-
per lineã a u per 11 p 1: & ducãtur à pũcto t lineæ t e & t z contingentes circulum e z per 17 p 3: & ſint
pũcta contactuũ e & z. Ducãtur quoq; à cẽtro ſpeculi pũcto a ad pũcta cõtactuũ lineæ a e & a z: quę
productę ſecent ſpeculũ in punctis b & g. Copulentur quoq; lineę t b & t g à pũcto t, & ducatur li-
nea b m æquidiſtans lineæ a u per 31 p 1: & linea g n ducatur æquidiſtãs eiſdẽ lineis a u & b m: & du-
cantur à centro ſpeculi ad puncta m & n lineæ a m & a n: quæ producantur ulterius extra circulum
782[Figure 782]f u q b s m l n c o z q g b. Quia itaq; linea a o eſt æqualis lineę o u: palàm quo-
niam linea a e eſt æqualis lineæ e b, & linea a z æqualis li-
neæ z g: oẽs enim diametri circuli e z ſunt medietates dia-
metrorũ circuli b g: ergo linea, quę interiacet circulos exi-
ens à cẽtro a, eſt æqualis ſemidiametro circuli e z. Et quia
linea t e cõtingit circulũ minorẽ, qui eſt e z: erit per 18 p 3 li
nea t e perpẽdicularis ſuper lineã b a: & ſimiliter erit linea
t z per pẽdicularis ſuper lineã g a: ergo per 4 p 1 linea t e exi
ſtente cõmuni ambobus trigonis b e t & t e a, erit linea b t
æqualis lineæ t a: & ſimiliter erit linea g t æqualis lineæ t a:
ergo per 5 p 1 in trigono t b a erit angulus t a b æqualis an-
gulo t b a: & in trigono t g a erit angulus t g a æqualis angu
lo t a g. Et quia linea b m eſt æquidiſtans lineæ a t: erit ք 29
p 1 angulus m b a æqualis angulo t a b: quoniã ſunt coalter
ni: angulus ergo m b a æqualis eſt angulo a b t: & ſimiliter
angulus n g a æqualis eſt angulo a g t. Cũ ergo uiſus fuerit in pũcto t, & in linea m b fuerit aliquod
uiſibile (ut pũctũm) tunc forma pũcti m à pũcto ſpeculi, quod eſt b, reflectetur ad uiſum exiſtentẽ
in pũcto t: & forma pũcti n reflectetur à pũcto ſpeculi g ad uiſum exiſtentẽ in pũcto t. Viſus itaq; exi
ſtẽs in pũcto t cõprehẽdet formas pũctorum n & m reflexas ad ſe à pũctis ſpeculi g & b. Cõprehen-
det ergo eadẽ ratione & totã lineã n m reflexam ad ſe extoto arcu g b, ut patet per 42 huius. Etꝗa
linea m t eſt perpendicularis ſuper lineã a t: erit angulus m t b acutus. Quia enim angulus m t u eſt
rectus: ergo per 29 p 1 angulus b m t eſt rectus: ergo angulus m t b eſt acutus ք 32 p 1: ergo per 19 p 1
erit linea t b maior ꝗ̃ linea b m. Sed, ut pręmiſſum eſt, linea t b eſt æqualis lineæ at: ergo linea at eſt
maior ꝗ̃ linea b m: ſed lineæ a t & b m ſunt ęquidiſtantes: ergo per 16 th. 1 huius linea t b cõcurret cũ
linea a m: concurrant ergo in puncto f: eſt itaq; ք 37 th. 5 huius pũctus flocus imaginis formæ pun-
ctim. Eodẽ quoq; modo linea t g cõcurret cũ linea a n in pũcto, qui ſit q: & erit punctus q locus ima
ginis formæ pũcti n: quoniã cathetus incidentiæ formæ pũcti m eſt linea a m, & cathetus inciden-
tię formę pũcti n eſt linea a n: lineæ quoq; reflexionis ſunt lineę t b & t g. Cõtinuẽtur itaq; pũcta f &
q per lineã f q: & erit linea f q diameter imaginis formę totius lineę n m. Et quia lineæ t e & t z ſunt
æquales per 58 th. 1 huius: erũt anguli t a e & t a z æquales. Anguli enim t z a & t e a ſuntrecti per 18
p 3, & lineæ z a & e a ſunt æquales, quia ſemidiametri eiuſdẽ circuli: linea quoq; t a eſt cõmunis am-
bobus trigonis t z a & t e a: ergo ք 8 p 1 anguli z t a & e t a ſunt æquales: & ſimiliter anguli t a e & t a z.
ſunt æquales: ergo & angulus t a b æqualis angulo t a g: ergo ք 4 p 1 erũt lineæ t b & t g æquales. Et
quia angulus e t a eſt æqualis angulo z t a: erit angulus u t b æqualis angulo u t g: relin quitur ergo
angulus b t m æqualis angulo g t n: quoniã anguli u t m & u t n ſunt æquales, quia recti: ſed & angu
li b m t & g n t ſunt recti: ergo trigona g t n & b t m ſunt ք 32 p 1 æquiangula. Ergo ք 4 p 6 cũ linea t g
ſit æqualis lineæ t b: erũt lineę b m & g n æquales, & linea t m æqualis lineę t n: ergo ք 4 p 1 cũ angu
lin t a & m t a ſint recti & æquales, erũt lineæ a m & a n æquales: & ſic pũcta m & n ęqualiter diſta-
bunt à cẽtro ſpeculi, qđ eſt a: eritq́; ք 29 p 1 & 4 p 6 ꝓportio lineę a f ad lineã f m, ſicut lineę a t ad li-
neã b m: & erit ꝓportio lineæ a q ad lineã q n, ſicut lineę a t ad lineã g n: ſed ք 7 p 5 eadẽ eſt ꝓportio
lineæ a t ad lineam b m, & ad lineam g n: quoniã illę duę ſunt æquales: eadẽ ergo eſt proportio lineę
a f ad lineã f m, quę eſt lineę a q ad lineã q n: ergo ք 7 th. 1 huius erit euerſim eadẽ proportio lineæ a f
ad lineam a m, quæ eſt lineę a q ad lineã a n: ergo ք 16 p & corollariũ 4 p 5 erit permutatim ꝓportio
lineæ a q ad lineã a f, ſicut lineę a n ad lineã a m: ſed linea a m eſt æqualis lineę a n: ergo linea a f eſt ę-
qualis lineæ a q. Linea itaq; f q æquidiſtat lineę n m ք 2 p 6. Ergo linea f q eſt maior quàm linea n m.
Si itaq; centrũ uiſus fuerit in puncto t, & in linea n m fuerit aliquod uiſibile: tũc uiſus cõprehendet
imaginẽ illius uiſibilis maiorẽ ꝗ̃ ſit ſecũdum ueritatẽ. Et hoc eſt propoſitũ. Et ſi arcus cuiuſcũq; cir-
culi copulentur ad has chordas n m & q f: patet idem de arcubus, quod de lineis rectis.
47. Centro uiſus & re uiſa oppoſitis ſpeculo ſphærico concauo taliter, ut uiſus ſit altior re uiſa
ſecundum ſui extrema æqualiter diſtante à centro ſpeculi: imago lineæ uiſæ uidebitur ultra ſpe-
culum, maior re uiſa. Alhazen 40 n 6.
ſecundum ſui extrema æqualiter diſtante à centro ſpeculi: imago lineæ uiſæ uidebitur ultra ſpe-
culum, maior re uiſa. Alhazen 40 n 6.
Sit circulus ſpeculi ſphærici cõcaui, ſicut in pręmiſſa, qui eſt b g:
cuius centrũ a:
& ducantur lineę
à centro circuli a ad peripheriã, quę ſint a b, a g, a u: ſitq́; linea a u diuidens per ęqualia arcũ g b: quę
diuidatur, ut in pręcedẽte, ſecũdũ punctũ tultra ſui mediũ uerſus circũferẽtiã g b: & ducãtur lineæ
à centro circuli a ad peripheriã, quę ſint a b, a g, a u: ſitq́; linea a u diuidens per ęqualia arcũ g b: quę
diuidatur, ut in pręcedẽte, ſecũdũ punctũ tultra ſui mediũ uerſus circũferẽtiã g b: & ducãtur lineæ