654352VITELLONIS OPTICAE
b h in continuum & directũ:
& in ipſa ſignetur punctus r:
& ducatur linea r e ad centrũ ſpeculi.
Et
quoniá angulus t e b eſt rectus, patet per 13 p 1 quòd angulus h e b eſt rectus: palàm ergo quia angu
lus r e b erit obtuſus: producaturq́; linea r e ultra punctum e ad lineã b d: incidatq́; in pũctum n: ca-
d etq́; punctũ n inter pũcta t & b. Cum enim angulus b e r ſit obtuſus: patet per 13 p 1 quòd angulus
b e n eſt a cutus: linea itaq; e n diuidit angulũ t e b, qui eſt rectus: ergo per 29 th. 1 huius ipſa ſecabit
baſim t b: erit ergo linea n b minor ꝗ̃ linea t b: ſed linea t b, ut patuit in pręcedẽte, eſt æqualis lineæ
b h, & linea b r eſt maior quàm linea b h: erit ergo linea r b maior ꝗ̃ linea b n. Et quia, ut patet ex prę
miſsis in proxima pręcedente, angulus n b e eſt æqualis angulo e b r: palàm quod linea e b diuidit
angulum n b r per æqualia. Erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ r b ad lineam b n, ſicut proportio li-
neæ r e ad lineam e n: ſed linea r b eſt maior quàm linea b n: ergo linea r e eſt maior quàm linea e n.
Producatur quoq; ſimiliter linea a l in continuum & directum, donec ſit linea a m ęqualis lineę b r:
& ducatur linea m e, quę producta concurrat cũ linea d a in puncto u: cõcurret autem, ut prius de-
monſtratũ eſt per 29 th. 1 huius. Et quia duo anguli e a m & o b r ſunt æquales, ut patet in cõmento
pręmiſſæ propoſitionis, & duo latera e a & a m trigoni e a m
785[Figure 785]d g t z k n u b e a f o h m v ſunt æqualia duobus laterib. trigoni b e r, quę ſunt b e & b r:
erit per 4 p 1 linea m e æ qualis lineæ r e: & angulus m e æ-
qualis angulo r e b: ſed angulus r e b maior eſt angulo recto
& obtuſus: erit ergo angulus m e a obtuſus: ergo ք 13 p 1 angu
lus u e a eſt acutus. Quia ergo in trigono a e u angulus u a e
eſt æqualis angulo e a m trigoni m e a, & angulus u e a eſt mi
nor angulo m e a: erit angulus e u a maior angulo a m e ք 32
p 1: ergo in trigono m a u latus m a eſt maius latere u a: ſed li-
nea a e diuidit angulũ u a m ք æqualia. Ergo ք 3 p 6 linea m e
eſt maior ꝗ̃ linea e u: & ſimiliter eſt linea r e maior ꝗ̃ linea e n.
Ducátur itaq; lineę n u & m r. Et quia per 26 p 1 linea n e eſt
æqualis lineę e u: quoniam ex pręmiſsis angulus u a e eſt æ-
qualis angulo n b e, & angulus a e u eſt æqualis angulo b e n,
cũ uterq; ipſorũ ſuper angulũ æqualẽ obtuſum ſit cõplemen
tum duorũ rectorũ per 13 p 1, & latus a e eſt æquale lateri b e.
Sunt igitur per 15 p 1 & per 7 p 5 & per 6 p 6 trigoni m e r &
n e u æquianguli: ergo per 4 p 6 erit ꝓportio lineę m e ad li-
neã e u, ſicut lineę m r ad lineã n u: ſed, ut patet ex pręmiſsis,
linea m e eſt maior ꝗ̃ linea e u: ergo linea m r eſt maior ꝗ̃ li-
nea n u. Si ergo linea m r fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fue
rit in puncto d: erit linea n u diameter imaginis lineę m r: &
eſt minor ꝗ̃ linea r m. Et ſi uiſus fuerit in pũcto o, & linea n u
fuerit in aliquo uiſibili: erit linea m r imago lineę n u: & eſt
maior ꝗ̃ linea n u. Sed cũm in linea m r fuerit aliquod uiſibile,
& uiſus in pũcto d: imago n u eritinter uiſum & ſpeculũ: &
uidebitur imago reuerſa, habens ſitũ alium ꝗ̃ res uiſa, prout
declarauimus in the oremate pręcedente. Cum uerò res uiſa fuerit in linea n u, & uiſus in pũcto o:
imago m r uidebitur retro uiſum, & erit eius forma conformis ſitui rei uiſę, ut in pręmiſſa patuit.
Nã imago ſi fuerit ultra uiſum uidebitur anterius ipſius, & omne punctum imaginis uidebitur in li
nea ſuę reflexionis. Patet ergo manifeſtè totum, quod proponebatur.
quoniá angulus t e b eſt rectus, patet per 13 p 1 quòd angulus h e b eſt rectus: palàm ergo quia angu
lus r e b erit obtuſus: producaturq́; linea r e ultra punctum e ad lineã b d: incidatq́; in pũctum n: ca-
d etq́; punctũ n inter pũcta t & b. Cum enim angulus b e r ſit obtuſus: patet per 13 p 1 quòd angulus
b e n eſt a cutus: linea itaq; e n diuidit angulũ t e b, qui eſt rectus: ergo per 29 th. 1 huius ipſa ſecabit
baſim t b: erit ergo linea n b minor ꝗ̃ linea t b: ſed linea t b, ut patuit in pręcedẽte, eſt æqualis lineæ
b h, & linea b r eſt maior quàm linea b h: erit ergo linea r b maior ꝗ̃ linea b n. Et quia, ut patet ex prę
miſsis in proxima pręcedente, angulus n b e eſt æqualis angulo e b r: palàm quod linea e b diuidit
angulum n b r per æqualia. Erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ r b ad lineam b n, ſicut proportio li-
neæ r e ad lineam e n: ſed linea r b eſt maior quàm linea b n: ergo linea r e eſt maior quàm linea e n.
Producatur quoq; ſimiliter linea a l in continuum & directum, donec ſit linea a m ęqualis lineę b r:
& ducatur linea m e, quę producta concurrat cũ linea d a in puncto u: cõcurret autem, ut prius de-
monſtratũ eſt per 29 th. 1 huius. Et quia duo anguli e a m & o b r ſunt æquales, ut patet in cõmento
pręmiſſæ propoſitionis, & duo latera e a & a m trigoni e a m
785[Figure 785]d g t z k n u b e a f o h m v ſunt æqualia duobus laterib. trigoni b e r, quę ſunt b e & b r:
erit per 4 p 1 linea m e æ qualis lineæ r e: & angulus m e æ-
qualis angulo r e b: ſed angulus r e b maior eſt angulo recto
& obtuſus: erit ergo angulus m e a obtuſus: ergo ք 13 p 1 angu
lus u e a eſt acutus. Quia ergo in trigono a e u angulus u a e
eſt æqualis angulo e a m trigoni m e a, & angulus u e a eſt mi
nor angulo m e a: erit angulus e u a maior angulo a m e ք 32
p 1: ergo in trigono m a u latus m a eſt maius latere u a: ſed li-
nea a e diuidit angulũ u a m ք æqualia. Ergo ք 3 p 6 linea m e
eſt maior ꝗ̃ linea e u: & ſimiliter eſt linea r e maior ꝗ̃ linea e n.
Ducátur itaq; lineę n u & m r. Et quia per 26 p 1 linea n e eſt
æqualis lineę e u: quoniam ex pręmiſsis angulus u a e eſt æ-
qualis angulo n b e, & angulus a e u eſt æqualis angulo b e n,
cũ uterq; ipſorũ ſuper angulũ æqualẽ obtuſum ſit cõplemen
tum duorũ rectorũ per 13 p 1, & latus a e eſt æquale lateri b e.
Sunt igitur per 15 p 1 & per 7 p 5 & per 6 p 6 trigoni m e r &
n e u æquianguli: ergo per 4 p 6 erit ꝓportio lineę m e ad li-
neã e u, ſicut lineę m r ad lineã n u: ſed, ut patet ex pręmiſsis,
linea m e eſt maior ꝗ̃ linea e u: ergo linea m r eſt maior ꝗ̃ li-
nea n u. Si ergo linea m r fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fue
rit in puncto d: erit linea n u diameter imaginis lineę m r: &
eſt minor ꝗ̃ linea r m. Et ſi uiſus fuerit in pũcto o, & linea n u
fuerit in aliquo uiſibili: erit linea m r imago lineę n u: & eſt
maior ꝗ̃ linea n u. Sed cũm in linea m r fuerit aliquod uiſibile,
& uiſus in pũcto d: imago n u eritinter uiſum & ſpeculũ: &
uidebitur imago reuerſa, habens ſitũ alium ꝗ̃ res uiſa, prout
declarauimus in the oremate pręcedente. Cum uerò res uiſa fuerit in linea n u, & uiſus in pũcto o:
imago m r uidebitur retro uiſum, & erit eius forma conformis ſitui rei uiſę, ut in pręmiſſa patuit.
Nã imago ſi fuerit ultra uiſum uidebitur anterius ipſius, & omne punctum imaginis uidebitur in li
nea ſuę reflexionis. Patet ergo manifeſtè totum, quod proponebatur.
50. In ſpeculis ſph æricis concauis imago quando comprehenditur maior re uiſa, & conuer-
ſa ſecundum ſitum formæ rei uiſæ, ipſa imagine inter uiſum & ſpeculũ occurrente: retro uiſum
non uidetur minor, ſedhabens ſitum conformem rei uiſæ. Alhazen 43 n 6.
ſa ſecundum ſitum formæ rei uiſæ, ipſa imagine inter uiſum & ſpeculũ occurrente: retro uiſum
non uidetur minor, ſedhabens ſitum conformem rei uiſæ. Alhazen 43 n 6.
Remaneat diſpoſitio, quę prius in 48 huius:
& ſignetur in linea o h punctum q:
& ducatur linea
e q: & producta ultra cẽtrũ
786[Figure 786]y b f j a q t k p l d g e tranſeat ad punctum p li-
neę d b: ſitq́; , ut à linea o l
abſcindatur linea o f æ qua-
lis lineę o q per 3 p 1: & duca
turlinea f e: quę produca-
tur ultra punctũ e ad lineá
d a in punctũ i: erunt itaq;
ſecundum prędictũ in prę-
miſsis proban di modũ duę
lineę p e & i e maiores dua-
bus lineis e f & e q. Quia e-
nim linea l e eſt maior ꝗ̃ li-
nea f e, ut patet ex pręmiſ-
ſis duobus theorematibus, & linea e h eſt maior quàm linea e q: lianea uerò p e eſt maior ꝗ̃ linea t e,
e q: & producta ultra cẽtrũ
786[Figure 786]y b f j a q t k p l d g e tranſeat ad punctum p li-
neę d b: ſitq́; , ut à linea o l
abſcindatur linea o f æ qua-
lis lineę o q per 3 p 1: & duca
turlinea f e: quę produca-
tur ultra punctũ e ad lineá
d a in punctũ i: erunt itaq;
ſecundum prędictũ in prę-
miſsis proban di modũ duę
lineę p e & i e maiores dua-
bus lineis e f & e q. Quia e-
nim linea l e eſt maior ꝗ̃ li-
nea f e, ut patet ex pręmiſ-
ſis duobus theorematibus, & linea e h eſt maior quàm linea e q: lianea uerò p e eſt maior ꝗ̃ linea t e,