Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Capitulum </p>
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      Commo, adonca, per queste tavole qual voi arco di cerchi s’ abbia a trovare, lo mo-
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      straró. E, accioché di quelle migliore doctrina s’ abbia, é da mostrare, se in uno
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      cerchio .2. archi non iguali fienno, sia la proportione del magiore arco ala sua cor-
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      da magiore del minore arco ala sua corda, che ancora all’ ochio si puó compren-
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      dere per le tavole sopra scripte. Imperoché l’ arco del mezzo cerchio ala sua corda (cioé al
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      diametro) è commo .66. a .42., cioé neli numeri minori, commo .11. a .7. E la proportione de-
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      l’ arco dela sexta parte del cerchio ala sua corda è commo .22. a .21. Magiore certamente è
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      la proportione del .11. a .7. che di .22. a .21. Similmente, in tutti gli archi dele sopra scripte ta-
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      vole, trovarai la proportione del magiore arco ala sua corda avanzare la proportione del mi-
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      nore arco ala sua corda. Ma, accioché questo appaia. Sia dato uno cerchio .abgd. Nel qua-
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      le sienno .2. archi non iguali .ab. e .bg. E sia l’ arco .bg. magiore. E menise la corda del’ arco
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      .abg. che sia la retta .ag. e dividise l’ angolo .abg. in .2. parti iguali dala linea .bd. che seghi la
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      corda .ag. in sul ponto .e. E compise la retta .ad. e .gd. E, perché l’ angolo che è sotto .abg. é di-
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      viso in .2. parti iguali dala linea .bd., iguali é l’ angolo .abd. al’ angolo .dbg. Onde iguali é l’ ar-
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      co .ad. al’ arco .dg., commo per la .25a. del terzo apare. Onde iguale è la retta .ad. ala retta .dg.,
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      per la .28a. del terzo. Onde, posto de comune la retta .db., fienno .2. rette .ad. e .db. a .2. rette .bd.
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      e .dg. iguali. Ma la basa .ba. è minore dela basa .bg. Onde l’ angolo .bdg. è magiore del’ an-
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      golo .bda., per la .25a. del primo. Overo, perché minore è la periferia .ab. dela periferia .bg.,
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      magiore è l’ angolo che è facto dale rette .gd. e .db. del’ angolo che è facto dale rette .bd. e .da.
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      Peroché e gli é cosí la periferia .gb. ala periferia .ba., cosí l’ angolo .gdb. al’ angolo .bda. E,
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      perché gli é iguale .ad. ala retta .dg., se dal ponto .d. si mena el catetto sopra la linea .ag., cade-
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      rá in mezzo del .ag. Dove caderá infra .eg., cioé sopra la linea .eg. Perché magiore é .ge. del
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      .ae., conciosiacosaché sia cosí la retta .gb. al .ba., cosí .ge. al .ea. Caggia adonca il catetto sopra
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      il ponto .h. e sia catetto .dh. E, perché retto è l’ angolo .dhe., magiore è la retta .de. che .dh. e
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      magiore è .da. che .de. Sienno poste amendoi le linee rette .di. e .df., iguali ala retta .de. E
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      faró .d. centro con lo spatio dele rette .di. e .de. E faciase l’ arco .ief. magiore e adonca el set-
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      tore .die. del triangolo rettilineo .dhe. e il settore .dif. é menore del triangolo .dea. On-
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      de la proportione del settore .die. al settore .def. è magiore dela proportione del triangolo
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      .dae. al triangolo .dea. Ma la proportione del settore .dei. al settore .def. è commo la pro-
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      portione del’ angolo .ide. al’ angolo .idf. Magiore è la proportione del triangolo .dhe. al
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      triangolo rettilineo .dae. Ma la proportione del triangolo .hde. al triangolo .ade. è com-
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      mo la retta .he. ala .ea., conciosiacosaché amendoi li triangoli sienno sotto una medesima
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      altezza, per la prima del sexto, che è del .d. in .h., imperoché ’l catetto .de. è perpendiculare ali
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      triangoli .hde. e .ade. Adonca la proportione del’ angolo .ide. al’ angolo .eda. è magiore de-
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      la proportione dela retta .ah. ala retta .ae. E, per la congionta proportionalitá, sará la pro-
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      portione .ida. al’ angolo .eda. magiore dela retta .ah. ala retta .ae. Ma l’ angolo .gdi. è igua-
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      le al’ angolo .adh. E la retta .gd. é iguale ala retta .ah. Onde la proportione del’ angolo .gdi. al’ ango-
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      lo .eda. è magiore dela proportione dela retta .gh. ala retta .ae. Ma la proportione del’ angolo .ide.
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      al’ angolo .ade. è trovata magiore dela proportione .eg. ala retta .ea. Ma la proportione
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      del’ angolo .gde. al’ angolo .ade. è commo la proportione del’ arco .bg. al’ arco .ba. E la pro-
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      portione del .ge. al .ea. è commo la proportione dela corda .gb. ala corda .ba. Adonca la pro-
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      portione del’ arco .bg. al’ arco .ba. è magiore proportione dela corda .gb. ala corda .ba. e, per-
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      mutati, e sará adonca la proportione del’ arco .gb. ala corda .gb. magiore dela proportio-
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      ne del’ arco .ba. ala corda .ba., ch’ era bisogno mostrare. Ma, per consequire simili noti-
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      tie, te convien molto bene havere ale mani le .6. specie over modi dele proportionalitá, quali
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      Euclide mette, con tutta diligentia, nel suo quinto libro. E noi, in questo di sopra, nela parte
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      de arithmetica, nel tractato dele proportioni e proportionalitá, a tuo documento, habiamo indut-
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      to chiaramente con exempli palpabili e evidenti, siché lasú recorri a tue occurentie. Peroché, sen-
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      za ditte proportioni, non è possibile la fabrica de alcuna tavola né de corde e archi né anco
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      d’ altro. Ma quella per li archi haver la corda e per la corda haver li archi passa el segno in tut-
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      te difficultá conmo, per tutto l’ almegesto de Ptolomeo, apare e anche in sua cosmografia. Ideo et cetera.
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      Queste cose intese, se per la corda data d’ alcun cerchio del quale il diametro sia no-
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      to, e vorrai trovare l’ arco di quella corda, quella corda, per lo diametro dela ta-
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      vola, multiplica, cioé per .42., e quello che fa dividi per lo diametro del cerchio da-
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      to e quello ne viene é la corda simile dela corda dela tavola. E di quella piglia l’ ar-
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      co in ditte tavole. E quello multiplica per lo diametro del dato cerchio e dividi per lo diametro
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      dele tavole, cioé per .42. E quello ne perverra sirá l’ arco che desideri. E acioché meglo intenda,
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