661359LIBER OCTAVVS.huius:
& ex duobus punctis illius arcus ſimilibus duobus punctis b & f in 43 huius fit ab hoc arcu
illa reflexio ſormarum duorum punctorum, quæ ſunt u & o: erit ergo q imago puncti o, & n imago
puncti u. Ducatur ergo à puncto u in ſuperficie cir
794[Figure 794]k q t l n f g b o l u z d h a culi a b g recta perpendicularis ſuper lineam d u:
quæ ſit z u e: & à centro d ſecundum longitudinẽ
ſemidiametri d o fiat circulus: hic ergo circulus ſe
cabit lineã z u e in duobus pũctis per 2 p 3: ſecet er
go in punctis z & e: fiatq́; arcus circuli ſecundum
quantitatem lineæ d q à centro d: & ducantur à cẽ
tro ſpeculi d lineæ d z, d e: & producãtur extra ſpe
culum ad arcum circuli deſcripti à centro d ſecun
dum quantitatem ſemidiametri d q: & ſint d t, d k:
& ducatur linea t k: ſecetq́; lineam d q in puncto l.
Quia ergo linea h d eſt perpendicularis ſuper ſu-
perficiem circuli, palàm per definitionem lineæ e-
rectæ quoniam uterque angulus h d t, h d k eſt re-
ctus: & utraq; ſuperficies h d t & h d k in ſuperficie
ſpeculi continet arcũ interiacentẽ lineas h d & d t,
& lineas h d & d k per 69 th. 1 huius: quorũ arcuũ
quilibet eſt ęqualis arcui, qui eſt inter duas lineas
h d & d q: & utraq; linearum d z & d e eſt ęqualis
lineæ d o: quoniã omnes ſunt ſemidiametri eiuſdẽ
circuli. Illi ergo duo arcus ſunt huiuſmodi, quòd
exillis poſsibile eſt fieri reflexionẽ formarũ duo-
rum punctorum, quæ ſunt z & e, ab aliquibus pun
ctis illorum arcuum, ut patet per 20 huius. Interia
cent enim illi arcus ſemidiametros ſpeculi, in qui-
bus conſiſtunt centrum uiſus, quod eſt in puncto
h, & puncta, quorum formæ reflectũtur, quæ ſunt
e & z: incidentq́; formæ eorum illis punctis illorũ
arcuum, & reflectentur ad uiſum in punctum h ſe-
cundum angulos ęquales à duobus punctis ſpecu
li: & duę lineæ d t & d k ſunt æ quales lineę d q: er-
go punctum t eſt locus imaginis puncti z, & pun-
ctum k eſt locus imaginis puncti e. Et quia lineæ
d t, d q, d k ſunt æ quales, & lineę d z, d o, d e æ quales, erit per 7 p 5 proportio lineæ d t ad lineã d z,
ſicut lineæ d q ad lineam d o, & ſicut lineæ k d ad lineam d e: ſed per 43 huius proportio lineę d q a d
lineam d o eſt maior proportione lineę d n ad lineam d u: ergo ſimiliter proportio lineę k d ad lineã
d e eſt maior proportione lineę n d ad lineã d u: & ſimiliter proportio lineę d t ad lineam d z eſt ma-
ior proportione lineæ d n a d lineam d u. Et quia duę lineę d e & z d ſunt æ quales, & duæ lineæ d t
& d k ſunt æquales: erit per 7 p 5 proportio lineę d t a d lineã d z, ſicut lineę d k ad lineã d e: ergo per
17 p 5 erit proportio lineæ t z ad lineam z d, ſicut lineæ k e ad lineam d e: ergo per 2 p 6 linea t k eſt ę-
quidiſtans lineę ez: erit ergo per eandem 2 p 6 & per 18 p 5 proportio lineę l d ad lineam d u, ſicut li-
neę d k ad lineam d e, & ſicut lineę d t ad lineam d z: proportio ergo lineę l d ad lineẽ d u eſt maior
proportione lineę n d ad lineam d u: ergo per 10 p 5 linea l d eſt maior quàm linea n d: ergo punctus
n eſt inter puncta l & u: ſed punctus n eſt imago puncti u: & duo puncta t & k ſunt imagines duorũ
punctorũ z & e: ergo imago lineę z u e rectæ eſt linea tranſiens per tria puncta t, n, k: linea uerò per-
tranſiens hæc puncta eſt conuexa. Patet ergo quòd imago lineę z e rectę uidebitur in hoc ſitu con-
uexa. Et hoc eſt propoſitum.
illa reflexio ſormarum duorum punctorum, quæ ſunt u & o: erit ergo q imago puncti o, & n imago
puncti u. Ducatur ergo à puncto u in ſuperficie cir
794[Figure 794]k q t l n f g b o l u z d h a culi a b g recta perpendicularis ſuper lineam d u:
quæ ſit z u e: & à centro d ſecundum longitudinẽ
ſemidiametri d o fiat circulus: hic ergo circulus ſe
cabit lineã z u e in duobus pũctis per 2 p 3: ſecet er
go in punctis z & e: fiatq́; arcus circuli ſecundum
quantitatem lineæ d q à centro d: & ducantur à cẽ
tro ſpeculi d lineæ d z, d e: & producãtur extra ſpe
culum ad arcum circuli deſcripti à centro d ſecun
dum quantitatem ſemidiametri d q: & ſint d t, d k:
& ducatur linea t k: ſecetq́; lineam d q in puncto l.
Quia ergo linea h d eſt perpendicularis ſuper ſu-
perficiem circuli, palàm per definitionem lineæ e-
rectæ quoniam uterque angulus h d t, h d k eſt re-
ctus: & utraq; ſuperficies h d t & h d k in ſuperficie
ſpeculi continet arcũ interiacentẽ lineas h d & d t,
& lineas h d & d k per 69 th. 1 huius: quorũ arcuũ
quilibet eſt ęqualis arcui, qui eſt inter duas lineas
h d & d q: & utraq; linearum d z & d e eſt ęqualis
lineæ d o: quoniã omnes ſunt ſemidiametri eiuſdẽ
circuli. Illi ergo duo arcus ſunt huiuſmodi, quòd
exillis poſsibile eſt fieri reflexionẽ formarũ duo-
rum punctorum, quæ ſunt z & e, ab aliquibus pun
ctis illorum arcuum, ut patet per 20 huius. Interia
cent enim illi arcus ſemidiametros ſpeculi, in qui-
bus conſiſtunt centrum uiſus, quod eſt in puncto
h, & puncta, quorum formæ reflectũtur, quæ ſunt
e & z: incidentq́; formæ eorum illis punctis illorũ
arcuum, & reflectentur ad uiſum in punctum h ſe-
cundum angulos ęquales à duobus punctis ſpecu
li: & duę lineæ d t & d k ſunt æ quales lineę d q: er-
go punctum t eſt locus imaginis puncti z, & pun-
ctum k eſt locus imaginis puncti e. Et quia lineæ
d t, d q, d k ſunt æ quales, & lineę d z, d o, d e æ quales, erit per 7 p 5 proportio lineæ d t ad lineã d z,
ſicut lineæ d q ad lineam d o, & ſicut lineæ k d ad lineam d e: ſed per 43 huius proportio lineę d q a d
lineam d o eſt maior proportione lineę d n ad lineam d u: ergo ſimiliter proportio lineę k d ad lineã
d e eſt maior proportione lineę n d ad lineã d u: & ſimiliter proportio lineę d t ad lineam d z eſt ma-
ior proportione lineæ d n a d lineam d u. Et quia duę lineę d e & z d ſunt æ quales, & duæ lineæ d t
& d k ſunt æquales: erit per 7 p 5 proportio lineę d t a d lineã d z, ſicut lineę d k ad lineã d e: ergo per
17 p 5 erit proportio lineæ t z ad lineam z d, ſicut lineæ k e ad lineam d e: ergo per 2 p 6 linea t k eſt ę-
quidiſtans lineę ez: erit ergo per eandem 2 p 6 & per 18 p 5 proportio lineę l d ad lineam d u, ſicut li-
neę d k ad lineam d e, & ſicut lineę d t ad lineam d z: proportio ergo lineę l d ad lineẽ d u eſt maior
proportione lineę n d ad lineam d u: ergo per 10 p 5 linea l d eſt maior quàm linea n d: ergo punctus
n eſt inter puncta l & u: ſed punctus n eſt imago puncti u: & duo puncta t & k ſunt imagines duorũ
punctorũ z & e: ergo imago lineę z u e rectæ eſt linea tranſiens per tria puncta t, n, k: linea uerò per-
tranſiens hæc puncta eſt conuexa. Patet ergo quòd imago lineę z e rectę uidebitur in hoc ſitu con-
uexa. Et hoc eſt propoſitum.
58. In quibuſdam ſitibus reflexione facta à ſpeculis ſphœricis concauis, uiſus comprehendet i-
maginem concauam reflexam ex linea concaua uel conuexa. Alhazen 50 n 6.
maginem concauam reflexam ex linea concaua uel conuexa. Alhazen 50 n 6.
Sit diſpoſitio omnino, quę in pręcedente.
Quia itaq;
, ut patet in præmiſſa, imago formæ puncti o
eſt punctum q, & imago formę puncti z eſt punctum t, & imago ſormæ puncti e eſt punctũ k: erit er-
go linea concaua reſpectu uiſus, quæ eſt t q k, imago lineę curuę reſpectu uiſus, conuexę tamen re-
ſpectu ſpeculi, quæ eſt linea z o e. Similiter quoq; , ſi in linea z u ſignetur punctum m, qualitercunq;
hoc contingat: & circa centrum m ſecundum longitudinẽ ſemidiametri m u deſcribatur arcus par-
ui circuli, qui ſit r u ſ: hic ergo arcus ſecabit circulum z o e in duobus punctis per 10 p 3: ſint illa duo
puncta f & r: & ducantur lineæ d r & d f: quę protrahantur uſque ad arcum t q k eductum: incidatq́;
linea d f in punctum i, & linea d r in punctum p. Superficies ergo duarum linearũ h d & d p ſecabit
ſpeculum ſecundum circulum, à cuius circum ſerentię puncto aliquo duci poterunt ſecundũ angu-
los ęquales & ęqualiter ſe habentes lineę ad punctum h, in quo eſt centrũ uiſus, & a d punctũ r, qui
eſt punctus lineę uiſæ. Et ſimiliter ſuperficies duarum linearum h d & d i ſaciet in ſpeculo circulũ, à
cuius circumſerentia reflectetur ad uiſum ſorma puncti ſarcus r u f. Eſt ergo punctus p imago for-
eſt punctum q, & imago formę puncti z eſt punctum t, & imago ſormæ puncti e eſt punctũ k: erit er-
go linea concaua reſpectu uiſus, quæ eſt t q k, imago lineę curuę reſpectu uiſus, conuexę tamen re-
ſpectu ſpeculi, quæ eſt linea z o e. Similiter quoq; , ſi in linea z u ſignetur punctum m, qualitercunq;
hoc contingat: & circa centrum m ſecundum longitudinẽ ſemidiametri m u deſcribatur arcus par-
ui circuli, qui ſit r u ſ: hic ergo arcus ſecabit circulum z o e in duobus punctis per 10 p 3: ſint illa duo
puncta f & r: & ducantur lineæ d r & d f: quę protrahantur uſque ad arcum t q k eductum: incidatq́;
linea d f in punctum i, & linea d r in punctum p. Superficies ergo duarum linearũ h d & d p ſecabit
ſpeculum ſecundum circulum, à cuius circum ſerentię puncto aliquo duci poterunt ſecundũ angu-
los ęquales & ęqualiter ſe habentes lineę ad punctum h, in quo eſt centrũ uiſus, & a d punctũ r, qui
eſt punctus lineę uiſæ. Et ſimiliter ſuperficies duarum linearum h d & d i ſaciet in ſpeculo circulũ, à
cuius circumſerentia reflectetur ad uiſum ſorma puncti ſarcus r u f. Eſt ergo punctus p imago for-