663361LIBER OCTAVVS.
gulus æqualis angulo r d k, qui ſit r t k:
concurrent enim illæ lineæ ambæ in uno puncto diametri,
quod eſt k: quia cum angulus r t k ſit æqualis angulo r d k per præmiſſa, & angulus k r t ſit æqualis
angulo k r d per 59 th. 1 huius. trigoni ergo d k r & t k r ſunt æquianguli per 32 p 1: ergo per 4 p 6 late
ra illorum trigonorum ſunt proportionalia. Sed linea r t æqualis eſt lineæ d r per 58 th. 1 huius:
erit ergo linea k r æqualis ſibijpſi: concurrent ergo lineæ d k & t k in puncto uno diametri b p, quod
eſt k. Poſitis itaq; duobus oculis diuerſorũ uιdentiũ in punctis g & f, & puncto rei uiſę in puncto k:
tũc forma pũcti k uidebitur ab utroq; uiſuũ reflexa à duobus pũctis ſpeculi d & t. Sed & idolũ eius
uιdebitur unũ & in eodẽloco. Producátur enim lineę g d & f t extra circulũ: cõcurrẽt itaq; ambę cũ
diametro a b ꝓducta ք 14 th. 1 huius: quonia anguli g p b & f p b ſunt recti, & anguli p g d & p ſ tacu
ti, ut patet expręmiſsis: cõcurrat ergo linea g d cũ linea a b in puncto l. Dico quod linea ft cócurret
cũ eadem lιnea a b in eodẽ puncto l. Cum enim angulus q d g ſit æqualis angulo f t m, ut ſuprà pa-
tuit, & angulus r d l ſit æqualis angulo g d q per 15 p 1, & angulus r t l æqualis angulo f t m: erit angu-
lus r d l æqualis angulo r t l: ſed & angulus t r b eſt æqualis angulo b r d per 59 th. 1 huius: ergo per
13 p 1 angulus t r l eſt æqualis angulo d r l: ergo per 32 p 1 trigoni t r l & d r l ſunt æquianguli. Ergo cũ
linea tr ſit æqualis lineæ r d per 58th. 1 huius: erit per 4 p 6 linea r l æqualis ſibijpſi, & lιnea t l æqua
lis lineæ d l. In uno ergo puncto diametri a b l concurrent lineæ t l & d l: & hoc eſt punctum l. Patet
ergo cum per 37 th. 5 huius punctus l ſit locus imagιnis formæ puncti rei uiſæ, qui eſt k, quòd am bo
bus uiſibus uni exiſtenti in puncto g, & alij in puncto f unica tantùm occurrit imago: uiſibus uerò
permutatis ab hoc ſitu, plures occurrunt imagines. Et hoc eſt propoſitum. Quandocunq; tamen
aliquid in his ſpeculis percipitur duplici uiſu, ſi linea reflexionis æquidiftãs fuerit catheto inciden
tiæ: erit locus imaginis ipſe punctus reflexionis per 11 huius: & cum diſtant à ſe puncta reflexionis,
reſpectu amborũ uiſuum: apparebunt uiſibus duæ imagines eiuſdem puncti, & locus cuiuſq; ima-
ginis eſt in ipſo puncto ſuæ reflexionis. Si uerò linea reflexionis non ſit æquidiſtãs catheto inciden
tiæ, & punctus rei uiſæ tantùm diſtet ab uno uiſu, quantùm ab altero: uel ſit modica differentia di-
ſtantιæ, ſi locus imaginis fuerit in ipſa ſuperficie uiſus: duæ adhuc imagines uidebuntur: aliàs autẽ
ut plurimùm locus imaginis reſpectu utriuſq; uiſus eritidem, aut modicùm diſtans: unde aut tan-
tùm una uidebitur imago, aut penè una.
quod eſt k: quia cum angulus r t k ſit æqualis angulo r d k per præmiſſa, & angulus k r t ſit æqualis
angulo k r d per 59 th. 1 huius. trigoni ergo d k r & t k r ſunt æquianguli per 32 p 1: ergo per 4 p 6 late
ra illorum trigonorum ſunt proportionalia. Sed linea r t æqualis eſt lineæ d r per 58 th. 1 huius:
erit ergo linea k r æqualis ſibijpſi: concurrent ergo lineæ d k & t k in puncto uno diametri b p, quod
eſt k. Poſitis itaq; duobus oculis diuerſorũ uιdentiũ in punctis g & f, & puncto rei uiſę in puncto k:
tũc forma pũcti k uidebitur ab utroq; uiſuũ reflexa à duobus pũctis ſpeculi d & t. Sed & idolũ eius
uιdebitur unũ & in eodẽloco. Producátur enim lineę g d & f t extra circulũ: cõcurrẽt itaq; ambę cũ
diametro a b ꝓducta ք 14 th. 1 huius: quonia anguli g p b & f p b ſunt recti, & anguli p g d & p ſ tacu
ti, ut patet expręmiſsis: cõcurrat ergo linea g d cũ linea a b in puncto l. Dico quod linea ft cócurret
cũ eadem lιnea a b in eodẽ puncto l. Cum enim angulus q d g ſit æqualis angulo f t m, ut ſuprà pa-
tuit, & angulus r d l ſit æqualis angulo g d q per 15 p 1, & angulus r t l æqualis angulo f t m: erit angu-
lus r d l æqualis angulo r t l: ſed & angulus t r b eſt æqualis angulo b r d per 59 th. 1 huius: ergo per
13 p 1 angulus t r l eſt æqualis angulo d r l: ergo per 32 p 1 trigoni t r l & d r l ſunt æquianguli. Ergo cũ
linea tr ſit æqualis lineæ r d per 58th. 1 huius: erit per 4 p 6 linea r l æqualis ſibijpſi, & lιnea t l æqua
lis lineæ d l. In uno ergo puncto diametri a b l concurrent lineæ t l & d l: & hoc eſt punctum l. Patet
ergo cum per 37 th. 5 huius punctus l ſit locus imagιnis formæ puncti rei uiſæ, qui eſt k, quòd am bo
bus uiſibus uni exiſtenti in puncto g, & alij in puncto f unica tantùm occurrit imago: uiſibus uerò
permutatis ab hoc ſitu, plures occurrunt imagines. Et hoc eſt propoſitum. Quandocunq; tamen
aliquid in his ſpeculis percipitur duplici uiſu, ſi linea reflexionis æquidiftãs fuerit catheto inciden
tiæ: erit locus imaginis ipſe punctus reflexionis per 11 huius: & cum diſtant à ſe puncta reflexionis,
reſpectu amborũ uiſuum: apparebunt uiſibus duæ imagines eiuſdem puncti, & locus cuiuſq; ima-
ginis eſt in ipſo puncto ſuæ reflexionis. Si uerò linea reflexionis non ſit æquidiſtãs catheto inciden
tiæ, & punctus rei uiſæ tantùm diſtet ab uno uiſu, quantùm ab altero: uel ſit modica differentia di-
ſtantιæ, ſi locus imaginis fuerit in ipſa ſuperficie uiſus: duæ adhuc imagines uidebuntur: aliàs autẽ
ut plurimùm locus imaginis reſpectu utriuſq; uiſus eritidem, aut modicùm diſtans: unde aut tan-
tùm una uidebitur imago, aut penè una.
60. In una diametro ſpeculi ſphærici concaui poſitis ambobus oculis æqualiter à centro ſpeculi
diſtantibus, neuter uidebitur oculorum. Euclides 27th. catoptr.
diſtantibus, neuter uidebitur oculorum. Euclides 27th. catoptr.
Sit ſpeculum concauum ſphæricum a t g d:
cuius centrum z:
& diameter a d:
ſintq́;
duo oculi b
& e conſtituti in diametro a d, æqualiter diſtantes à centro z. Dico quòd neuter oculorum uidebi-
tur. Ducatur enim ſemidiameter z g perpendiculariter ſuper diametrum a d: & ducantur lineæ b g
797[Figure 797]g t d b z e a& e g. Quia ergo in trigonis e z g & b z g la-
tus e z eſt ęquale lateri z b ex hypotheſi, & la
tus z g commune: anguli quoq; e z g & b z g
ſunt æquales, quia ſunt ambo recti: erit per
4 p 1 angulus b g z æqualis angulo e g z. For-
ma ergo puncti b reflectitur ad punctum e à
puncto g ſpeculi, & econuerſo per 20 th. 5
huius. Sed neq; poſsibile eſt ab alio puncto
ſpeculi ſormam puncti b ad punctum e refle
cti. Sit enim, ut fuerit id datũ eſſe poſsibile,
ut ſorma puncti b reflectatur ad punctum e
â puncto alio ſpeculi, quod ſit t: & ducantur
lineæ b t, t e, t z: linea ergo t z diuidit angulum b t e per duo æqualia per 20 th. 5 huius: erit ergo per
3 p 6 proportio lineæ b t ad lineam t e, ſicut lineæ b z ad lineam e z: ſed linea b t eſt maior quàm
linea b g per 7 p 3: linea uero b g eſt æqualis lineæ e g, ut patuit ſuperius: linea uerò e g eſt maior
quàm linea t e per 7 p 3: erit ergo linea b t maior quàm linea e t: ergo linea b z maior erit quàm linea
e z: quod eſt contra hypotheſim & impoſsibile. Et eodem modo de quolibet puncto ſemicirculi a g
d poteſt demonſtrari. Non ergo reflectitur forma puncti b ad punctum e ab alio ſpeculi puncto
quàm à puncto g. Non ergo uidebit oculus b oculum e: ideo quia linea reflexionis, quæ eſt b g, non
concurrit cum catheto e z ducta à puncto e per centrum ſpeculi z, niſi in puncto b: & linea re-
flexionis, quæ eſt e g, non concurrit cum catheto b z, niſi in puncto e. Locus itaq; imaginis e eſt
punctus b: ſed b eſt ſimile ipſi e in forma, & e ipſi b. Non ergo cóprehenditur aliqua diſtantia, quæ
ſit cauſſa diuerſitatis inter illos uiſus. Non ergo unus uiſus percipiet formam alterius in ſeipſo exi-
ſtentis, ſed æſtimabit formam propriam ſe uidere. Non ergo unus oculus taliter diſpoſitus uiſibus
alium oculum uidebit: & hoc eſt propoſitum. Aliæ tamen partes corporis circumſtantes centrum
uiſus poterunt uideri: quarum catheti incidentiæ cum lineis ſuarum reflexionum concurrunt: ſiue
ille concurſus ſit in ſuperficie uiſus uel in alijs punctis quibuſcunq; : & circa hæc multa diuerſi-
tas uiſibus occurrit.
& e conſtituti in diametro a d, æqualiter diſtantes à centro z. Dico quòd neuter oculorum uidebi-
tur. Ducatur enim ſemidiameter z g perpendiculariter ſuper diametrum a d: & ducantur lineæ b g
797[Figure 797]g t d b z e a& e g. Quia ergo in trigonis e z g & b z g la-
tus e z eſt ęquale lateri z b ex hypotheſi, & la
tus z g commune: anguli quoq; e z g & b z g
ſunt æquales, quia ſunt ambo recti: erit per
4 p 1 angulus b g z æqualis angulo e g z. For-
ma ergo puncti b reflectitur ad punctum e à
puncto g ſpeculi, & econuerſo per 20 th. 5
huius. Sed neq; poſsibile eſt ab alio puncto
ſpeculi ſormam puncti b ad punctum e refle
cti. Sit enim, ut fuerit id datũ eſſe poſsibile,
ut ſorma puncti b reflectatur ad punctum e
â puncto alio ſpeculi, quod ſit t: & ducantur
lineæ b t, t e, t z: linea ergo t z diuidit angulum b t e per duo æqualia per 20 th. 5 huius: erit ergo per
3 p 6 proportio lineæ b t ad lineam t e, ſicut lineæ b z ad lineam e z: ſed linea b t eſt maior quàm
linea b g per 7 p 3: linea uero b g eſt æqualis lineæ e g, ut patuit ſuperius: linea uerò e g eſt maior
quàm linea t e per 7 p 3: erit ergo linea b t maior quàm linea e t: ergo linea b z maior erit quàm linea
e z: quod eſt contra hypotheſim & impoſsibile. Et eodem modo de quolibet puncto ſemicirculi a g
d poteſt demonſtrari. Non ergo reflectitur forma puncti b ad punctum e ab alio ſpeculi puncto
quàm à puncto g. Non ergo uidebit oculus b oculum e: ideo quia linea reflexionis, quæ eſt b g, non
concurrit cum catheto e z ducta à puncto e per centrum ſpeculi z, niſi in puncto b: & linea re-
flexionis, quæ eſt e g, non concurrit cum catheto b z, niſi in puncto e. Locus itaq; imaginis e eſt
punctus b: ſed b eſt ſimile ipſi e in forma, & e ipſi b. Non ergo cóprehenditur aliqua diſtantia, quæ
ſit cauſſa diuerſitatis inter illos uiſus. Non ergo unus uiſus percipiet formam alterius in ſeipſo exi-
ſtentis, ſed æſtimabit formam propriam ſe uidere. Non ergo unus oculus taliter diſpoſitus uiſibus
alium oculum uidebit: & hoc eſt propoſitum. Aliæ tamen partes corporis circumſtantes centrum
uiſus poterunt uideri: quarum catheti incidentiæ cum lineis ſuarum reflexionum concurrunt: ſiue
ille concurſus ſit in ſuperficie uiſus uel in alijs punctis quibuſcunq; : & circa hæc multa diuerſi-
tas uiſibus occurrit.
61. Si in linea à puncto medio ſemidiametri ſuper diametrũ ſpeculi ſphærici concaui perpen-
diculariter erectæ duct a æquidiſtanter diametro ambo ponantur oculi, æqualiter diſtates à cen
tro ſpeculi: imago una tantùm oculi apparebit in puncto reflexionis. Euclides 28 th catoptr.
diculariter erectæ duct a æquidiſtanter diametro ambo ponantur oculi, æqualiter diſtates à cen
tro ſpeculi: imago una tantùm oculi apparebit in puncto reflexionis. Euclides 28 th catoptr.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib