667365LIBER OCTAVVS.
66. Imagines rerum inter ſpecula ſphærica concaua & uiſus apparentes, motis rebus, uiden-
tur ad partem contrariam moueri.
tur ad partem contrariam moueri.
Sit ſpeculi ſphærici concaui circulus a b g:
cuius centrum ſit punctus d:
ſitq́;
centrum uiſus e ci-
tra centrũ ſpeculi, quod eſt d: & ex lateribus aſpicientis ſint duo puncta rei uiſæ: quę ſint z & h: quæ
803[Figure 803]a b g l c d k m h c z reflectantur ad uiſum à duobus punctis a & b: ſintq́; li
neæ reflexionum e a puncti z, & e b puncti h: ducan-
turq́; catheti incidentiæ z d c & h d k ſecantes lineas
reflexionum in punctis c & k: erunt ergo per 37 th. 5
huius puncta c & k loca imaginũ: c puncti z, & k pun-
cti h. Videbuntur itaq; formæ illorum punctorum in
diuerſis partibus alijs, quàm ſint res ipſæ per 49 hu-
ius. Quòd ſi punctus h rei uiſæ transferatur ad pun-
ctum l: & reflectatur à puncto ſpeculi g ad uiſum e: du
caturq́; linea reflexionis, quę ſit e g: & cathetus l d
m, ſecans lineam reflexionis, quæ eſt e g, in puncto m:
erit per 37 th. 5 huius punctus m locus imaginis for-
mæ puncti l. Imago itaq; puncti h, quę eſt k, erit tranſ-
lata ad partem diuerſam illi, ad quam res uera tranſ-
lata eſt. Et ſi puncta h & l fuerint ſurſum mota ſupra
uiſum: tunc imagines ipſorum, quæ ſunt k & m, uide-
buntur moueri deorſum. Et ſi puncta h & l ſuerint mo
ta ad dextram partem uiſus: formæ imaginum uide-
buntur moueri ad ſiniſtram: & ita ſemper mouentur imagines ad partem contrariam rebus. Patet
ergo propoſitum.
tra centrũ ſpeculi, quod eſt d: & ex lateribus aſpicientis ſint duo puncta rei uiſæ: quę ſint z & h: quæ
803[Figure 803]a b g l c d k m h c z reflectantur ad uiſum à duobus punctis a & b: ſintq́; li
neæ reflexionum e a puncti z, & e b puncti h: ducan-
turq́; catheti incidentiæ z d c & h d k ſecantes lineas
reflexionum in punctis c & k: erunt ergo per 37 th. 5
huius puncta c & k loca imaginũ: c puncti z, & k pun-
cti h. Videbuntur itaq; formæ illorum punctorum in
diuerſis partibus alijs, quàm ſint res ipſæ per 49 hu-
ius. Quòd ſi punctus h rei uiſæ transferatur ad pun-
ctum l: & reflectatur à puncto ſpeculi g ad uiſum e: du
caturq́; linea reflexionis, quę ſit e g: & cathetus l d
m, ſecans lineam reflexionis, quæ eſt e g, in puncto m:
erit per 37 th. 5 huius punctus m locus imaginis for-
mæ puncti l. Imago itaq; puncti h, quę eſt k, erit tranſ-
lata ad partem diuerſam illi, ad quam res uera tranſ-
lata eſt. Et ſi puncta h & l fuerint ſurſum mota ſupra
uiſum: tunc imagines ipſorum, quæ ſunt k & m, uide-
buntur moueri deorſum. Et ſi puncta h & l ſuerint mo
ta ad dextram partem uiſus: formæ imaginum uide-
buntur moueri ad ſiniſtram: & ita ſemper mouentur imagines ad partem contrariam rebus. Patet
ergo propoſitum.
67. Per ſpecula ſphærica concaua, quot libuerit, poßibile eſt formæ eiuſdem puncti imaginem
uideri. Euclides 15 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 2 catoptr.
uideri. Euclides 15 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 2 catoptr.
Fiat diſpoſitio, quæ in planis & conuexis ſphæricis ſpeculis:
& ſit centrum uiſus a:
& punctus
rei uiſæ ſit b: & ſecundum diſtantiam centri uiſus (quod eſt a) à puncto rei uiſæ, (quod eſt b) deſcri
batur polygonium æquilaterum & æquiangulum, quotcunq; angulorum placuerit: ſitq́; , exempli
804[Figure 804]d l c e g z k a b cauſſa, pentagonum: quod ſit a b g d e: fiatq́; circu-
lus circumſcribens illud polygoniũ pentagonum
per 12 p 4: & ſuper illius pentagoni angulos ortho
gonaliter ſuper lineas à centro circuli circumſcri-
bentis polygoniũ productas ad circumferentiam
ſecundum ipſorum puncta media ſtatuantur ſpe-
cula ſphærica concaua, quæ ſint partes eiuſdem
ſphæræ & æquales portiones. Patet itaq; quoniam
ſuperficies plana pentagoni a b g d e ſecabit quod-
libet ſpeculorum ſecundum circulum per 69 th. 1
huius. Vnus itaq; arcus unius illorum circulorum
ſit z g c: ducanturq́; lineæ contingentes quemlibet
illorum arcuum in punctis g, d, e: contingatq́; ar-
cum z g c in puncto g linea l k. Quia itaq; per 43 th.
1 huius angulus portionis, qui eſt b g z, eſt æqualis
angulo d g c: anguli quoq; contingentiæ, qui ſunt
k g z & l g c ſunt æquales: palàm ergo per 20 th. 5
huius quoniam fit reflexio formæ puncti b à puncto ſpeculi g ad punctũ ſpeculi alterius, quod eſt
d. Et ſimiliter per eandem demonſtrationem fiet reflexio à puncto d ad punctum ſpeculi alterius,
quod eſt e, & à puncto e ad centrum uiſus, quod eſt a. Palàm ergo propoſitum. Et ſic quotcunq; fue
rint anguli polygonij, tot aſſumantur ſpecula, & ſemper accidet illud, quod præmiſſum eſt.
rei uiſæ ſit b: & ſecundum diſtantiam centri uiſus (quod eſt a) à puncto rei uiſæ, (quod eſt b) deſcri
batur polygonium æquilaterum & æquiangulum, quotcunq; angulorum placuerit: ſitq́; , exempli
804[Figure 804]d l c e g z k a b cauſſa, pentagonum: quod ſit a b g d e: fiatq́; circu-
lus circumſcribens illud polygoniũ pentagonum
per 12 p 4: & ſuper illius pentagoni angulos ortho
gonaliter ſuper lineas à centro circuli circumſcri-
bentis polygoniũ productas ad circumferentiam
ſecundum ipſorum puncta media ſtatuantur ſpe-
cula ſphærica concaua, quæ ſint partes eiuſdem
ſphæræ & æquales portiones. Patet itaq; quoniam
ſuperficies plana pentagoni a b g d e ſecabit quod-
libet ſpeculorum ſecundum circulum per 69 th. 1
huius. Vnus itaq; arcus unius illorum circulorum
ſit z g c: ducanturq́; lineæ contingentes quemlibet
illorum arcuum in punctis g, d, e: contingatq́; ar-
cum z g c in puncto g linea l k. Quia itaq; per 43 th.
1 huius angulus portionis, qui eſt b g z, eſt æqualis
angulo d g c: anguli quoq; contingentiæ, qui ſunt
k g z & l g c ſunt æquales: palàm ergo per 20 th. 5
huius quoniam fit reflexio formæ puncti b à puncto ſpeculi g ad punctũ ſpeculi alterius, quod eſt
d. Et ſimiliter per eandem demonſtrationem fiet reflexio à puncto d ad punctum ſpeculi alterius,
quod eſt e, & à puncto e ad centrum uiſus, quod eſt a. Palàm ergo propoſitum. Et ſic quotcunq; fue
rint anguli polygonij, tot aſſumantur ſpecula, & ſemper accidet illud, quod præmiſſum eſt.
68. A ſpeculis ſphæricis concauis ſoli oppoſitis ignem poßibile est accendi. Euclides 31
th. catoptr.
th. catoptr.
Eſto ſpeculum ſphæricum concauum ſoli oppoſitum:
in quo ſignetur circulus k a b g x, cuius
centrum ſit c: ſitq́; , ut ſuperficies plana ſecans ſpeculum ſecundum hunc circulum ſecet etiam cor-
pus ſolis trans centrum: ergo per 69 th. 1 huius communis ſectio illius ſuperficiei planæ & ſolis e-
rit circulus magnus, qui ſit d e z: & ab aliquo puncto illius circuli ſolaris, ut à puncto d, ducatur li-
nea, ſecundum quam procedens radius ad centrum ſpeculi, quod eſt c, incidat in punctum ſpeculi,
quod ſit g: & à puncto circuli ſolis, quod ſit e, procedens radius ad centrum ſpeculi, quod eſt c, inci-
dat in punctum ſpeculi b: & à puncto ſolis, quod ſit z, incidens radius per centrum ſpeculi c, cadat
in punctum ſpeculi a. Quia ergo omnes radij tranſeuntes per centrum c ſunt perpendiculares ſu-
centrum ſit c: ſitq́; , ut ſuperficies plana ſecans ſpeculum ſecundum hunc circulum ſecet etiam cor-
pus ſolis trans centrum: ergo per 69 th. 1 huius communis ſectio illius ſuperficiei planæ & ſolis e-
rit circulus magnus, qui ſit d e z: & ab aliquo puncto illius circuli ſolaris, ut à puncto d, ducatur li-
nea, ſecundum quam procedens radius ad centrum ſpeculi, quod eſt c, incidat in punctum ſpeculi,
quod ſit g: & à puncto circuli ſolis, quod ſit e, procedens radius ad centrum ſpeculi, quod eſt c, inci-
dat in punctum ſpeculi b: & à puncto ſolis, quod ſit z, incidens radius per centrum ſpeculi c, cadat
in punctum ſpeculi a. Quia ergo omnes radij tranſeuntes per centrum c ſunt perpendiculares ſu-