677375LIBER NONVS.
inter iacentis ſemidiametros a h & b h:
quæ ſint puncta g, d, e:
& ducantur lineæ a g, h g, b g, a d, h d,
b d, a e, h e, b e: & à puncto a rei uiſæ ducantur in eadem ſuperficie tres lineæ æquidiſtantes tribus
ſemidiametris, quæ ſunt h g, h d, h e: quæ lineæ æquidiſtantes ſint a k, a f, an: ita quòd linea a k ſit
æquidiſtás ſemidiametro h g: & linea a f ſemidiametro h d: & linea a n ſemidiametro h e. Cum itaq;
linea a k ſit æquidiſtãs ſemidiametro h g, & linea
812[Figure 812]s z o r x a h k g m b d e i t f q p f n b g concurrat cum eadem ſemidi a metro in pũcto
g: palàm per 2 th. 1 huius quoniá linea b g concur-
ret cum linea a k: ſit ergo punctus cócurſus k. Si-
militer quoq; per eandem ration em linea b d con
curret cum linea a f: ſit concurſus punctus f: ſimi-
liter quoque linea b e concurret cum linea a n: ſit
punctus cõcurſus n. Deinde à puncto b erigatur
perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli, cuius
centrum h, per 12 p 11: quæſit b t: & quoniam axis
x h eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem illius cir-
culi: erit per 6 p 11 linea b t æquidiſtãs axi x h. Su-
matur quoq; in linea b t punctũ quodcũq; , quod
ſit t: & ab illo ducantur tres lineę ad tria puncta k,
f, n, quæ ſint lineæ t k, t f, t n: & à tribus punctis g,
d, e erigantur per 12 p 11 tres perpẽdiculares ſuper
ſuperficiem circuli, cuius cẽtrum h: quæ ſint g m,
d l, e q: erunt ergo per 6 p 11 lineæ b t & e q æ qui-
diſtantes. Et quoniam, ut patet per 1 th. 1 huius, o-
mnes lineę æquidiſtantes ſunt in eadẽ ſuperficie:
palàm per 1 p 11 quoniã lineæ b t & e q ſunt in ſu-
perficie trianguli b t n: igitur linea e q ſecabit li-
neam t n: ſit ut ſecet ipſam in puncto q: & penitus
per eundem modum ſit, ut linea d l ſecet lineam t
fin puncto l: & linea g m ſecet lineam t k in pũcto
m: eruntq́; per 92th. 1 huius hæ tres lineæ ſcilicet
e q & d l & g m partes linearum longitudinis ſpe-
culi: cum ſint in ſuperficie columnæ ſpeculi per-
pendiculariter productæ ſuper ſuper ficiẽ circuli,
cuius centrum h: & per conſequẽs ſint erectæ ſu-
per baſes ſpeculi per 23 th. 1 huius. Et à puncto q
ducatur per 31 p 1 linea æ quidiſtans lineæ n a: quæ
ſit linea q u: hęc itaq; per 30 p 1 erit æquidiſtans li-
neæ h e: quoniam ipſa h e æquidiſtat lineæ a n, ut patet ex præmiſsis. Quia itaq; axis x h concurrit
cum linea h e in puncto h: palàm per 2 th. 1 huius quoniam ipſe axis cõcurret cum eius æquidiſtan-
te ducta à puncto q: ſit cõcurſus in puncto u: & ſit illa æquidiſtans linea q u: & ducatur linea t a: hæc
itaq; ſecabit lineam q u: quoniã linea q u ducitur à latere trianguli t b n, & à termino lineę e q æqui-
diſtantis baſi t b, & omnes illæ lineæ ſunt in eadem ſuperficie, lineaq́; t a producta eſt inter lineam
t u æquidiſtantem axi h u, & inter ipſum axem: patet quòd linea t a ſecabit lineã q u: ſunt enim am-
bæ in eadem ſuperficie: ſit itaq; linearum t a & q u pũctus ſectionis i: & ducatur linea q a. Quia itaq;
lineæ h e & a n ſunt æquidiſtátes, ut ſuprà patuit: palàm per 29 p 1 quia angulus b e h extrinſecus eſt
æqualis angulo e n a intrinſeco, & anguli h e a & e a n ſunt æquales, quia coalterni: ſed & angulus
reflexionis, qui eſt h e b, eſt æqualis angulo incidentiæ, qui eſt a e h, per 20 th. 5 huius. Erit ergo an-
gulus e a n æqualis angulo a n e: ergo per 6 p 1 in trigono e a n duo latera e a & e n ſunt æqualia: ſed
linea e q eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem trigoni a e n: quia & ſuper ſuperficiem circuli, cuius
cẽtrum eſt h, eſt erecta, ut ſuprà patuit. Cum itaq; linea q e ſit communis duobus trigonis q e a & q
e n: patet per 4 p 1 quoniam illa trigona ſunt æqualia: eritq́; linea q n æqualis lineę q a: ergo per 5 p 1
quia trigoni q a n duo latera q a & q n ſunt æqualia, erit angulus q a n æqualis angulo q n a. Quia
itaq; linea q i æquidiſtat lineæ a n: patet per 29 p 1 quoniam angulus t q i extrinſecus ęqualis eſt an-
gulo t n a intrinſeco: & angulus i q a æqualis eſt angulo q a n, quia ſunt coalterni: erit ergo angulus
i q t æqualis angulo i q a. Forma itaq; puncti a per 20 th. 5 huius reflectetur ad uiſum exiſtentem in
puncto t à puncto ſpeculi, quod eſt q. Et eodem modo demonſtrandum quòd forma puncti a refle-
ctitur ad uiſum exiſtentem in puncto t ab alijs duobus punctis ſpeculi ſimilibus puncto q, quę ſunt
puncta l & m. Sic ergo formæ puncti a ad uiſum in punctum t fiet reflexio à tribus punctis ſpeculi
columnaris concaui, quę ſunt q, l, m, & ex eadem parte colũnæ ſpeculi: nec eſt poſsibile, ut fiat eiuſ-
modi reflexio à pluribus punctis ſpeculi exilla parte. Si enim detur quodcunq; pũctum ſuperficiei
ſpeculi columnaris concaui aliud ab iſtis tribus, à quo dicatur poſſe fieri reflexio formę puncti a ad
uiſum in punctum t: ducatur ab illo puncto dato linea longitudinis ſpeculi ſuper circulum, cuius
centrum h: & oſten detur modo præmiſſo, quòd à puncto peripheriæ illius circuli, cui incidit illa li-
nea longitudinis, poteſt forma puncti a reflecti ad uiſum exiſtentẽ in pũcto b: & ſic à quatuor pun-
b d, a e, h e, b e: & à puncto a rei uiſæ ducantur in eadem ſuperficie tres lineæ æquidiſtantes tribus
ſemidiametris, quæ ſunt h g, h d, h e: quæ lineæ æquidiſtantes ſint a k, a f, an: ita quòd linea a k ſit
æquidiſtás ſemidiametro h g: & linea a f ſemidiametro h d: & linea a n ſemidiametro h e. Cum itaq;
linea a k ſit æquidiſtãs ſemidiametro h g, & linea
812[Figure 812]s z o r x a h k g m b d e i t f q p f n b g concurrat cum eadem ſemidi a metro in pũcto
g: palàm per 2 th. 1 huius quoniá linea b g concur-
ret cum linea a k: ſit ergo punctus cócurſus k. Si-
militer quoq; per eandem ration em linea b d con
curret cum linea a f: ſit concurſus punctus f: ſimi-
liter quoque linea b e concurret cum linea a n: ſit
punctus cõcurſus n. Deinde à puncto b erigatur
perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli, cuius
centrum h, per 12 p 11: quæſit b t: & quoniam axis
x h eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem illius cir-
culi: erit per 6 p 11 linea b t æquidiſtãs axi x h. Su-
matur quoq; in linea b t punctũ quodcũq; , quod
ſit t: & ab illo ducantur tres lineę ad tria puncta k,
f, n, quæ ſint lineæ t k, t f, t n: & à tribus punctis g,
d, e erigantur per 12 p 11 tres perpẽdiculares ſuper
ſuperficiem circuli, cuius cẽtrum h: quæ ſint g m,
d l, e q: erunt ergo per 6 p 11 lineæ b t & e q æ qui-
diſtantes. Et quoniam, ut patet per 1 th. 1 huius, o-
mnes lineę æquidiſtantes ſunt in eadẽ ſuperficie:
palàm per 1 p 11 quoniã lineæ b t & e q ſunt in ſu-
perficie trianguli b t n: igitur linea e q ſecabit li-
neam t n: ſit ut ſecet ipſam in puncto q: & penitus
per eundem modum ſit, ut linea d l ſecet lineam t
fin puncto l: & linea g m ſecet lineam t k in pũcto
m: eruntq́; per 92th. 1 huius hæ tres lineæ ſcilicet
e q & d l & g m partes linearum longitudinis ſpe-
culi: cum ſint in ſuperficie columnæ ſpeculi per-
pendiculariter productæ ſuper ſuper ficiẽ circuli,
cuius centrum h: & per conſequẽs ſint erectæ ſu-
per baſes ſpeculi per 23 th. 1 huius. Et à puncto q
ducatur per 31 p 1 linea æ quidiſtans lineæ n a: quæ
ſit linea q u: hęc itaq; per 30 p 1 erit æquidiſtans li-
neæ h e: quoniam ipſa h e æquidiſtat lineæ a n, ut patet ex præmiſsis. Quia itaq; axis x h concurrit
cum linea h e in puncto h: palàm per 2 th. 1 huius quoniam ipſe axis cõcurret cum eius æquidiſtan-
te ducta à puncto q: ſit cõcurſus in puncto u: & ſit illa æquidiſtans linea q u: & ducatur linea t a: hæc
itaq; ſecabit lineam q u: quoniã linea q u ducitur à latere trianguli t b n, & à termino lineę e q æqui-
diſtantis baſi t b, & omnes illæ lineæ ſunt in eadem ſuperficie, lineaq́; t a producta eſt inter lineam
t u æquidiſtantem axi h u, & inter ipſum axem: patet quòd linea t a ſecabit lineã q u: ſunt enim am-
bæ in eadem ſuperficie: ſit itaq; linearum t a & q u pũctus ſectionis i: & ducatur linea q a. Quia itaq;
lineæ h e & a n ſunt æquidiſtátes, ut ſuprà patuit: palàm per 29 p 1 quia angulus b e h extrinſecus eſt
æqualis angulo e n a intrinſeco, & anguli h e a & e a n ſunt æquales, quia coalterni: ſed & angulus
reflexionis, qui eſt h e b, eſt æqualis angulo incidentiæ, qui eſt a e h, per 20 th. 5 huius. Erit ergo an-
gulus e a n æqualis angulo a n e: ergo per 6 p 1 in trigono e a n duo latera e a & e n ſunt æqualia: ſed
linea e q eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem trigoni a e n: quia & ſuper ſuperficiem circuli, cuius
cẽtrum eſt h, eſt erecta, ut ſuprà patuit. Cum itaq; linea q e ſit communis duobus trigonis q e a & q
e n: patet per 4 p 1 quoniam illa trigona ſunt æqualia: eritq́; linea q n æqualis lineę q a: ergo per 5 p 1
quia trigoni q a n duo latera q a & q n ſunt æqualia, erit angulus q a n æqualis angulo q n a. Quia
itaq; linea q i æquidiſtat lineæ a n: patet per 29 p 1 quoniam angulus t q i extrinſecus ęqualis eſt an-
gulo t n a intrinſeco: & angulus i q a æqualis eſt angulo q a n, quia ſunt coalterni: erit ergo angulus
i q t æqualis angulo i q a. Forma itaq; puncti a per 20 th. 5 huius reflectetur ad uiſum exiſtentem in
puncto t à puncto ſpeculi, quod eſt q. Et eodem modo demonſtrandum quòd forma puncti a refle-
ctitur ad uiſum exiſtentem in puncto t ab alijs duobus punctis ſpeculi ſimilibus puncto q, quę ſunt
puncta l & m. Sic ergo formæ puncti a ad uiſum in punctum t fiet reflexio à tribus punctis ſpeculi
columnaris concaui, quę ſunt q, l, m, & ex eadem parte colũnæ ſpeculi: nec eſt poſsibile, ut fiat eiuſ-
modi reflexio à pluribus punctis ſpeculi exilla parte. Si enim detur quodcunq; pũctum ſuperficiei
ſpeculi columnaris concaui aliud ab iſtis tribus, à quo dicatur poſſe fieri reflexio formę puncti a ad
uiſum in punctum t: ducatur ab illo puncto dato linea longitudinis ſpeculi ſuper circulum, cuius
centrum h: & oſten detur modo præmiſſo, quòd à puncto peripheriæ illius circuli, cui incidit illa li-
nea longitudinis, poteſt forma puncti a reflecti ad uiſum exiſtentẽ in pũcto b: & ſic à quatuor pun-