6856IO. BAPT. BENED.
poſitorum .3. et .2. multiplicato .3. per .10. ſummam .6. cum .4. dantur .30. quod pro-
ductum æquale erit producto .2. per .15. nempe per ſummam 9. et .6.
ductum æquale erit producto .2. per .15. nempe per ſummam 9. et .6.
Quod vt cognoſcamus, tres quan
94[Figure 94]
titates continuæ proportionales ſint
b.a.p. proportione .d.q. productum
autem .d. in ſummam .a. cum .p. ſit .f.t.
& productum .q. in ſummam .b.a. ſit .
K.h. et .K.n. ſit æqualis .b. et .n.o. æqua
lis .a. & ita etiam .o.u. eidem .a. et .u.t.
æqualis .p. et .h.o. ipſi .q. et .f.o. ipſi .d.
quare ita ſe habebit .K.n. ad .n.o. ſicut
o.u. ad .u.t. & componendo .K.o. ad .
n.o. vt .o.t. ad .u.t. & permutando .K.
o. ad .o.t. vt .n.o. hoc eſt .o.u. ad .u.t. &
pariter .f.o. ad .o.h. vt .o.u. ad .u.t. Ita-
que ſicut .k.o. ad .o.t. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .K.h. æqualis erit .f.t.
b.a.p. proportione .d.q. productum
autem .d. in ſummam .a. cum .p. ſit .f.t.
& productum .q. in ſummam .b.a. ſit .
K.h. et .K.n. ſit æqualis .b. et .n.o. æqua
lis .a. & ita etiam .o.u. eidem .a. et .u.t.
æqualis .p. et .h.o. ipſi .q. et .f.o. ipſi .d.
quare ita ſe habebit .K.n. ad .n.o. ſicut
o.u. ad .u.t. & componendo .K.o. ad .
n.o. vt .o.t. ad .u.t. & permutando .K.
o. ad .o.t. vt .n.o. hoc eſt .o.u. ad .u.t. &
pariter .f.o. ad .o.h. vt .o.u. ad .u.t. Ita-
que ſicut .k.o. ad .o.t. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .K.h. æqualis erit .f.t.
THEOREMA LXXXVI.
CVR multiplicatis ſingulis tribus quantitatibus continuis proportionalibus in
reliquas duas, ſex producta æqualia ſint producto dupli ſummæ ipſarum trium
in mediam proportionalem.
reliquas duas, ſex producta æqualia ſint producto dupli ſummæ ipſarum trium
in mediam proportionalem.
Exempli gratia, proponuntur hitres termini continui proportionales .9. 6. 4. pro
ductum .9. in .6. erit .54. at .9. in .4. erit .36. et .6. in .9: 54. et .6. in .4: 24. et .4. in .9: 36. et .
4. in .6: 24. quæ producta ſimul collecta efficiunt numerum .228 ſed tantum eſt pro-
ductum dupli ſummæ trium terminorum in ſecundum nempe .38 in .6.
ductum .9. in .6. erit .54. at .9. in .4. erit .36. et .6. in .9: 54. et .6. in .4: 24. et .4. in .9: 36. et .
4. in .6: 24. quæ producta ſimul collecta efficiunt numerum .228 ſed tantum eſt pro-
ductum dupli ſummæ trium terminorum in ſecundum nempe .38 in .6.
Cuius intelligentiæ cauſa, tres termini continui proportionales ſignificentur linea .
b.e. nempe .b.d: d.c: c.e. cuius duplum ſit .u.e. et .b.f. æqualis ſit .b.d. et .f.n: d.c. et .n.u:
c. e productum verò .u.e. in .d.c.ſit .u.s. cui dico æqualem eſſe ſummam productorum
ſingulorum trium terminorum in reliquos duos. Quamobrem ducantur perpendi-
culares .c.g: d.o: b.i: f.a. et .n.p. inter .u.e. et .q.s. ex quo pro producto .c.e. in .c.d. ha-
bebimus rectangulum .c.s. & rectan-
95[Figure 95]
gulum .d.g. pro producto .c.e. in .d.b.
ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi itemq́ue
rectangulum .q.n. pro producto .d.c.
in .c.e. & rectangulum .b.o. ex .d.c. in .
b.d. & rectangulum .b.a. ex .b.d. in .d.
c. et .p.f. ex .d.b. in .c.e. ex .16. aut .20.
prędictas. Quare ſex producta æquantur inter ſe, replentque productum .u.s. ex quo
verum eſt propoſitum.
b.e. nempe .b.d: d.c: c.e. cuius duplum ſit .u.e. et .b.f. æqualis ſit .b.d. et .f.n: d.c. et .n.u:
c. e productum verò .u.e. in .d.c.ſit .u.s. cui dico æqualem eſſe ſummam productorum
ſingulorum trium terminorum in reliquos duos. Quamobrem ducantur perpendi-
culares .c.g: d.o: b.i: f.a. et .n.p. inter .u.e. et .q.s. ex quo pro producto .c.e. in .c.d. ha-
bebimus rectangulum .c.s. & rectan-
ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi itemq́ue
rectangulum .q.n. pro producto .d.c.
in .c.e. & rectangulum .b.o. ex .d.c. in .
b.d. & rectangulum .b.a. ex .b.d. in .d.
c. et .p.f. ex .d.b. in .c.e. ex .16. aut .20.
prędictas. Quare ſex producta æquantur inter ſe, replentque productum .u.s. ex quo
verum eſt propoſitum.
THEOREMA LXXXVII.
QVA ratione cognoſci poſſit verum eſſe proportionem ſummæ quatuor quan-
titatum continuarum proportionalium ad ſummam ſecundæ & tertiæ, ean-
dem eſſe, quæ ſummæ primæ & tertiæ ad ſecundam ſimplicem.
titatum continuarum proportionalium ad ſummam ſecundæ & tertiæ, ean-
dem eſſe, quæ ſummæ primæ & tertiæ ad ſecundam ſimplicem.
Exempli gratia, ſi inue nirentur hæ quatuor quantitates continuæ proportiona-
es .16. 8. 4. 2. earum ſumma erit .30. ſunima verò ſecundæ & tertiæ .12. tum ſumma
es .16. 8. 4. 2. earum ſumma erit .30. ſunima verò ſecundæ & tertiæ .12. tum ſumma