680378VITELLONIS OPTICAE
punctus b motu ſuo deſcribet circulum in ſuperficie cõcaua ſpeculi:
& à quolibet puncto periphe-
riæ illius circuli reflectetur forma puncti t ad uiſum exiſtentem in puncto h. Similiter quoq; l motu
ſuo deſcribet circulum extra ſpdculum, in cuius totali peripheria erit locus imaginis formæ puncti
t: quoniam in tota illius circuli peripheria catheti incidentiæ formæ puncti t, & lineæ reflexionum
formæ puncti t ad uiſum h, concurrent. Patet itaq; propoſitum.
riæ illius circuli reflectetur forma puncti t ad uiſum exiſtentem in puncto h. Similiter quoq; l motu
ſuo deſcribet circulum extra ſpdculum, in cuius totali peripheria erit locus imaginis formæ puncti
t: quoniam in tota illius circuli peripheria catheti incidentiæ formæ puncti t, & lineæ reflexionum
formæ puncti t ad uiſum h, concurrent. Patet itaq; propoſitum.
19. In pyramidalibus concauis ſpeculis cõmuni ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi oxy-
gonia exiſtente, & centro uiſus, punctó rei uiſæ exiſtentibus in eadem ſuperficie baſis ſpeculi,
aut ei æquidiſtantis, ne ſit ipſorum aliquod in axe ſpeculi: formarum punctorum rei uiſæ qua-
rundam fit ab uno tantùm pũcto ſpeculi reflexio: quarundã à quarundã à tribus: qua-
rundã à quatuor: nõ aũt à pluribus: & ſecundũ hæc loca imaginũ numerãtur. Alhaz. 100 n 5.
gonia exiſtente, & centro uiſus, punctó rei uiſæ exiſtentibus in eadem ſuperficie baſis ſpeculi,
aut ei æquidiſtantis, ne ſit ipſorum aliquod in axe ſpeculi: formarum punctorum rei uiſæ qua-
rundam fit ab uno tantùm pũcto ſpeculi reflexio: quarundã à quarundã à tribus: qua-
rundã à quatuor: nõ aũt à pluribus: & ſecundũ hæc loca imaginũ numerãtur. Alhaz. 100 n 5.
Eſto ſpeculum pyramidale concauum a g u:
cuius axis ſit a d & uertex a:
ſitq́ punctus e centrum
uifus: & ſit z punctus rei uiſæ obliquè incidens ſpeculo: ita quòd nõ ſit in aliqua linearum perpen-
dicularium ſuper ſuperficiem uiſus: neq; ſit in axe ſpeculi, qui eſt a d: neq; fiat reflexio ab aliqual li-
nearum longitudinis ſpeculi: fiat tamẽ reflexio formæ puncti z ad uiſum e ab aliquo puncto ſuper-
ficiei propoſiti ſpeculi. Erit ergo neceſſariò cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſectio
oxygonia per 2 th. huius: & ſint puncta e & z in eadẽ ſuperficie circuli baſis ſpeculi, aut æ quidiſtan-
tis ei. Dico quòd eſt poſsibile, ut ab uno tantùm pũcto ſpeculi: uel duobus: uel tribus: uel quatuor:
& non à pluribus fiat reflexio ad uiſum: & quandoq; unica apparebit imago: quandoq; duæ: quan-
doq; tres: quandoque quatuor: nec eſt poſsibile uideri plures imagines: quoniam totidem tantùm
ſunt puncta reflexionis poſsibilia. Imaginetur itaq; ſuperficies plana tranſiens per pũctum z æqui-
diſtans baſi ſpeculi: hæc itaq; ſuperficies per 100 th. 1 huius ſecabit ſpeculum ſecundum circulum:
centrum itaq; uiſus (quod eſt punctum e, ut patet ex hypotheſi) erit in ſuperficie illius circuli, cu-
ius cẽtrum ſit t: & ducatur linea e z, quæ producta ſecet illum circulum. Palàm ergo per ea, quæ de-
monſtrata ſunt in ſpeculis ſphæricis cõcauis per 40 th. 8 huius, quoniam in tali diſpoſitione forma
puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à peripheria illius circuli ex una parte, ſcilicet
ab arcu interiacente ſemidiametros, in quibus puncta z & e conſiſtunt, aut ab uno puncto ſpeculi:
aut à duobus: aut à tribus: & ex alia parte ab arcu ſcilicet interiacẽte illas ſemidiametros reliquas,
in quibus puncta z & e non conſiſtunt, ab uno tantùm puncto. Sumatur itaq; aliquis punctus cir-
culi, à quo fiat hæc reflexio, quod ſit h: & ducantur lineæ z h & e h: & ſemidiameter th. Pater itaq;
per 18 p 3 quoniam linea th eſt perpendicularis ſuper lineam circulum in puncto h contingentem:
& per 20 th. 5 huius palàm eſt quoniam linea t h diuidit angulum z h e per æqualia: ergo per 29 th. 1
815[Figure 815]a g e u t m q d o n z h p f huius linea th ſeca bit lineam e z: ſit ergo punctus ſectionis q: du-
catuŕ per 101 th. 1 huius linea longitudinis ſpeculi: quæ ſit a h: &
â puncto q ducatur linea cadens perpendiculariter ſuper lineam
a h per 12 p 1: quæ ſit q m, ſecans lineam a h in puncto m: & produ-
cta ultra punctum q fecet a xem ſpeculi, qui eſt a d, in puncto d: &
ducantur lineæ z m & e m: & à puncto z, quod eſt pũctum rei ui-
fæ ducatur in ſuperficle illius circuli linea æquidiſtans lineæ q h:
quæ ſit z l. Quia itaq; linea e h concurrit cum linea q h in puncto
h: patet per 2 th. 1 huius quoniã linea e h producta ultra punctum
h concutret cum linea z l: ſit concurſus punctus l: & à puncto h
ducatur linea perpendicularis ſuper lineam l z, quæ ſit h p: dein-
de in ſuperficie e m z ducatur à puncto z linea æ quidiſtans lineæ
q m: quæ ſit linea z o. Quia itaq; linea e m concurrit eum linea m
q: patet per 2 th. 1 huius quòd ipſa concurret cum linea z o ipſius
æ quidiſtante: ſit ergo concurſus in puncto o: & ducatur linea lo:
& à puncto p ducatur linea æ quidiſtãs lineæ l o; quæ ſit linea p n,
ſecans lineam z o in puncto n: & ducatur linea m n. Palàm itaq;
ex præ miſsis, & per 20 th. 5 huius quòd angulus e h q eſt æqualis
angulo q h z: ſed quia lineæ th & l z æquidiſtant: pater per 29 p 1
quòd anguli q h z & h z l ſunt æqualies: quia conalterni: ſed & an-
gulus q h e extrinſecus eſt æ qualis angulo h l z intrinſeco: anguli
ergo h l z & h z l ſunt æ qualies: ergo per 6 p 1 latera h l & h z ſunt
æ qualia: ſed lineæ h p eſt perpẽdicularis ſuper lineã l z baſim iſo-
ſcelis h l z: erũt ergo per 31 th. 1 huius trigona h l p & h p z ſimilia:
ergo per 4 p 6, cum linea h p ſit ambobus illis trigonis cõmunis:
erit linea l p æqualis lineæ p z: ſed in trigono l o z linea p n eſt
æquidiſtans lineæ l o: ergo per 2 p 6 erit proportio lineæ z n ad lineam on, ſicut lineæ z p ad lineam
p l. Eſt ergo linea z n æ qualis lineæ n o. Item cum, ſicut patet ex præmiſisi, linea o z ſit æ quidiſtans
lineæ q m & linea h q ſit æ quidiſtans lineæ l z: ergo p 15 p 11 erit ſuperficies z l o æ quidiſtans ſuper-
ficiei q m h: & ſuperficies e o l ſecat illas duas ſuperficies: ſuperficiẽ quidẽ q h m ſecundũ lineã h m,
& ſuperficiẽ l o z ſecundũ lineã l o: ergo per 16 p 11 cõmunes ſectiones ſuperficiei e ol cum illis dua-
bus ſuperficiebus æ quidiſtantibus ſunt æ quidiſtantes. linea ergo h m æ quidiſtabit lineæ l o: ſed
uifus: & ſit z punctus rei uiſæ obliquè incidens ſpeculo: ita quòd nõ ſit in aliqua linearum perpen-
dicularium ſuper ſuperficiem uiſus: neq; ſit in axe ſpeculi, qui eſt a d: neq; fiat reflexio ab aliqual li-
nearum longitudinis ſpeculi: fiat tamẽ reflexio formæ puncti z ad uiſum e ab aliquo puncto ſuper-
ficiei propoſiti ſpeculi. Erit ergo neceſſariò cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſectio
oxygonia per 2 th. huius: & ſint puncta e & z in eadẽ ſuperficie circuli baſis ſpeculi, aut æ quidiſtan-
tis ei. Dico quòd eſt poſsibile, ut ab uno tantùm pũcto ſpeculi: uel duobus: uel tribus: uel quatuor:
& non à pluribus fiat reflexio ad uiſum: & quandoq; unica apparebit imago: quandoq; duæ: quan-
doq; tres: quandoque quatuor: nec eſt poſsibile uideri plures imagines: quoniam totidem tantùm
ſunt puncta reflexionis poſsibilia. Imaginetur itaq; ſuperficies plana tranſiens per pũctum z æqui-
diſtans baſi ſpeculi: hæc itaq; ſuperficies per 100 th. 1 huius ſecabit ſpeculum ſecundum circulum:
centrum itaq; uiſus (quod eſt punctum e, ut patet ex hypotheſi) erit in ſuperficie illius circuli, cu-
ius cẽtrum ſit t: & ducatur linea e z, quæ producta ſecet illum circulum. Palàm ergo per ea, quæ de-
monſtrata ſunt in ſpeculis ſphæricis cõcauis per 40 th. 8 huius, quoniam in tali diſpoſitione forma
puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à peripheria illius circuli ex una parte, ſcilicet
ab arcu interiacente ſemidiametros, in quibus puncta z & e conſiſtunt, aut ab uno puncto ſpeculi:
aut à duobus: aut à tribus: & ex alia parte ab arcu ſcilicet interiacẽte illas ſemidiametros reliquas,
in quibus puncta z & e non conſiſtunt, ab uno tantùm puncto. Sumatur itaq; aliquis punctus cir-
culi, à quo fiat hæc reflexio, quod ſit h: & ducantur lineæ z h & e h: & ſemidiameter th. Pater itaq;
per 18 p 3 quoniam linea th eſt perpendicularis ſuper lineam circulum in puncto h contingentem:
& per 20 th. 5 huius palàm eſt quoniam linea t h diuidit angulum z h e per æqualia: ergo per 29 th. 1
815[Figure 815]a g e u t m q d o n z h p f huius linea th ſeca bit lineam e z: ſit ergo punctus ſectionis q: du-
catuŕ per 101 th. 1 huius linea longitudinis ſpeculi: quæ ſit a h: &
â puncto q ducatur linea cadens perpendiculariter ſuper lineam
a h per 12 p 1: quæ ſit q m, ſecans lineam a h in puncto m: & produ-
cta ultra punctum q fecet a xem ſpeculi, qui eſt a d, in puncto d: &
ducantur lineæ z m & e m: & à puncto z, quod eſt pũctum rei ui-
fæ ducatur in ſuperficle illius circuli linea æquidiſtans lineæ q h:
quæ ſit z l. Quia itaq; linea e h concurrit cum linea q h in puncto
h: patet per 2 th. 1 huius quoniã linea e h producta ultra punctum
h concutret cum linea z l: ſit concurſus punctus l: & à puncto h
ducatur linea perpendicularis ſuper lineam l z, quæ ſit h p: dein-
de in ſuperficie e m z ducatur à puncto z linea æ quidiſtans lineæ
q m: quæ ſit linea z o. Quia itaq; linea e m concurrit eum linea m
q: patet per 2 th. 1 huius quòd ipſa concurret cum linea z o ipſius
æ quidiſtante: ſit ergo concurſus in puncto o: & ducatur linea lo:
& à puncto p ducatur linea æ quidiſtãs lineæ l o; quæ ſit linea p n,
ſecans lineam z o in puncto n: & ducatur linea m n. Palàm itaq;
ex præ miſsis, & per 20 th. 5 huius quòd angulus e h q eſt æqualis
angulo q h z: ſed quia lineæ th & l z æquidiſtant: pater per 29 p 1
quòd anguli q h z & h z l ſunt æqualies: quia conalterni: ſed & an-
gulus q h e extrinſecus eſt æ qualis angulo h l z intrinſeco: anguli
ergo h l z & h z l ſunt æ qualies: ergo per 6 p 1 latera h l & h z ſunt
æ qualia: ſed lineæ h p eſt perpẽdicularis ſuper lineã l z baſim iſo-
ſcelis h l z: erũt ergo per 31 th. 1 huius trigona h l p & h p z ſimilia:
ergo per 4 p 6, cum linea h p ſit ambobus illis trigonis cõmunis:
erit linea l p æqualis lineæ p z: ſed in trigono l o z linea p n eſt
æquidiſtans lineæ l o: ergo per 2 p 6 erit proportio lineæ z n ad lineam on, ſicut lineæ z p ad lineam
p l. Eſt ergo linea z n æ qualis lineæ n o. Item cum, ſicut patet ex præmiſisi, linea o z ſit æ quidiſtans
lineæ q m & linea h q ſit æ quidiſtans lineæ l z: ergo p 15 p 11 erit ſuperficies z l o æ quidiſtans ſuper-
ficiei q m h: & ſuperficies e o l ſecat illas duas ſuperficies: ſuperficiẽ quidẽ q h m ſecundũ lineã h m,
& ſuperficiẽ l o z ſecundũ lineã l o: ergo per 16 p 11 cõmunes ſectiones ſuperficiei e ol cum illis dua-
bus ſuperficiebus æ quidiſtantibus ſunt æ quidiſtantes. linea ergo h m æ quidiſtabit lineæ l o: ſed