682380VITELLONIS OPTICAE
quem continet linea longitudinis cum ſemidiam etro baſis:
patet ergo per 14 th.
1 huius quoniam
lineæ o p & q t concurrunt in aliquo puncto productæ ultra puncta d & q. Cum ita linea z f ſit
æquidiſtans lineæ q t, & linea z k æ quidiſtãs lineæ o p, & lineæ z f & z k concurrãtin puncto z: lineę
quoq; d p & q t ſimiliter concurrant in aliquo puncto, ut præ oſtenſum eſt: patet quod ſuperficies
f k z, & ſuperficies o p q t, quæ eſt ſuperficies a q t, ſunt æ quidiſtantes per 15 p 11. Quod qutem ſuper-
ficies o p q t ſit pars ſuperficiei a q t, patet ex his. Quoniam enim linea p o producta cadit in pun-
ctum axis, quod eſt d, patet per 1 p 11 quòd linea p o eſt in ſuperficie a q t: ſed & linea q t eſt in illa ſu-
816[Figure 816]a u e g d o p h q n z i k t s fperſicie: tota ergo ſuperficies o p q t eſt pars ſuperficiei a q k.
Et quia ſuperficies h k f ſecat duas ſuperficies z k f & a q t ſuք
duas lineast p & k f: patet quòd illæ duæ lineæ t p & k f ſunt
ęquidiſtantes per 16 p 11. Ducatur itaq; à pũcto t linea perpén
dicularis ſuք lineã z f per 12 p 1: quæ ſit linea t s: erit ergo angu
lus t s frectus: ergo ք29 p 1 angulus s t q eſt rectus: quoniã li-
neæ z f & t q æ quidiſtãt: ergo ք16 p 3 linea t s cõtingit in pun-
cto t circuliũ, cuius centrum eſt punctũ q. Superficies itaq; a
t s eſt contingens pyramidem ſpeculi: continget ergo illam
per 95 th. 1 huius ſecundum lineam longitudinis, quæ eſt a t.
Sed linea o p eſt perpendicularis ſuper lineam a t: eſt ergo li-
nea o p eracta ſuper ſuperficiem a t s contingentem pyrami-
dem: quoniam linea o p eſt in ſuperficie a q t, tranſeunte per
axem a d, & perlineam longitudinis a t: talis autem ſuperfi-
cies, ut patet per 97 th. 1 huius erecta eſt ſuper ſuperficiem
contingentem ſpeculum in linea longitudinis, quæ eſt a t.
Quia ergo ſuperficies a t s ſecat duas ſuperficies o p q t & z k
f, quæ ſunt æ quidiſtantes: patet per 16 p 11 quoniam duæ li-
neæ, quæ ſunt illarum ſuperficierum communes ſectiones,
ſunt æ quidiſtantes: quarum linearum una eſt linea p t, & alte-
ra ſit linea si ſecans lineam z k in puncto i. Patet quoq; quia
punctus i cadit inter puncta k & z: lineæ itaq; p t & siæqui-
diſtant: ſed lineæ p t & f k æquidiftant ad inuicem: quoniam
ſunt in ſuperficiebus æ quidiſtantibus: ergo per 30 p 1 lineæ si
& f k ſunt æ quidiſtantes. Et quoniam lineæ q t & z f æquidi-
ſtant: patet per 29 p 1 quòd angulus n t z eſt æqualis angulo
t z f: quia ſunt coalterni: & angulus h t n extrinſecus eſt æqua
lis angulo t f z intrinſeco: ſed anguli h t n & n t z ſunt æquales: ergo anguli t f z & t z f ſunt æquales:
ergo per 6 p 1 lineæ t f & t z ſunt æquales: & linea t s eſt perpendicularis ſuper baſim iſoſcelis t f z:
trigona itaq; partialia (quæ ſunt t s f & t s z) ſunt ſimilia per 31 th. 1 huius: ergo per 4 p 6 cum linea
ts ambobus illis trigonis ſit communis: erit linea s f æ qualis lineæ s z. Sed cum linea s i æ quidiſtet
lineæ f k in trigono f k z: erit per 2 p 6 proportio lineæ f s ad lineam s z, ſicut lineæ ki ad lineam i z:
erit ergo linea k i æ qualis lineæ i z: ducaturq́ linea p i. Cum ergo ſuperficies a t s i, in qua ducta eſt
linea p i, ſit erecta ſuper ſuperficiem z k f, in qua cadit linea z k: erit per definitionem ſuperficiei ſu-
per ſuperficiem erectæ linea p i erecta ſuper lineam z k: ergo per 4 p 1 cum linea ki ſit æqualis li-
neæ i z, lineaq́ p i ſit communis, & anguli ad punctum i ſint æ qualies, quia recti: erit angulus p k z
æqualis angulo p z k: ſed per 29 p 1 angulus e p o extrinſecus æqualis eſt angulo p k z intrinſeco:
quoniam lineæ o p & z k æquidiſtant: & angulus o p z eſt æqualis angulo p z k: quia ſunt coaleterni:
anguli ergo e p d & d p z ſunt æquales: cum anguli p k z & p z k ſunt æ qualies. Ergo per 20 th. 5 hu-
ius forma puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à puncto ſuperficieie ſpeculi, quod
eſt p: quod eſt unũ propoſitorũ. si aũt ſumatur aliud punctũ in circulo, cuius centrum eſt punctum
q, à quo forma puncti z reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in puncto h: præ miſſo modo poteſt declarari
quòd ab alio puncto ſpeculi reflectetur forma puncti z ad uiſum exiſtentẽ in puncto e ab alio pũcto
ꝗ̃ à puncto p. similiter quoq; ſi forma puncti z reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in puncto h à tribus
punctis circuli: reflectetur forma puncti z ad uiſum e à tribus punctis ſpeculi: & ſi à quatuor pun-
ctis reflexio fiat in circulo: & à quatuor punctis reflexio erit in ſpeculo: & ſecundũ hæc loca ima-
ginum numerantur. Patet ergo propoſitum. Quòd ſi dicatur quòd à pluribus punctis ſpeculi
quàm à quatuor poſsit fieri reflexio formæ puncti z ad uiſum exiſtentem in puncto e: ducta ab illo
puncto linea longitudinis ſuper peripheriam circuli, cuius centrum eſt punctum q: poterit per con
uerſionem præmiſſæ demonſtratioris oſtendi, quòd forma puncti z reflectetur ad uiſum exiſten-
tem in puncto h à pluribus punctis circuli quàm à quatuor: quod eſt impoſsibile, & contra 40 th. 8
huius. Semper enim; ut patuit ex præmiſsis, à quotcunq; punctis circuli reflectitur forma puncti
z ad punctum h: à totidem punctis ſpeculi reflectetur eadem forma puncti z ad punctum e: & econ
uerſo: & dicenti contrarium accidit impoſsibile modo prædicto. Pater itaq; quòd punctorum rei
uiſæ in his ſpeculis quædam habent unicam imaginẽ quæ dam duas: quæ dam tres: quæ dam qua-
tuor: & quòd nõ eſt poſsibile cauſſari plures imagines in ſpeculis colũnaribus uel pyramidalibus
concauis: ſicut neq; in ſphæricis concauis: quod eſt notandum.
lineæ o p & q t concurrunt in aliquo puncto productæ ultra puncta d & q. Cum ita linea z f ſit
æquidiſtans lineæ q t, & linea z k æ quidiſtãs lineæ o p, & lineæ z f & z k concurrãtin puncto z: lineę
quoq; d p & q t ſimiliter concurrant in aliquo puncto, ut præ oſtenſum eſt: patet quod ſuperficies
f k z, & ſuperficies o p q t, quæ eſt ſuperficies a q t, ſunt æ quidiſtantes per 15 p 11. Quod qutem ſuper-
ficies o p q t ſit pars ſuperficiei a q t, patet ex his. Quoniam enim linea p o producta cadit in pun-
ctum axis, quod eſt d, patet per 1 p 11 quòd linea p o eſt in ſuperficie a q t: ſed & linea q t eſt in illa ſu-
816[Figure 816]a u e g d o p h q n z i k t s fperſicie: tota ergo ſuperficies o p q t eſt pars ſuperficiei a q k.
Et quia ſuperficies h k f ſecat duas ſuperficies z k f & a q t ſuք
duas lineast p & k f: patet quòd illæ duæ lineæ t p & k f ſunt
ęquidiſtantes per 16 p 11. Ducatur itaq; à pũcto t linea perpén
dicularis ſuք lineã z f per 12 p 1: quæ ſit linea t s: erit ergo angu
lus t s frectus: ergo ք29 p 1 angulus s t q eſt rectus: quoniã li-
neæ z f & t q æ quidiſtãt: ergo ք16 p 3 linea t s cõtingit in pun-
cto t circuliũ, cuius centrum eſt punctũ q. Superficies itaq; a
t s eſt contingens pyramidem ſpeculi: continget ergo illam
per 95 th. 1 huius ſecundum lineam longitudinis, quæ eſt a t.
Sed linea o p eſt perpendicularis ſuper lineam a t: eſt ergo li-
nea o p eracta ſuper ſuperficiem a t s contingentem pyrami-
dem: quoniam linea o p eſt in ſuperficie a q t, tranſeunte per
axem a d, & perlineam longitudinis a t: talis autem ſuperfi-
cies, ut patet per 97 th. 1 huius erecta eſt ſuper ſuperficiem
contingentem ſpeculum in linea longitudinis, quæ eſt a t.
Quia ergo ſuperficies a t s ſecat duas ſuperficies o p q t & z k
f, quæ ſunt æ quidiſtantes: patet per 16 p 11 quoniam duæ li-
neæ, quæ ſunt illarum ſuperficierum communes ſectiones,
ſunt æ quidiſtantes: quarum linearum una eſt linea p t, & alte-
ra ſit linea si ſecans lineam z k in puncto i. Patet quoq; quia
punctus i cadit inter puncta k & z: lineæ itaq; p t & siæqui-
diſtant: ſed lineæ p t & f k æquidiftant ad inuicem: quoniam
ſunt in ſuperficiebus æ quidiſtantibus: ergo per 30 p 1 lineæ si
& f k ſunt æ quidiſtantes. Et quoniam lineæ q t & z f æquidi-
ſtant: patet per 29 p 1 quòd angulus n t z eſt æqualis angulo
t z f: quia ſunt coalterni: & angulus h t n extrinſecus eſt æqua
lis angulo t f z intrinſeco: ſed anguli h t n & n t z ſunt æquales: ergo anguli t f z & t z f ſunt æquales:
ergo per 6 p 1 lineæ t f & t z ſunt æquales: & linea t s eſt perpendicularis ſuper baſim iſoſcelis t f z:
trigona itaq; partialia (quæ ſunt t s f & t s z) ſunt ſimilia per 31 th. 1 huius: ergo per 4 p 6 cum linea
ts ambobus illis trigonis ſit communis: erit linea s f æ qualis lineæ s z. Sed cum linea s i æ quidiſtet
lineæ f k in trigono f k z: erit per 2 p 6 proportio lineæ f s ad lineam s z, ſicut lineæ ki ad lineam i z:
erit ergo linea k i æ qualis lineæ i z: ducaturq́ linea p i. Cum ergo ſuperficies a t s i, in qua ducta eſt
linea p i, ſit erecta ſuper ſuperficiem z k f, in qua cadit linea z k: erit per definitionem ſuperficiei ſu-
per ſuperficiem erectæ linea p i erecta ſuper lineam z k: ergo per 4 p 1 cum linea ki ſit æqualis li-
neæ i z, lineaq́ p i ſit communis, & anguli ad punctum i ſint æ qualies, quia recti: erit angulus p k z
æqualis angulo p z k: ſed per 29 p 1 angulus e p o extrinſecus æqualis eſt angulo p k z intrinſeco:
quoniam lineæ o p & z k æquidiſtant: & angulus o p z eſt æqualis angulo p z k: quia ſunt coaleterni:
anguli ergo e p d & d p z ſunt æquales: cum anguli p k z & p z k ſunt æ qualies. Ergo per 20 th. 5 hu-
ius forma puncti z reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto e à puncto ſuperficieie ſpeculi, quod
eſt p: quod eſt unũ propoſitorũ. si aũt ſumatur aliud punctũ in circulo, cuius centrum eſt punctum
q, à quo forma puncti z reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in puncto h: præ miſſo modo poteſt declarari
quòd ab alio puncto ſpeculi reflectetur forma puncti z ad uiſum exiſtentẽ in puncto e ab alio pũcto
ꝗ̃ à puncto p. similiter quoq; ſi forma puncti z reflectatur ad uiſum exiſtentẽ in puncto h à tribus
punctis circuli: reflectetur forma puncti z ad uiſum e à tribus punctis ſpeculi: & ſi à quatuor pun-
ctis reflexio fiat in circulo: & à quatuor punctis reflexio erit in ſpeculo: & ſecundũ hæc loca ima-
ginum numerantur. Patet ergo propoſitum. Quòd ſi dicatur quòd à pluribus punctis ſpeculi
quàm à quatuor poſsit fieri reflexio formæ puncti z ad uiſum exiſtentem in puncto e: ducta ab illo
puncto linea longitudinis ſuper peripheriam circuli, cuius centrum eſt punctum q: poterit per con
uerſionem præmiſſæ demonſtratioris oſtendi, quòd forma puncti z reflectetur ad uiſum exiſten-
tem in puncto h à pluribus punctis circuli quàm à quatuor: quod eſt impoſsibile, & contra 40 th. 8
huius. Semper enim; ut patuit ex præmiſsis, à quotcunq; punctis circuli reflectitur forma puncti
z ad punctum h: à totidem punctis ſpeculi reflectetur eadem forma puncti z ad punctum e: & econ
uerſo: & dicenti contrarium accidit impoſsibile modo prædicto. Pater itaq; quòd punctorum rei
uiſæ in his ſpeculis quædam habent unicam imaginẽ quæ dam duas: quæ dam tres: quæ dam qua-
tuor: & quòd nõ eſt poſsibile cauſſari plures imagines in ſpeculis colũnaribus uel pyramidalibus
concauis: ſicut neq; in ſphæricis concauis: quod eſt notandum.