6957THEOREM. ARITH.
primæ cum tertia .20. ex quo ſicſe habet .20. ad .8. nempe ad ſecundam, vt .30.
ad .12.
ad .12.
Quod vt ſciamus, quatuor prædictæ quantitates ſignificentur linea .a.e.i.o. pro-
babo ita ſe habere .a.e.i.o. ad .e.i. vt .a.i. ad .e. Nam cum ſic ſe habeat .a. ad .e. ut .e.
ad .i. & vt .i. ad .o: ex æqualitate proportionum vel permutando ita ſe habebit .a. ad .i.
vt .e. ad .o. & è conuerſo ita .o. ad .e. vt .i. ad .a. & componendo ita .o.e. ad e. vt .i.a. ad .a.
permutandoque .o.e. ad .i.a. vt .e. ad .a. nempe .i. ad .e. & componendo ita .o.i.e.a. ad .
i.a. vt .i.e. ad .e. & permutando ita .o.i.e.a. ad .i.e. vt .i.a. ad .e. quod erat propoſitum.
Ex quo patet error antiquorum quiidipſum, accidere arbitrati ſunt in quantitatibus
diſcretæ proportionalitatis, quod tamen falſum eſt.
babo ita ſe habere .a.e.i.o. ad .e.i. vt .a.i. ad .e. Nam cum ſic ſe habeat .a. ad .e. ut .e.
ad .i. & vt .i. ad .o: ex æqualitate proportionum vel permutando ita ſe habebit .a. ad .i.
vt .e. ad .o. & è conuerſo ita .o. ad .e. vt .i. ad .a. & componendo ita .o.e. ad e. vt .i.a. ad .a.
permutandoque .o.e. ad .i.a. vt .e. ad .a. nempe .i. ad .e. & componendo ita .o.i.e.a. ad .
i.a. vt .i.e. ad .e. & permutando ita .o.i.e.a. ad .i.e. vt .i.a. ad .e. quod erat propoſitum.
Ex quo patet error antiquorum quiidipſum, accidere arbitrati ſunt in quantitatibus
diſcretæ proportionalitatis, quod tamen falſum eſt.
Exempli gratia, ſi proponantur .12. 6. 4. 2. proportio .12. ad .6. eadem eſt quæ .4.
ad .2. Sed à proportione .6. ad .4. frangitur, cum non ſit eadem quæ .12. ad .6. harum
autem ſumma erit .24. & ſumma ſecundæ cum tertia .10. ſed primæ cum tertia erit
16. ex quo .16. ad .6. non ſic ſe habebit vt .24. ad .10.
At in ſpeculatione quatuor quantitatum .a.
96[Figure 96]
e.i.o. ſi proportio .e. ad .i. non eſſet eadem
quæ .a. ad .e. minimè licuiſſet dicere ita ſe
habere .i. ad .e. vt .e. ad .a.
ad .2. Sed à proportione .6. ad .4. frangitur, cum non ſit eadem quæ .12. ad .6. harum
autem ſumma erit .24. & ſumma ſecundæ cum tertia .10. ſed primæ cum tertia erit
16. ex quo .16. ad .6. non ſic ſe habebit vt .24. ad .10.
At in ſpeculatione quatuor quantitatum .a.
quæ .a. ad .e. minimè licuiſſet dicere ita ſe
habere .i. ad .e. vt .e. ad .a.
THEOREMA LXXXVIII.
CVR extribus quantitatibus quibuſlibet, productum duarum in tertiam, vna
ſemper eademque; ſit quantitas.
ſemper eademque; ſit quantitas.
Exempli gratia, proponuntur .15. 8. 2. ſi multiplicauerimus .15. per .8. tum produ
ctum per .2. tantum erit quantum ſi quis multiplicaret .8. per .2. & hoc per .15. et .15.
per .2. rurſusque; per .8.
ctum per .2. tantum erit quantum ſi quis multiplicaret .8. per .2. & hoc per .15. et .15.
per .2. rurſusque; per .8.
Quod ut pateat, tres quantitates tri-
97[Figure 97]
bus lineis ſignificentur .m.f: a. et .o.
Dico
productum .m.f. in .a. multiplicatum.
per .o. æquale eſſe producto .a. in .o. mul-
tiplicato per .m.f. aut producto .m.f. in .
o. multiplicato per .a. Sit enim corpus .d.
u. rectangulum, cuius latus .n.u. ſit æquale
m.f. et .u.t: a: et .u.c: o. patebit manifeſtè
n.t. eſſe productum .m.f. in .a. quod .n.t.
multiplicatum in .u.c. æquali .o. producit
corpus .d.u. ſed idipſum corpus .d.u. ex
multiplicatione producti .c.t. in latus .n.
u. æquale .m.f. oritur, & idipſum .d.u. ex
multiplicatione .n.c. in latus .u.t. æquale .a. profertur.
productum .m.f. in .a. multiplicatum.
per .o. æquale eſſe producto .a. in .o. mul-
tiplicato per .m.f. aut producto .m.f. in .
o. multiplicato per .a. Sit enim corpus .d.
u. rectangulum, cuius latus .n.u. ſit æquale
m.f. et .u.t: a: et .u.c: o. patebit manifeſtè
n.t. eſſe productum .m.f. in .a. quod .n.t.
multiplicatum in .u.c. æquali .o. producit
corpus .d.u. ſed idipſum corpus .d.u. ex
multiplicatione producti .c.t. in latus .n.
u. æquale .m.f. oritur, & idipſum .d.u. ex
multiplicatione .n.c. in latus .u.t. æquale .a. profertur.
THEOREMA LXXXIX.
CVR quarumcunque quatuor quantitatum, ſi prima in ſecundam multiplice-
tur & hoc productum in tertiam, rurſusque hoc alterum in quartam, vltimum
productum æquale ſit producto producti ſecundæ in tertiam, in productum primæ
in quartam.
tur & hoc productum in tertiam, rurſusque hoc alterum in quartam, vltimum
productum æquale ſit producto producti ſecundæ in tertiam, in productum primæ
in quartam.