690388VITELLONIS OPTICAE
cathetus incidentiæ formæ puncti r eſt linear e n, ſecans lineam b d, quæ eſt linea reflexionis, in pũ
cto n: & cathetus incidentiæ formę puncti m eſt linea m e u, ſecans lineam reflexionis, quæ eſt a d in
puncto u: patet quòd puncta n & u ſunt loca imaginum formarum pũctorum r & m: & erit linea n u
diameter imaginis formæ lineę m r: & eſt minor quá linea m r, ut patuit in 49 th. 8 huius. Et ſimiliter
formę duorum punctorum h & l reflectentur ad uiſum in punctum d à duobus punctis ſpeculi, quæ
ſunt a & b: & erit per modum prius dictum, linea t k diameter imaginis formę lineę l h: & ſecundum.
pręmiſſa in 48th. 8 huius erit diameter imaginis t k æqualis diametro rei uiſæ, quę eſt linea l h. Simi
liter quoque linea p i erit diameter imaginis formę lineę f q: & eſt maior quã diameter rei uiſæ, quæ
eſt linea f q: & omnes iſtæ imaginies erunt cóuerſę, ut oſtẽſum eſt in 50 th. 8 huius. Siuerò centrũ ui-
ſus fuerit in puncto o, & formæ linearum, quæ ſunt p i, t k & n u, reflectantur ad uiſum in puncto o à
punctis ſpeculi, quæ ſunt a & b: tunc erit ecõuerſo. Erit enim diameter imaginis lineę p i, quę eſt li-
nea f q, minor diametro t k rei uiſæ & erit linea l h diameter imaginis lineę t k, & ęqualis ei: & erit li-
nea m r diameter imaginis lineæ n u, & maior quáilla: omnesq́; imagines linearum iſtarum recta-
rũ erunt rectæ ſed conuerſę ſecundum ſitum & ordinem partiũ, quem habent ipſæres. Nam dextrũ
rei fit ſiniſtrum imaginis, & ſiniſtrum reifit dextrum imaginis: & fimiliter eſt de partib. quę ſunt ſur
ſum & deorſum. Item cũ utraq; extremitatum harum linearum unicã habuerit imaginẽ, & aliquod
aliud punctũ in medio plures habuerit imagines: tunc forma illius lineę tot habebit imagines, quot
punctum medium ipſius: & omnes iſtę imagines copulabuntur ad puncta extrema illius imaginis:
& erit illa linea unica diameter omnium illarum imaginum. Et ſi utraq; extremitas illius lineę uel
altera ipſarum plures habuerit imagines, punctum uerò medium habuerit tantùm unam: iterũ tota
illa linea tot habebit imagines, quot eius puncta extrema ambo, uel ſaltem alterũ ſuum punctũ ex-
tremum. Et ſiutraq; extremitas uel altera plures habuerit imaginies, & ſimiliter punctum medium
multas habuerit imaginies: tunc tota linea habebit imagines ſecundum numerum maiorem: & hoc
patebit, ſicut patuit ſuprà de imaginibus ſpeculorum ſphæricorum concauorum. In ſpeculis enim
columnaribus concauis accidit fallacia in omnibus, quæ in eis comprehenduntur, ſicut accidit in
ſpeculis ſphæricis concauis: ſcilicet de formis ſpecierum uiſibilium: & de quantitatib, & de numero
ſuarum imaginum: & de conformitate ipſarum ad res, quarum ipſę ſunt imagines: & de difformita-
te ſitus ipſarum ſecundum cõuerſionem formarum partialium, cum omnib. fallacijs, quę appropriã
tur conuerſioni: & omnes fallaciæ ſunt in his, ut in ſpeculis prędictis ſphęricis concauis. Patet ergo
illud, quod proponebatur.
cto n: & cathetus incidentiæ formę puncti m eſt linea m e u, ſecans lineam reflexionis, quæ eſt a d in
puncto u: patet quòd puncta n & u ſunt loca imaginum formarum pũctorum r & m: & erit linea n u
diameter imaginis formæ lineę m r: & eſt minor quá linea m r, ut patuit in 49 th. 8 huius. Et ſimiliter
formę duorum punctorum h & l reflectentur ad uiſum in punctum d à duobus punctis ſpeculi, quæ
ſunt a & b: & erit per modum prius dictum, linea t k diameter imaginis formę lineę l h: & ſecundum.
pręmiſſa in 48th. 8 huius erit diameter imaginis t k æqualis diametro rei uiſæ, quę eſt linea l h. Simi
liter quoque linea p i erit diameter imaginis formę lineę f q: & eſt maior quã diameter rei uiſæ, quæ
eſt linea f q: & omnes iſtæ imaginies erunt cóuerſę, ut oſtẽſum eſt in 50 th. 8 huius. Siuerò centrũ ui-
ſus fuerit in puncto o, & formæ linearum, quæ ſunt p i, t k & n u, reflectantur ad uiſum in puncto o à
punctis ſpeculi, quæ ſunt a & b: tunc erit ecõuerſo. Erit enim diameter imaginis lineę p i, quę eſt li-
nea f q, minor diametro t k rei uiſæ & erit linea l h diameter imaginis lineę t k, & ęqualis ei: & erit li-
nea m r diameter imaginis lineæ n u, & maior quáilla: omnesq́; imagines linearum iſtarum recta-
rũ erunt rectæ ſed conuerſę ſecundum ſitum & ordinem partiũ, quem habent ipſæres. Nam dextrũ
rei fit ſiniſtrum imaginis, & ſiniſtrum reifit dextrum imaginis: & fimiliter eſt de partib. quę ſunt ſur
ſum & deorſum. Item cũ utraq; extremitatum harum linearum unicã habuerit imaginẽ, & aliquod
aliud punctũ in medio plures habuerit imagines: tunc forma illius lineę tot habebit imagines, quot
punctum medium ipſius: & omnes iſtę imagines copulabuntur ad puncta extrema illius imaginis:
& erit illa linea unica diameter omnium illarum imaginum. Et ſi utraq; extremitas illius lineę uel
altera ipſarum plures habuerit imagines, punctum uerò medium habuerit tantùm unam: iterũ tota
illa linea tot habebit imagines, quot eius puncta extrema ambo, uel ſaltem alterũ ſuum punctũ ex-
tremum. Et ſiutraq; extremitas uel altera plures habuerit imaginies, & ſimiliter punctum medium
multas habuerit imaginies: tunc tota linea habebit imagines ſecundum numerum maiorem: & hoc
patebit, ſicut patuit ſuprà de imaginibus ſpeculorum ſphæricorum concauorum. In ſpeculis enim
columnaribus concauis accidit fallacia in omnibus, quæ in eis comprehenduntur, ſicut accidit in
ſpeculis ſphæricis concauis: ſcilicet de formis ſpecierum uiſibilium: & de quantitatib, & de numero
ſuarum imaginum: & de conformitate ipſarum ad res, quarum ipſę ſunt imagines: & de difformita-
te ſitus ipſarum ſecundum cõuerſionem formarum partialium, cum omnib. fallacijs, quę appropriã
tur conuerſioni: & omnes fallaciæ ſunt in his, ut in ſpeculis prędictis ſphęricis concauis. Patet ergo
illud, quod proponebatur.
30. Line æ rectæuiſæ, non æquidiſtantis axi ſpeculi columnaris concaui, cuius ſuperſicies inci-
dentiæ ſecat axem obliquè, centro uiſus non exiſtente in eadem ſuperficie, uidetur imago curua,
diuerſæ curuitatis ſecundum diuer ſitatem ſui ſitus: & conuerſa.
dentiæ ſecat axem obliquè, centro uiſus non exiſtente in eadem ſuperficie, uidetur imago curua,
diuerſæ curuitatis ſecundum diuer ſitatem ſui ſitus: & conuerſa.
Fiat in iſto propoſito theoremate diſpoſitio totalis, quæ in 28 huius:
apparebitq́;
totum, quodibi
proponitur in his ſpeculis columnaribus concauis. Poſito itaq; , ut aliqua linea recta non ęquidiſtet
axi ſpeculi columnaris concaui, cuius ſuperficies incidentiæ obliquè ſecat illum axem, ſicentrũ ui-
ſus fuerit in illa ſuperficie: tũc patet per 28 huius quòd imago illius lineę uidetur curua, reſpectu ui
ſus, & conuerſa ſecundum ſitum ipſius rei uiſæ. Quòd ſi centrum uiſus fuerit extra illam ſuperficiẽ
in linea erecta ſuper illam ſuperficiem à puncto d, in quo eſt illic centrum uiſus: tunc ſi à pũctis a, g,
o(à quibus fit ibi reflexio) erigãtur lineæ longitudinis ſpeculiper 101th. 1 huius, & inueniantur pũ
cta reflexionum formarũ punctorũ m, b, k: patebit ſecundũ modũ plurium præmiſſarum, quòd for-
mę punctorum k, m, b reflectentur ad uiſum ſecundum diſpoſitionẽ ſuo ſitui diuerſam: & ſecundũ
hoc diſponetur curuitas imaginũ & conuerſio figuræ. Quòd ſi centrum uiſus nõ fuerit in linea per-
pendiculariter erecta ſuper illã ſuperficiẽ à pũcto d: tũc à centro uiſus ducatur perpendicularis ſu-
per illam ſuperficiem per 11 p 11, & inuentis punctis reflexionum formarum punctorum b, m, k: pate
bit propoſitum ut prius. Ethoc proponebatur.
proponitur in his ſpeculis columnaribus concauis. Poſito itaq; , ut aliqua linea recta non ęquidiſtet
axi ſpeculi columnaris concaui, cuius ſuperficies incidentiæ obliquè ſecat illum axem, ſicentrũ ui-
ſus fuerit in illa ſuperficie: tũc patet per 28 huius quòd imago illius lineę uidetur curua, reſpectu ui
ſus, & conuerſa ſecundum ſitum ipſius rei uiſæ. Quòd ſi centrum uiſus fuerit extra illam ſuperficiẽ
in linea erecta ſuper illam ſuperficiem à puncto d, in quo eſt illic centrum uiſus: tunc ſi à pũctis a, g,
o(à quibus fit ibi reflexio) erigãtur lineæ longitudinis ſpeculiper 101th. 1 huius, & inueniantur pũ
cta reflexionum formarũ punctorũ m, b, k: patebit ſecundũ modũ plurium præmiſſarum, quòd for-
mę punctorum k, m, b reflectentur ad uiſum ſecundum diſpoſitionẽ ſuo ſitui diuerſam: & ſecundũ
hoc diſponetur curuitas imaginũ & conuerſio figuræ. Quòd ſi centrum uiſus nõ fuerit in linea per-
pendiculariter erecta ſuper illã ſuperficiẽ à pũcto d: tũc à centro uiſus ducatur perpendicularis ſu-
per illam ſuperficiem per 11 p 11, & inuentis punctis reflexionum formarum punctorum b, m, k: pate
bit propoſitum ut prius. Ethoc proponebatur.
31. Forma alicuius line æ curuæ incidẽtis uertici ſpeculi pyramidalis cõcaui obliquè ſuper axẽ,
reflectitur ad centrũ uiſus inter illãlineã & ſuperficiẽ ſpeculi conſtitutũ, à linea logitudinis ſpe-
culi: imagó ipſius uidetur recta: & ſi illa linea incidẽs fuerit rect a: eius imago uidebitur cur-
ua, modicæ curuitatis, cuius conuexitas uel concauitas eſt ad uiſum. Alhazen 55 n 6.
reflectitur ad centrũ uiſus inter illãlineã & ſuperficiẽ ſpeculi conſtitutũ, à linea logitudinis ſpe-
culi: imagó ipſius uidetur recta: & ſi illa linea incidẽs fuerit rect a: eius imago uidebitur cur-
ua, modicæ curuitatis, cuius conuexitas uel concauitas eſt ad uiſum. Alhazen 55 n 6.
Fiat diſpoſitio omnimoda, quę in 55 th.
7 huius:
inuenieturq́;
in ſpeculis pyramidalib.
conuexis li
neęrectę, quę eſt a n, propoſito modo illud ſpeculum reſpicientis, imago curua intra concauitatem
ſpeculi, quę eſt a p y. Punctum quoq; , quod eſt ſub ſuperficie ſpeculum cótingente ſecundum lineá
lógitudinis ſpeculi, quę eſt a e, à qua fit reflexio formę lineę rectę uiſę, quę eſt a n, ad uiſum exiſtentẽ
in puncto r, erat illic punctum f: in quo puncto f ſi fuerit centrum uiſus, erunt omnia pũcta, quęſunt
in illa curua imagine, uel quę ſunt in linea recta, ſcilicet in diametro imaginis, reflexa ad punctũ f: &
imago lineę curuæ, quæ a p y, erit linea recta, quæ eſt a n: uel imagines duarum extremitatum lineę
a p y erunt in linea a n, & in extremitatibus illius: & loca imaginis punctip, quod eſt in medio lineę
a y, diuerſabuntur. Et hoc poteſt eodem modo declarari, ſicut ſibi ſimile declaratum eſt in 55 th. 7
huius. Quoniam enim, ut ibi declaratum eſt, angulus z r f eſt ęqualis angulo z f r per 29 p 1: fed per eandem
29 p 1 angulus h z f eſt ęqualis angulo z f r: eſt ergo angulus p z h æqualis angulo h z f. Palàm ergo
neęrectę, quę eſt a n, propoſito modo illud ſpeculum reſpicientis, imago curua intra concauitatem
ſpeculi, quę eſt a p y. Punctum quoq; , quod eſt ſub ſuperficie ſpeculum cótingente ſecundum lineá
lógitudinis ſpeculi, quę eſt a e, à qua fit reflexio formę lineę rectę uiſę, quę eſt a n, ad uiſum exiſtentẽ
in puncto r, erat illic punctum f: in quo puncto f ſi fuerit centrum uiſus, erunt omnia pũcta, quęſunt
in illa curua imagine, uel quę ſunt in linea recta, ſcilicet in diametro imaginis, reflexa ad punctũ f: &
imago lineę curuæ, quæ a p y, erit linea recta, quæ eſt a n: uel imagines duarum extremitatum lineę
a p y erunt in linea a n, & in extremitatibus illius: & loca imaginis punctip, quod eſt in medio lineę
a y, diuerſabuntur. Et hoc poteſt eodem modo declarari, ſicut ſibi ſimile declaratum eſt in 55 th. 7
huius. Quoniam enim, ut ibi declaratum eſt, angulus z r f eſt ęqualis angulo z f r per 29 p 1: fed per eandem
29 p 1 angulus h z f eſt ęqualis angulo z f r: eſt ergo angulus p z h æqualis angulo h z f. Palàm ergo