697395LIBER NONVS.
(quæ ſit trigonum f e x) palàm quoniam interſecabit pyramidem:
eritq́;
triangulus x f e propter
æquidiſtantiam laterum ęquidiſtans triangulo magno in pyramide, qui eſt a h k: & ſicut triangulus
830[Figure 830]x a j b g f h d e k c a h k diuidit pyramidem per æqualia, eò quòd ſit duabus lineis lon
gitudinis & diametro baſis contentus: ſic etiam triangulus x f e ali
quam pyramidis reſecat portionem. Abſcindatur ergo hæc portio
â tota pyramide, quæ ſit l f b e g: ducanturq́; lineę rectæ, quæ ſint l e
& l f: eruntq́; lineę l f & l e per 89 th. 1 huius partes æquales unius
ſectióis conicæ, quę eſt e l f, diuiſa per æqualia in ſui ſupremo pun-
cto, qui eſt l. Linea uerò l b, quę eſt pars lineæ longitudinis pyrami
dis, erit minoris quantitatis qualibet linearum l e & l f: eritq́; linea
b g linea proſun ditatis huius portionis: linea uerò f e linea latitu-
dinis: & linea l g latus portionis erectum, æquidiſtans lineæ d a,
quę eſt axis pyramidis. Expedit ergo ut operi mechanico conſu-
lentes notitiam harum linearum omniũ per quiramus, ſupponen-
tes ea, quę in chordis & arcubus ſunt probata. Palàm autẽ ex præ-
miſsis quoniã linea f e, quæ inſcripta circulo, quia eſt æqualis eius
ſemidiametro, eſt partes 60, ſecũdũ quod diameter circuli eſt 120:
arcus ergo f e ſimiliter eſt 60: ſecũdũ qđ circulus eſt 360. Ducátur
quoq; lineę b f & b e. Et quoniã diameter b c diuidit chordá f e per
æqualia & orthogona liter: patet quoniã line ærectę f b & b e ęqua-
les ſunt ք 4 p 1: ergo arcus f b & b e ſunt ęquales per 28 p 3: arcus
itaq; f e diuiſus eſt per æqualia in pũcto b: ergo arcus f b eſt partes
30: chorda ergo f b eſt 31 partes, 3 minuta, & 30 ſecunda: ſed quoniá
m linea f g eſt medietas lineę f e, quę fuit 60: patet qđ linea f g eſt
30: quadrentur ergo ex 46 p 1 linea f b, & ſimiliter linea f g. Et quia
quadratũ lineæ f b in triangulo f b g ſubtenditur angulo recto: palá
ex 47 p 1 quia quadratũ lineæ f b ualet ambo quadrata linearũ f b
& b g: ablato ergo ex quadrato f b quadrato f g, remanet quadratũ
b g. Extrahatur ergo radix quadrata illius reſidui, & ipſa eſt quanti
tas lineæ b g: & ſecundũ quod linea f g eſt 30 partes, erit ipſa 8 par-
tes, 2 minuta, 29 ſecunda: ſecundũ uerò quòd diameter b c eſt par-
tes 6, & ſemidiameter f e partes 3, & linea f g partes 8 & 30 minuta:
erit linea b g 24 minuta & 6 ſecunda, prout ex tribus notis quartũ
ignotum perquirens auxilio 19 p 7 diligens inquiſitor facile pote-
ritinuenire. Quoniam uerò linea g l erecta ęquidiſtans eſt axi py-
ramidis, quę eſt d a, patet ex 29 p 1 quoniam trianguli d a b & g l b ſunt ęquianguli: ergo per
4 p 6 erit proportio lineę d a ad lineam g l, ſicut lineę d b ad lineam g b: ergo per 16 p 5 erit per-
mutatim proportio lineę d a ad lineam d b, ſicut lineę l g ad lineam g b: ſed linea d a ſextupla eſt
ad lineam d b ex hypotheſi: erit ergo linea l g ſextupla lineę b g: patet ergo quoniam linea l g e-
rit 2 partes, 24 minuta, 36 ſecunda, ſecundum quod linea d a eſt partes 18. Sed quia in triangulo
l b g angulus l g b eſt rectus: quia latus g l, quemadmodum linea d a, orthogonaliter erectum eſt
ſuper ſuperficiem circuli baſis pyramidis per 89 th. 1 huius, & per 8 p 11: patet ergo quia quadratum
lineę l b ualet quadrata ambarum linearum l g & b g ex 47 p 1: componantur ergo quadrata, &
aggregati radix quadrata extrahatur, & ipſa eſt quantitas lineę l b: quę ſecundum propoſitum nu-
merum quo ſemidiameter baſis eſt 3 partes, erit 2 partes, 26 minuta, 35 ſecunda. Et quia li-
nea l g erecta eſt ſuper ſuperficiem baſis pyramidis: palàm ex definitione lineę erectę ſuper ſu-
perficiem, quoniam ipſa cum lineis g f & g e angulos rectos facit, ſicut etiam cum omnibus li-
neis in dicta ſuperficie productis. Quadratum ergo lineę e l rectę, quę in triangulo rectilineo
(qui eſt e g l) angulo recto opponitur, ualet quadratum lineæ l g & lineæ g e: coniunctis ergo il-
lis quadratis, ipſius aggregati extrahatur radix: & patet quòd linea recta, quæ eſt l e, eſt 2 partes, 50
minuta, 19 ſecunda. Et quia per eadem quadratum lineæ rectæ, quę eſt fl, ualet quadratũ lineæ f g,
quæ eſt æqualis lineæ g e, & quadratum lineæ l g: patet quia linea l f eſt æqualis lineæ e l: erit ergo li
nea f l 2 partes, 50 minuta, 19 ſecunda. Habetur itaq; notitia omnium linearũ portionis pyramidis
aſſumptæ, neceſſariæ operi præſenti. Cum autẽ difficile ſit aſſumi pyramidẽ propoſito cõpetẽtem,
(quoniã oporteret, ut ipſa tota eſſet concaua ſolidi corporis dẽſi & polibilis pro factura ſpeculi, ut
prius dictum eſt, & ab illa difficilis fieret abſciſio) ſufficiat ipſam habere mathematicam in imagi-
natione. Cum ergo ad opus ſpeculi libeat procedere: fiat de corpore polibili albo, utpote argenteo
uel ferreo bono portio pyramidis concaua, ſic ut baſis illius ſectionis ſit portio circuli, qui eſt baſis
imaginatæ pyramidis, cuius chorda ſit medietas diametri imaginati circuli, & eſt linea f e: eritq́; par
tes 3: ſinus uerò uerſus, qui g b, ſit ſecundum illam quantitatẽ 24 minuta, 6 ſecunda, quę eſt linea ꝓ-
funditatis acceptæ ſectionis: & fortè, quádo protrahitur, aſsimilatur ſagittæ, ſecundum quod illę li
neæ chordæ & arcui aſsimilátur: & erunt lineæ e l & f l rectæ æquales: & ipſarum quęlibet eſt 2 par-
tes, 50 minuta, 19 ſecunda: & erit linea l b 2 partes, 26 minuta, 35 ſecunda, ſecundum dictã quantita-
tẽ: quę omnia ſi bene menſurata ſuerint: patet qđ habetur portio pyramidis, cuius circuli baſis dia
æquidiſtantiam laterum ęquidiſtans triangulo magno in pyramide, qui eſt a h k: & ſicut triangulus
830[Figure 830]x a j b g f h d e k c a h k diuidit pyramidem per æqualia, eò quòd ſit duabus lineis lon
gitudinis & diametro baſis contentus: ſic etiam triangulus x f e ali
quam pyramidis reſecat portionem. Abſcindatur ergo hæc portio
â tota pyramide, quæ ſit l f b e g: ducanturq́; lineę rectæ, quæ ſint l e
& l f: eruntq́; lineę l f & l e per 89 th. 1 huius partes æquales unius
ſectióis conicæ, quę eſt e l f, diuiſa per æqualia in ſui ſupremo pun-
cto, qui eſt l. Linea uerò l b, quę eſt pars lineæ longitudinis pyrami
dis, erit minoris quantitatis qualibet linearum l e & l f: eritq́; linea
b g linea proſun ditatis huius portionis: linea uerò f e linea latitu-
dinis: & linea l g latus portionis erectum, æquidiſtans lineæ d a,
quę eſt axis pyramidis. Expedit ergo ut operi mechanico conſu-
lentes notitiam harum linearum omniũ per quiramus, ſupponen-
tes ea, quę in chordis & arcubus ſunt probata. Palàm autẽ ex præ-
miſsis quoniã linea f e, quæ inſcripta circulo, quia eſt æqualis eius
ſemidiametro, eſt partes 60, ſecũdũ quod diameter circuli eſt 120:
arcus ergo f e ſimiliter eſt 60: ſecũdũ qđ circulus eſt 360. Ducátur
quoq; lineę b f & b e. Et quoniã diameter b c diuidit chordá f e per
æqualia & orthogona liter: patet quoniã line ærectę f b & b e ęqua-
les ſunt ք 4 p 1: ergo arcus f b & b e ſunt ęquales per 28 p 3: arcus
itaq; f e diuiſus eſt per æqualia in pũcto b: ergo arcus f b eſt partes
30: chorda ergo f b eſt 31 partes, 3 minuta, & 30 ſecunda: ſed quoniá
m linea f g eſt medietas lineę f e, quę fuit 60: patet qđ linea f g eſt
30: quadrentur ergo ex 46 p 1 linea f b, & ſimiliter linea f g. Et quia
quadratũ lineæ f b in triangulo f b g ſubtenditur angulo recto: palá
ex 47 p 1 quia quadratũ lineæ f b ualet ambo quadrata linearũ f b
& b g: ablato ergo ex quadrato f b quadrato f g, remanet quadratũ
b g. Extrahatur ergo radix quadrata illius reſidui, & ipſa eſt quanti
tas lineæ b g: & ſecundũ quod linea f g eſt 30 partes, erit ipſa 8 par-
tes, 2 minuta, 29 ſecunda: ſecundũ uerò quòd diameter b c eſt par-
tes 6, & ſemidiameter f e partes 3, & linea f g partes 8 & 30 minuta:
erit linea b g 24 minuta & 6 ſecunda, prout ex tribus notis quartũ
ignotum perquirens auxilio 19 p 7 diligens inquiſitor facile pote-
ritinuenire. Quoniam uerò linea g l erecta ęquidiſtans eſt axi py-
ramidis, quę eſt d a, patet ex 29 p 1 quoniam trianguli d a b & g l b ſunt ęquianguli: ergo per
4 p 6 erit proportio lineę d a ad lineam g l, ſicut lineę d b ad lineam g b: ergo per 16 p 5 erit per-
mutatim proportio lineę d a ad lineam d b, ſicut lineę l g ad lineam g b: ſed linea d a ſextupla eſt
ad lineam d b ex hypotheſi: erit ergo linea l g ſextupla lineę b g: patet ergo quoniam linea l g e-
rit 2 partes, 24 minuta, 36 ſecunda, ſecundum quod linea d a eſt partes 18. Sed quia in triangulo
l b g angulus l g b eſt rectus: quia latus g l, quemadmodum linea d a, orthogonaliter erectum eſt
ſuper ſuperficiem circuli baſis pyramidis per 89 th. 1 huius, & per 8 p 11: patet ergo quia quadratum
lineę l b ualet quadrata ambarum linearum l g & b g ex 47 p 1: componantur ergo quadrata, &
aggregati radix quadrata extrahatur, & ipſa eſt quantitas lineę l b: quę ſecundum propoſitum nu-
merum quo ſemidiameter baſis eſt 3 partes, erit 2 partes, 26 minuta, 35 ſecunda. Et quia li-
nea l g erecta eſt ſuper ſuperficiem baſis pyramidis: palàm ex definitione lineę erectę ſuper ſu-
perficiem, quoniam ipſa cum lineis g f & g e angulos rectos facit, ſicut etiam cum omnibus li-
neis in dicta ſuperficie productis. Quadratum ergo lineę e l rectę, quę in triangulo rectilineo
(qui eſt e g l) angulo recto opponitur, ualet quadratum lineæ l g & lineæ g e: coniunctis ergo il-
lis quadratis, ipſius aggregati extrahatur radix: & patet quòd linea recta, quæ eſt l e, eſt 2 partes, 50
minuta, 19 ſecunda. Et quia per eadem quadratum lineæ rectæ, quę eſt fl, ualet quadratũ lineæ f g,
quæ eſt æqualis lineæ g e, & quadratum lineæ l g: patet quia linea l f eſt æqualis lineæ e l: erit ergo li
nea f l 2 partes, 50 minuta, 19 ſecunda. Habetur itaq; notitia omnium linearũ portionis pyramidis
aſſumptæ, neceſſariæ operi præſenti. Cum autẽ difficile ſit aſſumi pyramidẽ propoſito cõpetẽtem,
(quoniã oporteret, ut ipſa tota eſſet concaua ſolidi corporis dẽſi & polibilis pro factura ſpeculi, ut
prius dictum eſt, & ab illa difficilis fieret abſciſio) ſufficiat ipſam habere mathematicam in imagi-
natione. Cum ergo ad opus ſpeculi libeat procedere: fiat de corpore polibili albo, utpote argenteo
uel ferreo bono portio pyramidis concaua, ſic ut baſis illius ſectionis ſit portio circuli, qui eſt baſis
imaginatæ pyramidis, cuius chorda ſit medietas diametri imaginati circuli, & eſt linea f e: eritq́; par
tes 3: ſinus uerò uerſus, qui g b, ſit ſecundum illam quantitatẽ 24 minuta, 6 ſecunda, quę eſt linea ꝓ-
funditatis acceptæ ſectionis: & fortè, quádo protrahitur, aſsimilatur ſagittæ, ſecundum quod illę li
neæ chordæ & arcui aſsimilátur: & erunt lineæ e l & f l rectæ æquales: & ipſarum quęlibet eſt 2 par-
tes, 50 minuta, 19 ſecunda: & erit linea l b 2 partes, 26 minuta, 35 ſecunda, ſecundum dictã quantita-
tẽ: quę omnia ſi bene menſurata ſuerint: patet qđ habetur portio pyramidis, cuius circuli baſis dia