7058IO. BAPT. BENED.
Exempli gratia, caſu ſeſe offerunt hi quatuor numeri .8. 5. 3. 2. multiplicato .8.
per .5. & hoc .40. per .3. rurſus hoc .120. per .2. vltimum productum eſſet .240. æqua
le producto .15. (quod ex .5. in .3. oritur) in productum .16. quod ex .8. in .2. pro-
fertur.
per .5. & hoc .40. per .3. rurſus hoc .120. per .2. vltimum productum eſſet .240. æqua
le producto .15. (quod ex .5. in .3. oritur) in productum .16. quod ex .8. in .2. pro-
fertur.
Cuius ſpeculationis gratia, cogitemus quatuor numeros quatuor lineis .a.e.i.o.
ſignifi cari, productum autem .e. in .i. eſſe .m.f. et .r.s. ſimiliter & productum .a. in .o. eſ-
ſe .m.z: et .z.f. productum eſſe .m.f. in .m.z. cui productum .a. in .e. multiplicatum per
i. & hoc tandem per .o. æquari debet.
ſignifi cari, productum autem .e. in .i. eſſe .m.f. et .r.s. ſimiliter & productum .a. in .o. eſ-
ſe .m.z: et .z.f. productum eſſe .m.f. in .m.z. cui productum .a. in .e. multiplicatum per
i. & hoc tandem per .o. æquari debet.
Sit itaque .u.y. productum .a. in .e. quod .u.y. per .i. multiplicatum proferat .u.s.
hocq́ue .u.s. multiplicatum per .o. Dico quod dabit numerum æqualem numero .f.z.
Quamobrem .r.s. aut .m.f. quod idem eſt, in figura præcedentis theore matis ſigni-
ficetur linea .n.u. & linea .r.u. hu-
ius, nempe .a. ſignificetur per .u.t.
98[Figure 98]
præcedentis, ex quo numerus pro
ducti .u.s. præſentis, in præcedenti
ſignificabitur producto .n.t. quod
productum .u.s. pręsens per præsens .o. mul
tiplicatum, quod erat in præceden
ti .u.c. ſignificabitur per .d.u. præce
dentis, quod non modo ex multi-
plicatione .n.t. præcedentis, nempe .u.s. præſentis. in .u.c. præcedentis æquali .o. præ-
ſentis oritur, ſed etiam ex .c.t. præcedentis æquali .m.z. præſentis in .n.u. præceden
tis æquali .m.f. præſentis. Itaque verum eſt propoſitum.
hocq́ue .u.s. multiplicatum per .o. Dico quod dabit numerum æqualem numero .f.z.
Quamobrem .r.s. aut .m.f. quod idem eſt, in figura præcedentis theore matis ſigni-
ficetur linea .n.u. & linea .r.u. hu-
ius, nempe .a. ſignificetur per .u.t.
ducti .u.s. præſentis, in præcedenti
ſignificabitur producto .n.t. quod
productum .u.s. pręsens per præsens .o. mul
tiplicatum, quod erat in præceden
ti .u.c. ſignificabitur per .d.u. præce
dentis, quod non modo ex multi-
plicatione .n.t. præcedentis, nempe .u.s. præſentis. in .u.c. præcedentis æquali .o. præ-
ſentis oritur, ſed etiam ex .c.t. præcedentis æquali .m.z. præſentis in .n.u. præceden
tis æquali .m.f. præſentis. Itaque verum eſt propoſitum.
THEOREMA XC.
CVR quibuſlibet & quantiſuis numeris in ſummam collectis, ſi ab vnitate in ſe-
cunda ſpecie progreſſionis arithmeticę imparium numerorum progreſſi fue-
rimus, eiuſmodi ſumma ſemper eſt quadratus numerus.
cunda ſpecie progreſſionis arithmeticę imparium numerorum progreſſi fue-
rimus, eiuſmodi ſumma ſemper eſt quadratus numerus.
Exempli gratia, ſi horum quatuor diſparium numerorum ſummam, in dicta pro-
greſſione arithmetica quis ſumat, principio ab vnitate ſumpto, nempe .1. 3. 5. 7. ſum-
ma erit .16. numerus quadratus inquam. Idem de cæteris.
greſſione arithmetica quis ſumat, principio ab vnitate ſumpto, nempe .1. 3. 5. 7. ſum-
ma erit .16. numerus quadratus inquam. Idem de cæteris.
Quamobrem animaduertendum eſt, vnitatem, tam ſumi pro ſui ipſius radicem,
quam pro quadrato, cubo, cenſo cenſi, primo relato, & alia quauis dignitate.
Nunc autem pro quadrato ſumamus per .o. ſignificato, cogitemusque quadratum .o.
includi quadrato vnitatem ſequenti, quod, vt patet, eſt quatuor vnitatum, ac pro-
priè primum quadratum numerorum, ex quo etiam nomen accepit, vnde ex ſimi-
litudine quam cætera quadrata cum hoc primo retinent, ex quaternario denomina-
tionem acceperunt. Hocitaque; ſit .o.u.c.e. ita ex communi ſcientia quadrato .o. iun-
gitur gnomon .e.c.u. conſtans tribus vnitatibus, quare primus gnomon, numero im-
pari conſtat. Scimus etiam ex additione numeri binarij ad imparem, numeris di-
ſparibus ſummam excreſcere, cum propius accedere quam binario nequeant, ex quo
medio binario, ſibi inuicem ſuccedunt. Dico igitur quòd quinario ternarium ſub
ſequente, coniuncto quadrato .o.u.c.e. profertur quadratum, quod in numeris, bi-
narij quadratum ſequitur, eritque; ternarij, quodque; ſignificetur per .o.f. patet enim pri
mo non differre ab .o.c. præter quam gnomone .b.f.d. qui coniungitur quadrato .o.
c. quique duabus vnitatibus maior eſt .e.c.u. Iam ſcimus gnomonem .e.o.u. æqualem
quam pro quadrato, cubo, cenſo cenſi, primo relato, & alia quauis dignitate.
Nunc autem pro quadrato ſumamus per .o. ſignificato, cogitemusque quadratum .o.
includi quadrato vnitatem ſequenti, quod, vt patet, eſt quatuor vnitatum, ac pro-
priè primum quadratum numerorum, ex quo etiam nomen accepit, vnde ex ſimi-
litudine quam cætera quadrata cum hoc primo retinent, ex quaternario denomina-
tionem acceperunt. Hocitaque; ſit .o.u.c.e. ita ex communi ſcientia quadrato .o. iun-
gitur gnomon .e.c.u. conſtans tribus vnitatibus, quare primus gnomon, numero im-
pari conſtat. Scimus etiam ex additione numeri binarij ad imparem, numeris di-
ſparibus ſummam excreſcere, cum propius accedere quam binario nequeant, ex quo
medio binario, ſibi inuicem ſuccedunt. Dico igitur quòd quinario ternarium ſub
ſequente, coniuncto quadrato .o.u.c.e. profertur quadratum, quod in numeris, bi-
narij quadratum ſequitur, eritque; ternarij, quodque; ſignificetur per .o.f. patet enim pri
mo non differre ab .o.c. præter quam gnomone .b.f.d. qui coniungitur quadrato .o.
c. quique duabus vnitatibus maior eſt .e.c.u. Iam ſcimus gnomonem .e.o.u. æqualem