7040GEOMETR. PRACT.3030[Handwritten note 30]3131[Handwritten note 31]3232[Handwritten note 32]3333[Handwritten note 33]
particulam ſemiſſe gradus minorem non ſuperare min.
24.
(Nam ſi ſuperaret
24. minuta, non poſſemus ratione iam explicanda in ouirere minuta; propterea
3030[Handwritten note 30]3131[Handwritten note 31]3232[Handwritten note 32]3333[Handwritten note 33] quod circumducendo circinum, to tum Quadrantem excederemus, vt patebit.)
commodius minuta datæ particulæ cognoſcemus hoc modo. Datam particu-
lam cum gradu præcedenti primo loco quadruplicabimus: deinde huncarcum
quadruplum duplabimus, vt hab eamus octuplum arcus ex particula, & vno
gradu compoſiti; tertio arcum hunc octuplum iterum duplabimus, vt fiat ar-
c9 ſedecupl9 arcus ex data particula, & vno gradu cõpoſiti; quarto hunc arcũ
rurſus duplabimus; & quinto tandem hunc duplum iterum duplabimus; vt
habeatur arcus continens arcum ex particula pro poſita, & vno gradu ſexagies
& quater, cuius extremum punctũm diligenter notetur. Nam ſi ex toto arcu
ab eo puncto incipiendo, auferatur arcus quadruplus particulæ datæ vnâ cum
vno gradu, ſupererit arcus ſexagecuplus eiuſdem particulæ vnâ cum vno gra-
du; ex quo deniqueſi demantur 60. gradus, reliqui gradus numerum minu-
torum indicabunt. Quòd ſi data particula ſemiſſe gradus fuerit maior, explo-
tabimus eodem modo minuta inreliqua particula minore comprehenſa. Hæc
namque minuta ex 60. detracta relinquent minutain particula illa maiore com-
3030[Handwritten note 30]3131[Handwritten note 31]3232[Handwritten note 32]3333[Handwritten note 33] prehenſa. Benè autem vides, quando data particula minor parum à ſemiſſe
gradus differt, tutius eſſe quintuplare illam vnâ cum vno gradu; deinde hunc
arcum duplare, tertio hunc arcum triplare, & poſtremò hunc iterum duplare.
Hac enim ratione ex vltimo arcu duplato auferenditantum ſunt 60. gradus, &
nunquam totus quadrans exhauritur, vt patet.
24. minuta, non poſſemus ratione iam explicanda in ouirere minuta; propterea
3030[Handwritten note 30]3131[Handwritten note 31]3232[Handwritten note 32]3333[Handwritten note 33] quod circumducendo circinum, to tum Quadrantem excederemus, vt patebit.)
commodius minuta datæ particulæ cognoſcemus hoc modo. Datam particu-
lam cum gradu præcedenti primo loco quadruplicabimus: deinde huncarcum
quadruplum duplabimus, vt hab eamus octuplum arcus ex particula, & vno
gradu compoſiti; tertio arcum hunc octuplum iterum duplabimus, vt fiat ar-
c9 ſedecupl9 arcus ex data particula, & vno gradu cõpoſiti; quarto hunc arcũ
rurſus duplabimus; & quinto tandem hunc duplum iterum duplabimus; vt
habeatur arcus continens arcum ex particula pro poſita, & vno gradu ſexagies
& quater, cuius extremum punctũm diligenter notetur. Nam ſi ex toto arcu
ab eo puncto incipiendo, auferatur arcus quadruplus particulæ datæ vnâ cum
vno gradu, ſupererit arcus ſexagecuplus eiuſdem particulæ vnâ cum vno gra-
du; ex quo deniqueſi demantur 60. gradus, reliqui gradus numerum minu-
torum indicabunt. Quòd ſi data particula ſemiſſe gradus fuerit maior, explo-
tabimus eodem modo minuta inreliqua particula minore comprehenſa. Hæc
namque minuta ex 60. detracta relinquent minutain particula illa maiore com-
3030[Handwritten note 30]3131[Handwritten note 31]3232[Handwritten note 32]3333[Handwritten note 33] prehenſa. Benè autem vides, quando data particula minor parum à ſemiſſe
gradus differt, tutius eſſe quintuplare illam vnâ cum vno gradu; deinde hunc
arcum duplare, tertio hunc arcum triplare, & poſtremò hunc iterum duplare.
Hac enim ratione ex vltimo arcu duplato auferenditantum ſunt 60. gradus, &
nunquam totus quadrans exhauritur, vt patet.
12.
Neqve verò ſemper opus eſt, vt particula illa gradus, vel particula mi-
nor vnâ cum vno gradu ſexagies repetatur, ſed ſatis eſt, vt ea aliquoties repeti-
3030[Handwritten note 30]3131[Handwritten note 31]3232[Handwritten note 32]3333[Handwritten note 33] ta incidat præciſè in aliquem gradum; quod non raro accidere ſolet. Nam
tunc conſtituetur fractio, cuius numerator eſt numerus graduum percurſorũ:
Denominator autem numerus tot vnitatum, quoties particula circino repetita
fuerit. Verbi gratia, ſi aliqua grad9 particula vicies repetita incidat in 6. gradũ, cõ
plectetur particula illa {6/20}. vnius gradus. Quare ſi numerator 6. per 60. multi-
plicetur, & pro ductus numerus 360. per denominatorem 20. diuidatur, in dica-
bit Quotiens 18. particulam illam continere 18. minuta. Sic ſi alia particula ſe-
pties repetita incidat in tertium gradum, comprehendet ea {3/7}. vnius gradus. Si
igitur numerator 3. per 60. multiplicetur, & numerus productus 180. per de-
nominatorem 7. diuidatur, reperientur 25. min. Et quia in diuiſione ſuperſunt
5. ſi ea rurſum multiplicentur per 60. productuſque numerus 300. per eundem
denominatorem 7. diuidatur, dabit quotiens adhuc 42 {6/7}. ſecunda.
nor vnâ cum vno gradu ſexagies repetatur, ſed ſatis eſt, vt ea aliquoties repeti-
3030[Handwritten note 30]3131[Handwritten note 31]3232[Handwritten note 32]3333[Handwritten note 33] ta incidat præciſè in aliquem gradum; quod non raro accidere ſolet. Nam
tunc conſtituetur fractio, cuius numerator eſt numerus graduum percurſorũ:
Denominator autem numerus tot vnitatum, quoties particula circino repetita
fuerit. Verbi gratia, ſi aliqua grad9 particula vicies repetita incidat in 6. gradũ, cõ
plectetur particula illa {6/20}. vnius gradus. Quare ſi numerator 6. per 60. multi-
plicetur, & pro ductus numerus 360. per denominatorem 20. diuidatur, in dica-
bit Quotiens 18. particulam illam continere 18. minuta. Sic ſi alia particula ſe-
pties repetita incidat in tertium gradum, comprehendet ea {3/7}. vnius gradus. Si
igitur numerator 3. per 60. multiplicetur, & numerus productus 180. per de-
nominatorem 7. diuidatur, reperientur 25. min. Et quia in diuiſione ſuperſunt
5. ſi ea rurſum multiplicentur per 60. productuſque numerus 300. per eundem
denominatorem 7. diuidatur, dabit quotiens adhuc 42 {6/7}. ſecunda.
Demonstratio huius praxis hæc eſt.
Quoniam in priori exemplo, ita
ſe habent 20. gradus ad 1. gradum, vt particula vicies repetita ad vnam parti-
culam; erit permutando arcus 20. graduum ad arcum continentem particulam
vicies, hoc eſt, ad arcum 6. graduum, vt 1. gradus ad vnam particulam: & con-
uertendo 6. grad. ad 20. grad. vt 1 particula ad 1. grad. Cum ergo 6. grad. ſint
{6/20}. graduum 20. continebit quo que vna particula {6/20}. vnius gradus, quod eſt
propoſitum. In poſteriori verò exemplo, quia ita ſe habent 7. grad. ad 1. gra-
dum, vt particula ſepties repetita, hoc eſt, vt 3. gradus ad 1. particuiam; erit per-
mutando arcus 7. graduum ad 3 grad. vt 1. grad. ad 1. particulam: & conuerten-
do 3. gradus ad 7. grad. vt vna particula ad 1. grad. Cum ergo 3. gradus ſint {3/7}.
ſeptem graduum, complectetur quoque 1. particula {5/7}. vnius gradus; quod eſt
propoſitum. eadem que in cęteris ratio eſt.
ſe habent 20. gradus ad 1. gradum, vt particula vicies repetita ad vnam parti-
culam; erit permutando arcus 20. graduum ad arcum continentem particulam
vicies, hoc eſt, ad arcum 6. graduum, vt 1. gradus ad vnam particulam: & con-
uertendo 6. grad. ad 20. grad. vt 1 particula ad 1. grad. Cum ergo 6. grad. ſint
{6/20}. graduum 20. continebit quo que vna particula {6/20}. vnius gradus, quod eſt
propoſitum. In poſteriori verò exemplo, quia ita ſe habent 7. grad. ad 1. gra-
dum, vt particula ſepties repetita, hoc eſt, vt 3. gradus ad 1. particuiam; erit per-
mutando arcus 7. graduum ad 3 grad. vt 1. grad. ad 1. particulam: & conuerten-
do 3. gradus ad 7. grad. vt vna particula ad 1. grad. Cum ergo 3. gradus ſint {3/7}.
ſeptem graduum, complectetur quoque 1. particula {5/7}. vnius gradus; quod eſt
propoſitum. eadem que in cęteris ratio eſt.