700398VITELLONIS OPTICAE
æquidiſtans lineæ q b, qui ſſt h t.
Erit ergo angulus incidentiæ, qui eſt h t s, ęqualis angulo reflexio-
nis: ſed angulus h t s æqualis eſt angulo q b t per 29 p 1, & angulus q b t eſt per 5 p 1 æqualis angulo
q t b: ideo quòd latera q b & q t ſunt æqualia per definitionem circuli: erit ergo angulus refle-
xionis æqualis angulo q b t: ergo linea reflexionis æqualis erit lineæ q b per 6 p 1: ſecundum li-
neam ergo q t fit reflexio. Incidens ergo radius in punctum b, & reflexus à puncto t, concurrunt
in puncto q: quia à puncto t aliam lineam æqualem lineæ q b, continentem cum linea b t angu-
lum æqualem angulo q b t duci eſt impoſsibile. Similiter etiam angulus incidentiæ, qui eſt k d s,
æqualis eſt angulo reflexionis: ſed & idem eſt æqualis angulo q b d ſecundum præmiſſum mo-
dum deducendo ex 29 p 1: ergo angulus q b d & angulus reflexionis radij k d incidentis ſunt æ-
quales: ergo ſecundum lineam q d fit reflexio. Similiter etiam eſt & in alijs demonftrandum. Pa-
tet ergo quòd omnes radij incidentes in puncta ſectionum factarum per latera triangulorum pro-
ductorum à puncto b uerſus axem q s reflectuntur ad punctum unum, qui eſt centrum accepti
circuli. Et quia ſectiones illæ fieri poſſunt quaſi infinitæ ab una linea ſic ordinata in ſectore, ad u-
num punctum mathematicum fiunt aggregationes radiorum quaſi infinitæ. Hoc ergo demonſtra-
to patet quòd omnes radij incidentes punctis b, t, d, e, f, l reflectuntur ad unum punctum, qui eſt
q. Et ſi portiunculæ præeminentes auferantur, regulabunt termini t d & e f interiacentes lineas,
ita quòd reflexio ab illis facta, non multùm diſtabιt à puncto reflexionis, qui eſt q: eritq́; aggrega-
tio omnium radiorum totali lineæ b l incidentium ad unum punctum ſenſibilem naturalem, in
circuitu puncti q. Hæc ergo linea b l motu ſuo ſuperficiem ſectionis præaſſumptæ ſuperius pyra-
midis limando & cauando producet: à qua tota fiet reflexio ad punctum unum naturalem, ut in-
ferius docebitur. Patet ergo propoſitum: faciunt enim iſti trianguli motu ſuo pyramides ſe in-
terſecantes.
nis: ſed angulus h t s æqualis eſt angulo q b t per 29 p 1, & angulus q b t eſt per 5 p 1 æqualis angulo
q t b: ideo quòd latera q b & q t ſunt æqualia per definitionem circuli: erit ergo angulus refle-
xionis æqualis angulo q b t: ergo linea reflexionis æqualis erit lineæ q b per 6 p 1: ſecundum li-
neam ergo q t fit reflexio. Incidens ergo radius in punctum b, & reflexus à puncto t, concurrunt
in puncto q: quia à puncto t aliam lineam æqualem lineæ q b, continentem cum linea b t angu-
lum æqualem angulo q b t duci eſt impoſsibile. Similiter etiam angulus incidentiæ, qui eſt k d s,
æqualis eſt angulo reflexionis: ſed & idem eſt æqualis angulo q b d ſecundum præmiſſum mo-
dum deducendo ex 29 p 1: ergo angulus q b d & angulus reflexionis radij k d incidentis ſunt æ-
quales: ergo ſecundum lineam q d fit reflexio. Similiter etiam eſt & in alijs demonftrandum. Pa-
tet ergo quòd omnes radij incidentes in puncta ſectionum factarum per latera triangulorum pro-
ductorum à puncto b uerſus axem q s reflectuntur ad punctum unum, qui eſt centrum accepti
circuli. Et quia ſectiones illæ fieri poſſunt quaſi infinitæ ab una linea ſic ordinata in ſectore, ad u-
num punctum mathematicum fiunt aggregationes radiorum quaſi infinitæ. Hoc ergo demonſtra-
to patet quòd omnes radij incidentes punctis b, t, d, e, f, l reflectuntur ad unum punctum, qui eſt
q. Et ſi portiunculæ præeminentes auferantur, regulabunt termini t d & e f interiacentes lineas,
ita quòd reflexio ab illis facta, non multùm diſtabιt à puncto reflexionis, qui eſt q: eritq́; aggrega-
tio omnium radiorum totali lineæ b l incidentium ad unum punctum ſenſibilem naturalem, in
circuitu puncti q. Hæc ergo linea b l motu ſuo ſuperficiem ſectionis præaſſumptæ ſuperius pyra-
midis limando & cauando producet: à qua tota fiet reflexio ad punctum unum naturalem, ut in-
ferius docebitur. Patet ergo propoſitum: faciunt enim iſti trianguli motu ſuo pyramides ſe in-
terſecantes.
39. Siſectionem parabolam linea recta contingat, & à puncto contactus ducatur recta
perpendiculariter ſuper diametrum ſectionis productam ad concurſum cum contingente: erit
pars diametri interiacens perpendicularem & peripheriam ſectionis æqualis parti interiacen
tiſectionem & contingentem.
perpendiculariter ſuper diametrum ſectionis productam ad concurſum cum contingente: erit
pars diametri interiacens perpendicularem & peripheriam ſectionis æqualis parti interiacen
tiſectionem & contingentem.
Sit ſectio parabola, cuius nomen prius libro primo in commento propoſitionis 98 expoſuimus:
quæ ſit l a g, cuius latus rectum ſit l g: & dia
meter a d: contingatq́; hác ſectionẽ in pun
cto b linea recta: quæ ſit h b k: concur-
ratq́; diamcter: quæ ſit d a, producta ex-
tra ſectionem cum linea contingente, quæ
eſt h b k, in puncto h: & à puncto contin-
834[Figure 834]h o b z k g d l gentiæ, quod eſt b, ducatur per 12 p 1 linea
perpendicularis ſuper diametrum a d, ſe-
cans ipſam in puncto z: & ſit b z. Dico
quòd linea z a pars diametri interiacens
punctum ſectionis perpendicularis b z, &
peripheriam ſectionis, quæ eſt l a g, eſt
æqualis lineæ a h, parti eductæ diametri,
quæ interiacet punctum h, quod eſt pun-
ctum concurſus diametri cum linea con-
tingente, quæ eſt h b k, & pũctum a, quod
eſt terminus diametri, cadens in ipſam pe-
ripheriam ſectionis. Et hoc uniuerſale eſt:
etiam ſi linea recta ſectionem contingat in puncto g. Hoc autem demonſtratum eſt ab Apollonio
Pergæo in libro de Conicis elementis: & hic utemur ipſo, ut demonſtrato.
quæ ſit l a g, cuius latus rectum ſit l g: & dia
meter a d: contingatq́; hác ſectionẽ in pun
cto b linea recta: quæ ſit h b k: concur-
ratq́; diamcter: quæ ſit d a, producta ex-
tra ſectionem cum linea contingente, quæ
eſt h b k, in puncto h: & à puncto contin-
834[Figure 834]h o b z k g d l gentiæ, quod eſt b, ducatur per 12 p 1 linea
perpendicularis ſuper diametrum a d, ſe-
cans ipſam in puncto z: & ſit b z. Dico
quòd linea z a pars diametri interiacens
punctum ſectionis perpendicularis b z, &
peripheriam ſectionis, quæ eſt l a g, eſt
æqualis lineæ a h, parti eductæ diametri,
quæ interiacet punctum h, quod eſt pun-
ctum concurſus diametri cum linea con-
tingente, quæ eſt h b k, & pũctum a, quod
eſt terminus diametri, cadens in ipſam pe-
ripheriam ſectionis. Et hoc uniuerſale eſt:
etiam ſi linea recta ſectionem contingat in puncto g. Hoc autem demonſtratum eſt ab Apollonio
Pergæo in libro de Conicis elementis: & hic utemur ipſo, ut demonſtrato.
40. Omne quadr atum lineæ perpendicularis ductæ ab aliquo puncto ſectionis parabolæ ſu-
per diametrum ſectionis, est æquale rectangulo contento ſub parte diametri interiacente illam
perpendicularem & peripheriam ſectionis, & ſub latere recto ipſius ſectionis.
per diametrum ſectionis, est æquale rectangulo contento ſub parte diametri interiacente illam
perpendicularem & peripheriam ſectionis, & ſub latere recto ipſius ſectionis.
Verbi gratia:
ſit, ut in præmiſſa, ſectio parabola, quæſit l a g:
cuius latus rectum ſit l g, & eius
diameter ſit a d: & à puncto aliquo ſectionis, quod ſit b, ducatur ſuper diametrum ſectionis, quæ
eſt a d, perpendicularis b z. Dico quòd quadratum lineæ perpendicularis, quæ b z, eſt æquale
ei rectangulo, quod fit ex ductu lineæ z a, quæ eſt pars diametri a d, interiacens ipſam perpen di-
cularem b z, & peripheriam ſectionis, in lineam l g, quæ eſt latus rectum ipſius ſectionis. Eſt er-
go per 17 p 6 proportio lineæ l g ad lineam z b, ſicut ipſius z b ad lineam z a. Hoc autem ſimili-
ter demonſtratum eſt ab Apollonio Pergæo in libro de Conicis elementis: & nos ipſoutemur, ut
demõſtrato. Hæc uerò duo theoremata cum alijs Apollonij theorematibus in principio librinon
connumerauimus: quia ſolùm illis indigemus ad theorema ſubſequens explicandum, & in nul-
lo aliorum theorematum totius huius libri.
diameter ſit a d: & à puncto aliquo ſectionis, quod ſit b, ducatur ſuper diametrum ſectionis, quæ
eſt a d, perpendicularis b z. Dico quòd quadratum lineæ perpendicularis, quæ b z, eſt æquale
ei rectangulo, quod fit ex ductu lineæ z a, quæ eſt pars diametri a d, interiacens ipſam perpen di-
cularem b z, & peripheriam ſectionis, in lineam l g, quæ eſt latus rectum ipſius ſectionis. Eſt er-
go per 17 p 6 proportio lineæ l g ad lineam z b, ſicut ipſius z b ad lineam z a. Hoc autem ſimili-
ter demonſtratum eſt ab Apollonio Pergæo in libro de Conicis elementis: & nos ipſoutemur, ut
demõſtrato. Hæc uerò duo theoremata cum alijs Apollonij theorematibus in principio librinon
connumerauimus: quia ſolùm illis indigemus ad theorema ſubſequens explicandum, & in nul-
lo aliorum theorematum totius huius libri.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib