7252GNOMONICES
ergo duo anguli E O S, E O Q, duobus angulis F O S, F O Q, ęquales, ac proinde tam hi, quàm
illi, dimidium conſtituent quatuor angulorum ad punctum O, exiſtentium in plano circuli B C:
Sed hi quatuor, per 2. corollarium propoſ. 15. lib. 1. Euclidis, quatuor rectis ſunt æquales. Igi-
tur tam E O S, E O Q, quàm F O S, F O Q, duobus rectis æquales erunt, ac propterea in dire-
1114. primi.222. vndec. ctum erunt rectæ S O, O Q, Triangulum ergo eſt Q R S, atque adeo in vno plano erit, in eo ſci-
licet, quod per S Q, Q R, ducitur. Ducitur autem planum circuli L M, per has rectas S Q, Q R,
vt patet. In eodem ergo plano cireuli L M, erit recta R S; ac proinde circulus L M, per rectam
I k, tranſibit, ita vt per eandem ſecet duos circulos tangentes E G, F H. Quare I k, communis ſe-
ctio eſt trium circulorum E G, F H, L M. Quapropter ſi in Sphæra duo circuli maximi, & c.
Quod demonſtrandum erat.
illi, dimidium conſtituent quatuor angulorum ad punctum O, exiſtentium in plano circuli B C:
Sed hi quatuor, per 2. corollarium propoſ. 15. lib. 1. Euclidis, quatuor rectis ſunt æquales. Igi-
tur tam E O S, E O Q, quàm F O S, F O Q, duobus rectis æquales erunt, ac propterea in dire-
1114. primi.222. vndec. ctum erunt rectæ S O, O Q, Triangulum ergo eſt Q R S, atque adeo in vno plano erit, in eo ſci-
licet, quod per S Q, Q R, ducitur. Ducitur autem planum circuli L M, per has rectas S Q, Q R,
vt patet. In eodem ergo plano cireuli L M, erit recta R S; ac proinde circulus L M, per rectam
I k, tranſibit, ita vt per eandem ſecet duos circulos tangentes E G, F H. Quare I k, communis ſe-
ctio eſt trium circulorum E G, F H, L M. Quapropter ſi in Sphæra duo circuli maximi, & c.
Quod demonſtrandum erat.
LEMMA.
QVOD autem K I, coeat cum vtra-
55[Figure 55]
que E S, F S, hac ratione demonſtrabimus.
Si enim K I, E S, non conueniunt, erunt vti-
que parallelæ, per definitionem 34. lib. 1.
Euclidis, cum ſint in eodem plano circuli E G.
Nam E S, tangens circulum E G, in eodem eſt
3320 circuli plano, in quo videlicet ctiam eſt K I.
Quare ſi ducatur & R T, ipſi S F, paral-
lela, erit planum per K R, R T, ductum pla-
4415. vndec. no per S E, S F, ducto parallelum, atque adeò
rectæ K I, F S, in illis planis parallelis exiſten-
tes nunquam conuenient, cum nec ipſa plana
coeant vnquam. I gitur K I, F S, non conue-
nientes, & in codem plano circuli F H, exi-
ſtentes (Nam F S, tangens circulum F H, in
5530 eodem eſt circuli plano, in quo ni mirum eſt quoque K I.) parallelæ ſunt, per definitionem
34. lib. 1. Euclidis. Ac proi nde & E S, F S, inter ſe parallelæ erunt, cum vtraque ipſi
669. vndec. I K, parallela ſit, quod eſt abſurdum. Oſtenſum eſt enim, rectas E S, F S, in puncto S, coi-
re. Conuenient ergo rectæ K I, E S, cum non ſint parallelæ, in eodemq́ existant plano, vt
demonſtratum est. Eademq́ ratione oſtendemus K I, F S, conuenire.
Si enim K I, E S, non conueniunt, erunt vti-
que parallelæ, per definitionem 34. lib. 1.
Euclidis, cum ſint in eodem plano circuli E G.
Nam E S, tangens circulum E G, in eodem eſt
3320 circuli plano, in quo videlicet ctiam eſt K I.
Quare ſi ducatur & R T, ipſi S F, paral-
lela, erit planum per K R, R T, ductum pla-
4415. vndec. no per S E, S F, ducto parallelum, atque adeò
rectæ K I, F S, in illis planis parallelis exiſten-
tes nunquam conuenient, cum nec ipſa plana
coeant vnquam. I gitur K I, F S, non conue-
nientes, & in codem plano circuli F H, exi-
ſtentes (Nam F S, tangens circulum F H, in
5530 eodem eſt circuli plano, in quo ni mirum eſt quoque K I.) parallelæ ſunt, per definitionem
34. lib. 1. Euclidis. Ac proi nde & E S, F S, inter ſe parallelæ erunt, cum vtraque ipſi
669. vndec. I K, parallela ſit, quod eſt abſurdum. Oſtenſum eſt enim, rectas E S, F S, in puncto S, coi-
re. Conuenient ergo rectæ K I, E S, cum non ſint parallelæ, in eodemq́ existant plano, vt
demonſtratum est. Eademq́ ratione oſtendemus K I, F S, conuenire.
SCHOLIVM.
QVAE in hac, &
præcedenti propoſ.
oſtendimus, demonſtrabimus alio modo, &
fortaſſis facilio-
7740 vi, in ſcholio propoſ. 20. hui{us} lib.
7740 vi, in ſcholio propoſ. 20. hui{us} lib.
THEOREMA 16. PROPOSITIO 18.
88Planum ſecans quotcunque pla
na eandem cõ-
munem ſectio-
nẽ habentia, cui
planũ illud æ-
quidiſtet, facit
communes ſe-
ctiones paralle-
las: ſi vero com-
munẽ illam ſe-
ctionẽ: ſecet, fa-
git communes
ſectiones coeun
tes in illo pun-
cto, in quo pla-
nũ ſecans com-
munẽ illorum
ſectionem diui-
dit.
SI PLANA quotcunq;
vnam eandemq́;
habentia ſectionem com-
munem ſecentur plano quopiam alio, quod vni corum, vel communi
illorum ſectioni æquidiſtet, erunt omnium illorũ planorum, & plani
ſecantis communes ſectiones, lineæ parallelæ: Si verò eadem plana ſe-
9950 centur plano, quod non æquidiſtet communi illorum ſectioni, coi-
bunt communes omnium illorum, & plani ſecantis ſectiones in illo
puncto ſectionis communis, in quo planum ſecans ipſam interſecat.
munem ſecentur plano quopiam alio, quod vni corum, vel communi
illorum ſectioni æquidiſtet, erunt omnium illorũ planorum, & plani
ſecantis communes ſectiones, lineæ parallelæ: Si verò eadem plana ſe-
9950 centur plano, quod non æquidiſtet communi illorum ſectioni, coi-
bunt communes omnium illorum, & plani ſecantis ſectiones in illo
puncto ſectionis communis, in quo planum ſecans ipſam interſecat.
PLANA quotcunque A B, C D, E F, R S, habentia eandem communem ſectionem G H,
ſecentur plano I K, quod æquidiſter primum, vt in priori figura, plano R S, vel communi ſectio-
ni G H, (Voco autem planum rectæ cuipiam æquidiſtans, quod infinitè productum nunquam
conuenlt cum linea illa recta infinitè quoque producta: vel cui per rectam illam lineam planum
aliquod æquidiſtans duci poteſt.) ſintq́ue communes ſectiones planorum A B, C D, E F, & plani
ſecantis I k, rectæ L M, N O, P Q. Dico has communes ſectiones parallelas eſſe. Ducto
ſecentur plano I K, quod æquidiſter primum, vt in priori figura, plano R S, vel communi ſectio-
ni G H, (Voco autem planum rectæ cuipiam æquidiſtans, quod infinitè productum nunquam
conuenlt cum linea illa recta infinitè quoque producta: vel cui per rectam illam lineam planum
aliquod æquidiſtans duci poteſt.) ſintq́ue communes ſectiones planorum A B, C D, E F, & plani
ſecantis I k, rectæ L M, N O, P Q. Dico has communes ſectiones parallelas eſſe. Ducto